数理统计第五次作业及答案

料：

日售出台数 2 3 4 5 合计 6 天数 20 30 10 25 15 求样本容量n，样本均值与样本方差。

解：样本容量为100

样本均值，样本方差，样本修正方差分别为 2、设总体服从泊松分布P〔λ〕，X1,,Xn是一样本： 〔1〕写出X1,,Xn的概率分布；

因为：P(xixi)100 xixi!e,xi0,1,2,,0所以X1Xn的概率分布为nx解：

P（Xixi,i1,2,n）p(Xixi)i1i1xixi!eni1xin

en,xi0,1,2,ix!i1（2）计算EX,DX和ESn2；

解：因为EXDX,所以EXEX,DXDXn1n12,ESnDX nnnn〔3〕设总体容量为10的一组样本观察值为〔1，2，4，3，3，4，

5，6，4，8〕试计算样本

均值, 样本方差与次序统计量的观察值。 解：

3、设X1,72,X7为总体X服从N0,0.25的一个样本，求PXi4.

i1Xi02Xi服从N0,1，0.52〔0.975716.0128〕

解： 因每个Xi及总体X有一样分布，故

727Xi022那么 服从自由度7的-分布。因为4Xii10.5i1第 1 页

727272PXi4P4Xi161P4Xi16，查表可知i1i1i120.97572716.0128, 故PXi40.025.

i14、设总体X具有分布律

X 1 2 3 θ2 2θ(1－(1－θ) θ) 2 其中θ(0<θ<1)为未知参数。取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求

θ的最大似然估计值。

解：似然函数L(θ)P{Xii13xi}P{X11}P{X22}P{X31}

L(θ )2+5θ(1－θ) 求导

dlnL(θ)510 dθ61θ得到唯一解为θˆ5

65、求均匀分布U[1,2]中参数1,2的极大似然估计．

解：由X服从[a，b]上的均匀分布，易知

baab求a，b的矩法估计量只ab2EX,EX2DXEX

212222ˆ2ˆba,Sn需解方程X2ˆaˆb122ˆX3S ˆX3Sn,b, 得an6、为比拟两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校

260.76；随机A的9个学生，得分数的平均值为xA81.31，方差为sA地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为xB78.61，方差为

2sB48.24。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本

第 2 页

独立。求均值差AB的置信水平为0.95的置信区间。〔t0.975227.266〕

解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差

AB

7、设A，B二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用一样的方法各

220.5419,sB0.6065，作了10次测定，其测量值的修正方差分别为sA22设A与B分别为所测量的数据总体〔设为正态总体〕的方差，求方22差比A的0.95的置信区间。 /B 解：10, 1-α=0.95，α=0.05, 从而

22SA0.541910.54191SA11,,[0.222，3.601]22SBF1/2n1,m1SBF/2n1,m10.60654.030.60650.241822故方差比A的0.95的置信区间为，3.601]。 /B8、某种标准类型电池的容量〔以安-时计〕的标准差1.66，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下

146，141，135，142，140，143，138，137，142，136 设样本来自正态总体N(,2)，,2均未知，问标准差是否有变动，

即需检验假设〔取0.05〕：H0:21.662,H1:21.662 解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。 检验统计量为

代入此题中的具体数据得到2(101)1239.193。 1.662检验的临界值为02.975(9)19.022。

因为239.19319.022，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设H0，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。

第 3 页

9、某地调查了3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：

文化程大专以上 中专技校 高中 合计 度 性别 男 女 40 138 620 1841 1043 1159 初中及以下 20 72 442 625 合计 60 210 1062 3000 1668 试在水平上检验失业人员的性别及文化程度是否有关。

2〔0.9537.815〕

解：这是列联表的独立性检验问题。在此题中2，4，在下，

220.9537.815, 因而拒绝域为：W27.815. r1c10.95为了计算统计量(3.4)，可列成如下表格计算ni.n.j/n：

ni.n.j/n大专以上 中专技校 高中 男 女 初中及以下 1841 1159 合计 60 210 1062 3000 1668 从而得 由于2，样本落入承受域，从而在水平上可认为失业人员的性别及文

第 4 页

化程度无关。

10、设总体X具有贝努里分布b〔1，p〕，p∈Θ=〔0，1〕，X1,,Xn是一样本，试求p的无偏估计的方差下界。 解： 关于假设检验假设

, 当

时 拒绝

无显著差异。

，否那么认为试验结果及假设

而的置信度为1-α的置信区间是 特别地取其中

是方阵

， 即考虑假设

， 由前可得T统计量是

对角线上第 i 个元素。

类似地，的置信区间是

第 5 页