用二次函数解决实际问题-老师版

【学习目标】

1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．

2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

【要点梳理】

知识点一、列二次函数解应用题

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：

(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．

(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．

(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点诠释：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

知识点二、建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤：

(1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式；

(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题． 要点诠释：

(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质；

②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题.

【典型例题】

类型一、利用二次函数求实际问题中利润的最大（小）值

1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和

水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y，(元)与销售月份x (月)满足关系式y1所示．

3而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图x36，

8

(1)试确定b，c的值；

(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求

指出x的取值范围)

(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【答案与解析】

（1）把(3，25)，(4，24)代入y212xbxc中，得 815193bc25,b,88 解方程组得 1164bc24.c59.28(2)根据题意，得yy1y2155931x36x2x

8288311559x36x2x

88821313x2x．

82212313所以y与x的函数关系式为yxx．

822(3)由(2)得，y(x6)11，因为a18210，所以当x＜6时，y随x的增8大而增大，所以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为10.5元．

【点评】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目

结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解．

举一反三：

【例2】某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成

本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近

似的看作一次函数（如图）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）

（k≠0）【答案】（1）设y与x的函数关系式为：ykxb，

∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）

k1040060kb∴ 解得

b100030070kb∴y10x1000

（2）P(x50)(10x1000)

P10x21500x50000（50≤x≤70）

b1500∵75，a10＜0

2a20∴函数P10x21500x50000图象开口向下， 对称轴是直线x=75

∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大, ∴当x=70时，P最大值6000.

练习：1.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10x500．

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利

润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月

获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） 【答案】

解：（1）由题意，得：w = (x－20)·y

=(x－20)·(10x500) 10x2700x10000

bx35.

2a答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． ························· 3分

2（2）由题意，得：10x700x100002000

解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．

答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. ··················· 6

法二：∵， a10分

∴抛物线开口向下. （3）法一：∵a10，

∴当30≤x≤40时，w≥2000． ∴抛物线开口向下.

∵x≤32， ∴当30≤x≤40时，w≥2000．

∴30≤x≤32时，w≥2000． ∵x≤32，

∴当30≤x≤32时，w≥2000． ∵ y   10 x  500 ， 100， k 设成本为P（元），由题意，得： ∴y随x的增大而减小. P20(10x500) ∴当x = 32时，y最小＝180. 200x10000 ∵当进价一定时，销售量越小， ∵k200， 成本越小， ∴P随x的增大而减小.

∴201803600（元）.

∴当x = 32时，P最小＝3600.

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

类型二、利用二次函数解决抛物线形的建筑问题

3. 某大学的校门如图所示，是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，你能计算出大学校门的高吗?

【答案与解析】

以拱门所在平面与地平面的交线为x轴，以拱门的对称轴为y轴建立直

角坐标系(如图所示)，D、E为铁环． 则A(-4，0)，B(4，0)，D(-3，4)，E(3，4)．

设抛物线的解析式为yaxc． ∵ A(-4，0)，D(-3，4)在抛物线上．

24a,16ac0,7∴  解得

649ac4.c.742646464x，当x0时，y，∴ OC． 777764 即校门的高为m．

7∴ y【点评】因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角

坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求大门的高．

【练习1】

（2012·武汉·中考）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣

（t﹣19）2+8

（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

类型三、利用二次函数求跳水、投篮、喷水池等实际问题

4. 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?

【答案与解析】

如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，

2设C点的纵坐标为n，过点C、B、A所在的抛物线的解析式为ya(xh)k，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴ yax3.5． ∵ 抛物线yax3.5经过点A(1.5，3.05)， ∴ 3.05＝a·1.5+3.5， ∴ a2

221． 512x3.5． 5 ∴ 抛物线解析式为y ∴ n(2.5)3.5，

∴ n＝2.25．

∴ 球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．

【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，

然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．

1525. （2012·武汉·五月调考）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10O

23米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛

物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．

【答案与解析】

35

练习1. (2012·武汉·四月调考)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m

的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m．

(1)建立适当的平面直角坐标系．，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；

R(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3 m，最内轨道的半径为r m，其上每0.3 m的弧长上安装一个地

r漏，其它轨道上的

地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？

【答案与解析】

类型四、利用二次函数求图形的边长、面积的最大（小）值问题

6. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半

圆O，下部是一个矩形ABCD．

(1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；

(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．

2

①求隧道截面的面积S(m)关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；

②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)

【答案与解析】

(1)S半圆2(米2)；

(2)①∵ AD＝2r，AD+CD＝8，∴ CD＝8-AD＝8-2r， ∴ S1211rADCDr22r(82r)4r216r． 222②由①知，CD＝8-2r，又∵ 1.2米≤CD≤3米，

∴ 2≤8-2r≤3，∴ 2.5≤r≤3．

86412由①知，S4r16r≈2.43r216r2.434． 22.432.43∵ -2.43＜0，∴ 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴r28 ≈3.3，

2.43又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值．

11S最大432163≈3.144948≈26.1(米2)．

22【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式，②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．

举一反三：

【练习1.】已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，

BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积

【答案与解析】

解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y， 则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4） 易知CN=4-x，EM=4-y． 过点B作BH⊥PN于点H 则有△AFB∽△BHP ∴

24xAFBH，即， 1y3BFPH∴y1x5， 21Sxyx25x(2x4)，

2此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y随x的增大而增大， 对于2x4来说，当x=4时，S最大1245412． 2【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

【练习2.】(08山东聊城)如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

【答案与解析】

解：（1）设正方形的边长为cm，

则即解得

．

（不合题意，舍去），

．

．

剪去的正方形的边长为1cm． （2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为则与的函数关系式为：

．

即

．

cm2，

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时， 长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：

cm2．

y2(82x)x2即

102xx 2．

当时，．

若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：

y2(102x)x2即

82xx． 2．

当时，．

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为

cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为

cm2．