二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法

二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法

对于Riccati微分方程

y'Pxy2QxyRx （1）

称系数关系：I1PxRx,I2P'xPxQx 为方程（1）的不变量.

u'P(x)u变换，化为二阶线性方程u''I2u'I1u0.

引理 1 R氏方程（1）经

1y定理 二阶线性方程

y''bGG'Gy'cG2y0Gudxye （b,c为常数） 经变换，化为

duGdx.2分离变量方程 ubuc （2）

证明 在方程

y''bGG'Gy'cG2y0中，取PxG,QxbG,Rx

2cG,则不变量满足关系：I1PxRxcG,I2P'xPxQxG'G

2bG.于是，方程y''bGG'Gy'cGy0可化为Riccati方程：

u'Gu2bGucG. （3）

显然，方程（3）为分离变量方程（2）.

duf,u2Puy''bGG'Gy'cG2y0P12推论 可化为分离变量方程

y''bGG'Gy'cG2y0u其中满足（2）.此时，方程中，取Gf',bP1,

cP2,2则方程rbrc0可化为分离变量方程

duf'dxf.u2PuP12 （4）

xInxy''2xIn2x1y'3xIn3xy0.例 解方程

1y''2Inxy'3Inxy0.xInx解 将方程化为此时，取GInx,b2,

du1u3xInxdx,InC1,c3,则方程化为u22u341ueu1

x4x1C1e4x,ye4InxInx4xx1C1edxxC2ex4xx3xxxx1C1K1K2eee

2引理 2 对于R氏方程（1），若存在常数,,及可微Dx（不等于0）和y0x，满

足拓广不变量关系：

PxD2DDI1PxLy0D2,I2P'xPxQx2y0x

.则方程（1）可化为可积形式

duu2uDdx,

其中

yDP2uy0,Ly0y0'Pxy0Qxy0Rx.

定理 二阶线性方程 y''P'/PQ2y0Py'PLy0y0 （5）

Pxudxu'Pxu2QxuRx.ye经变换，化为Riccati方程

推论 二阶线性方程

f''y''2F'ff'f'''y'F'2F'F''F'f'wf'2y0f' （6）

经yef'udxduf.2uuw变换，化为可积形式 （7）

例 讨论方程V''sinx2V'cosx2Vsinx0的周期性.

cosxcosx12V0F',f'sinxsinxc .在方程（6）中，取

解 将方程变形为

V''2V'duxc1,u220,wc,c0ucc（常数），则本例方程化为积分形式

22c21dx2x/ccye1c1ec2ex(c1e2x/c)c1c1e2x/c，则 .显然，其解非周期解.

参考文献：【1】 张鸿林. 常微分方程手册[M]. 北京：科学出版社，1977.

【2】 ZHAOlin-long.The Integrable Conditions of Riccati

Differential Equation [J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics.

1999,14(3):67-70.