1．已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R． （1）b＝ 2 ；c＝ 3 ； （2）当△EFR周长最大时． ①求此时点E点坐标及△EFR周长；
②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，直接写出HQ的最大值为
316√65+
916
；
（3）连接CE、BE，当△ERC∽△BRE时，求出点E点坐标．
解：（1）解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3 ∴b＝2，c＝3
（2）①∵△ERF∽△BCO ∴△ERF为等腰直角三角形 当△EFR周长最大时，EF最长
设E（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3） ∴EF＝﹣m2+3m 当m=2时 EF=4，E（，2
9
3
154
3
）
9
在Rt△EFR中，ER＝FR=8√2 第 1 页 共 14 页
△EFR的周长为+
4
994
√2
32
②如图，连接OP，点H（，0）为OB的中点 ∵Q为BP中点 ∴HQ∥OP，HQ=2OP ∵EF=，FH= ∴M（，23
21894321
）
3
∴OM＝BM=8√65 ∵OP≤OM+PM ∴OP≤√65+
88∴HQ≤
39
65+ √1616316
3
9
∴HQ的最大值为
√65+
9
16
（3）若△ERC∽△BRE 则∠CER＝∠EBR ∴∠CEB＝90°
设E（m，﹣m2+2m+3），如图，当点E在对称轴右边，过点B和E分别作平行于x轴、y轴的直线，垂足为N，直线交于点G
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∵△CNE∽△EGB ∴∴
𝑁𝐸𝐵𝐺
=
𝐶𝑁𝐸𝐺
=
−𝑚2+2𝑚3−𝑚
𝑚−𝑚2+2𝑚+3
解得m1=∴E（
1+√51−√5，m（舍去） 2=221+√52
，5+√5） 2
当点E在对称轴左边时，
∵△ERC∽△BRE ∴∠REC＝∠RBE，
∵∠REC+∠CEF＝∠RBE+∠FEB＝45° ∴∠CEF＝∠FEB，延长EC交x轴于K， ∵直线EK的解析式为y＝（﹣m+2）x+3， ∴K（
3𝑚−2
，0），
∵EF⊥BK，∠CEF＝∠FEB， ∴EF垂直平分线段BK，
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∴m=
3
𝑚−2+32，
解得m=， ∴点E（，
21
154
12）
2．如图1，抛物线y1=−x2−tx﹣t+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），过y轴上的点C（0，4），直线y2＝kx+3交x轴，y轴于点M，N，且ON＝OC． （1）求出t与k的值；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，在x轴上方的对称轴上找一点E，使△BDE与△AOC相似，求出DE的长；
（3）如图2，过抛物线上动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q′是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？，若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由．
4
343
解：（1）将点C（0，4）代入抛物线y1=−3x2−3tx﹣t+2， 得，﹣t+2＝4， ∴t＝﹣2，
∴抛物线y1=−3x2+x+4，
34
8
4
4
∵C（0，4），ON＝OC， ∴N（﹣4，0），
将N（﹣4，0）代入直线y2＝kx+3， 得，﹣4k+3＝0， ∴k=4，
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3
∴直线y2=34x+3，
∴t的值为﹣2，k的值为3
4；
（2）如图1，连接BE， 在y1=−4
8
3x2+3x+4中，
当y＝0时， x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1.0），B（3，0）， 对称轴为x=−𝑏
2𝑎=1， ∴D（1，0），
∴AO＝1，CO＝4，BD＝2，∵∠AOC＝∠EDB＝90°， ①∴当△AOC∽△BDE时，
𝐴𝑂𝐵𝐷=
𝑂𝐶𝐷𝐸， ∴1=
4
2
𝐷𝐸
，
∴DE＝8，
②当△AOC∽△EDB时，
𝐴𝑂𝑂𝐶𝐸𝐷
=
𝐷𝐵
，
∴
1
4
𝐷𝐸
=2，
∴DE=1
2，
综上所述，DE的长为8或1
2；第 5 页 共 14 页
（3）如图2﹣1，点Q′是点Q关于直线MG的对称点，且点Q′在y轴上时， 由轴对称的性质知，QM＝Q'M，QG＝Q'G，∠Q'MG＝∠QMG， ∵QG⊥x轴， ∴QG∥y轴， ∴∠Q'MG＝∠QGM， ∴∠QMG＝∠QGM， ∴QM＝QG，
