用“代数方法”解“几何问题”

用“代数方法”解“几何问题”

作者：张霞

来源：《中学课程辅导·教学研究》2014年第21期

摘要：辅导小学生参加奥数时，有些几何问题超出学生的理解力，为了扬长避短，可以巧妙运用代数方法解答。

关键词：代数方法；几何问题；空间观念；奥数；扬长避短；学习乐趣；快乐体验；梯形；三角形；方程；分析能力

“几何问题”又叫图形问题。小学数学课程标准中指出，“要发展学生的空间观念”。在小学六年的学习中，学生逐步认识了简单的几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换。尽管这样，学生的空间观念还不能达到解决稍复杂的几何问题的程度，特别是对于一些奥赛题，难度完全是初中甚至高中的程度，作为小学数学教师，怎样辅导学生解决这类问题呢？ 我在辅导学生的过程中发现，有的学生的分析能力特别强，但是空间想像力稍差。对于一些需要“剪”、“拼”、“旋转”、“平移”的图形，他们想不到，即使想到了，也不能正确在图形中表达出来，造成错误。也有的学生，对老师讲的“旋转”之类的方法，理解得很费劲。而有时我通过简单的“代数方法”帮助他们解题，他们却接受得很快。

“代数方法”也叫“设置参数”法，就是用字母表示数的方法，有时就是解方程的方法，有时不用解方程，把算式通过合并同类项、去括号、化简等运算就能得到想要的结果。 比如这样一道题：如图在一个梯形内有两个面积分别为8与15的三角形，已知梯形的上底是下底长的2/3,那么阴影部分的面积是多少？

学生通过图形就能直观的看出：阴影部分的面积=梯形的面积-8-15，那么梯形的面积怎么算？能不能借助已知条件——两个三角形的面积，来算出梯形的高或者上、下底？可以尝试一下！

因为“梯形的上底是下底长的2/3”，学生根据以往的经验知道，可以设梯形的上底为2x，下底为3x，因为三角形的面积=底×高÷2，所以三角形的高=面积×2÷底，这样一来，可以分别用x和8、15来表示出上、下两个三角形的高—— 上面三角形的高为：8×2÷（2x）=8/x 下面三角形的高为：15×2÷（3x）=10/x 而梯形的高等于两个三角形的高的和，所以

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

梯形的高为：8/x+10/x 从而可以求出梯形的面积，

梯形的面积为：（8/x+10/x）×（2x+3x）÷2 =（18/x）×5x÷2 =45

所以阴影部分的面积=45-8-15=22。

大家发现，虽然开头设了未知数x，但是解题过程中并没有把未知数x求出来，而是在代入梯形面积公式时，因为乘除运算将x约分了。

像这种题目，学生熟练掌握了设未知数的方法，也能熟练运用三角形的面积公式求三角形的高，运用梯形的面积公式求面积，通过分析三角形、梯形、阴影部分的面积关系，列出含有未知数的算式，就把一道几何问题转化成了代数题目。而且在一步一步化简过程中，发现未知数x被约分了，不用解出来，就能算出梯形的面积。当然这是在逐渐探索中、尝试性地解决了问题，有一种“小径探幽”，“豁然开朗”的心情体验。

再比如克拉玛依区教育局主编的《小学数学几何问题辅导用书》上有这样一道题目：（17页第7题）

如图所示，已知长方形的长AD是40厘米，剪去一个正方形ABFE后，剩下的长方形的周长是多少厘米？

要算长方形的周长，无非是两个长+两个宽，也就是EF+FC+CD+DE。因为剪去的是一个正方形，所以可设正方形的边长为x，那么DE=CF=40-x，所以长方形的周长=x+x+40-x+40-x=80（cm）。

上面两道题都是只用字母代替数就解决了问题，不用列方程，下面我再举个例子，是列方程解题的。

比如这道题：（克拉玛依区教育局主编的《小学数学几何问题辅导用书》16页第5题） 如图，梯形ABCD的中位线EF长15厘米，∠ABC=∠AEF=90o，G是EF上的一点。如果△ABG的面积是梯形ABCD面积的1/5，求EG的长。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

辅导时我先告诉他们用中位线求面积的方法。这里需要补充知识：梯形的中位线的长等于上、下底的和的一半。由于

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

而（上底+下底）÷2正好等于中位线的长度，于是梯形的面积公式可以转化为 梯形的面积=中位线×高，

有了这个知识以后，我引导学生，能不能根据题目中的条件“△ABG的面积是梯形ABCD面积的1/5”列出一个方程呢？小学生列方程解题最怕出现两个以上的未知数，因为不会解方程组。所以我提示学生说：“不要怕未知数多，也许有的未知数在化简过程中可以约分掉。” 那么列方程时需要把哪些量设成未知数呢？首先学生发现线段AB是三角形和梯形共有的边，于是把它设为x,而不是将所求的EG设为x，于是就可以列出方程了：x×EG÷2=15×x×（1/5），比较等号两边，发现x可以约分，于是算出EG=6厘米。

多未知数的题目有个情况要注意，中学生习惯用线段两端的字母表示线段，小学生有的不习惯，他们非要用x表示才明确是未知数，换成y或a、b之类他们就不习惯。这道题目中，如果学生难以接受不求x反而求EG，也可以把它们交换一下，把EG设为x，AB就用AB表示，那么方程变成AB×x÷2=15×AB×（1/5），比较两边，把AB约分，剩下x÷2=15×（1/5），学生就会很自然的解这个方程了。

综上所述，用“代数方法”解“几何问题”，是迫于小学生几何知识水平有限，而奥数题目难度很大的情况才采取的一种方法，当孩子们的空间想像力达不到游刃有余时，将图形问题转化为逻辑推理问题，从而经过写写算算，得出需要的答案。我提倡的用“代数方法”解“几何问题”并不是逃避“培养学生的空间观念”的责任，而是“扬长避短”，毕竟辅导奥数的任务是很重的，不可能把中学几何的知识全部讲给学生，也没必要，那样学生上中学就没事可干了。再说强化训练学生的分析能力也很有好处，在数学的学习中，有很多知识是要经过抽象的逻辑推理的，能对事物中蕴含的数量关系有敏锐的感知能力，并且提炼出合理的算式，在尝试性的解题过程中体验学习的乐趣，最终获得成功的快乐，这是多么重要！ 参考文献：

克拉玛依区教育局主编的《小学数学几何问题辅导用书》