∴QM＝Q'M＝QG＝Q'G， ∴四边形QMQ'G为菱形，
设G（a，−a2+a+4），则Q（a，a+3），
4
4
3833
过点G作GF⊥y轴于点F， ∵GQ'∥QN， ∴∠GQ'F＝∠NMO， 在Rt△NMO中， NM=√𝑁𝑂2+𝑀𝑂2=5， ∴sin∠NMO=𝑁𝑀=5， ∴sin∠GQ'F=
𝐹𝐺4
=5， 𝐺𝑄′𝑁𝑂
4
①当点G在直线MN下方时， QG＝Q'G=3a2−12a﹣1，
4
23
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∴43𝑎𝑎2−𝑎−1
2312=，
5
4
解得，a1=
19+√55319−√553，a=； 2
1616
②如图2﹣2，当点G在直线MN上方时， QG＝Q'G＝﹣（a2−
34
23
a﹣1）， 12∴−4𝑎4
=， 232−𝑎−15𝑎3121+√131−√13，a， 2=44解得，a1=
综上所述，点G的横坐标为
3．如图抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于B、C（B在C左），且OA＝OC＝4OB； （1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，在第一象限内抛物线上有一点P，且点P在对称轴的右侧，连接PB交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，垂足为E，设点P的横坐标为t，AD＝m，求出m与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
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19+√55316
，19−√55316
，
1+√131−√13或． 44
（3）如图3，在（2）的条件下，在点C右侧x轴上有一点F，且CF＝AD，连接AE、DF，且AE与DF相交于点M，连接PC，点H是线段PE的延长线上一点，连接BH，使∠CPE＝∠CBH，取PC中点G，在线段GC上取一点Q，射线QE与线段BH相交于点R，连接GR、EG，在线段EG上取一点N，连接CN，使得∠CNE＝∠EMF，若GQ＝QE+GN，且GR=2，求点P的坐标．
√74
解：（1）y＝ax2+bx+4，当x＝0时，y＝4， ∴A（0，4）， ∵OC＝OA＝4OB， ∴OC＝4，OB＝1， ∴C（4，0），B（﹣1，0），
将C（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+4， 16𝑎+4𝑏+4=0得：{，
𝑎−𝑏+4=0𝑎=−1
解得：{，
𝑏=3
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；
（2）设点P的横坐标为t，则P点的坐标为：（t，﹣t2+3t+4）， ∵PE⊥x轴， ∴PE＝﹣t2+3t+4， ∵B（﹣1，0）， ∴OB＝1，BE＝t+1， ∵A（0，4）， ∴OA＝4，
OD＝OA﹣AD＝4﹣m， ∵PE⊥x轴，OD⊥x轴，
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∴OD∥PE， ∴△BOD∽△BEP， ∴
𝐷𝑂𝑃𝐸
=
𝐵𝑂𝐵𝐸
，即
4−𝑚
−𝑡2+3𝑡+4
=
1
𝑡+1
，
整理，得m＝t；
（3）过点F作FU∥AO，过点A作AU∥DF，AU交FU于点U，连接EU，如图3所示 ∴四边形ADFU为平行四边形，∠AOE＝∠EFU＝90°， ∴AD＝FU＝t， ∵OE＝t， ∴FU＝OE， ∵OC＝4， ∴EC＝4﹣t， ∵AD＝CF＝t，
∴EF＝EC+CF＝4﹣t+t＝4＝OA，
𝑂𝐴=𝐸𝐹
在△AOE和△EFU中，{∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐸𝐹𝑈=90°，
𝑂𝐸=𝐹𝑈∴△AOE≌△EFU（SAS）， ∴AE＝EU，∠OAE＝∠UEF， ∵∠OAE+∠OEA＝90°， ∴∠UEF+∠OEA＝90°， ∴∠AEU＝90°， ∵AE＝EU，
∴∠UAE＝∠EUA＝45°， ∵AU∥DF，
∴∠EMF＝∠UAE＝45°＝∠CNE， ∵∠CPE＝∠EBH， ∴tan∠CPE＝tan∠EBH， ∴𝐸𝐶𝑃𝐸
=
𝐸𝐻𝐵𝐸
， ∴
4−𝑡=
𝐸𝐻
−𝑡2+3𝑡+4
𝑡+1
，
解得：EH＝1，
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在GE上取点V，使得VE＝CQ，连接VC， ∵∠PEC＝90°，G为PC中点， ∴GE＝GC，
∴∠GEC＝∠GCE，GE﹣VE＝GC﹣QC，即GV＝GQ， 𝑉𝐸=𝐶𝑄
在△VEC和△QCE中，{∠𝑉𝐸𝐶=∠𝑄𝐶𝐸，
𝐸𝐶=𝐸𝐶∴△VEC≌△QCE（SAS）， ∴EQ＝VC，∠CVE＝∠EQC， ∵GQ＝QE+GN， ∴GV＝VC+GN， ∴GV﹣GN＝VN＝VC， ∴∠CNE＝∠VCN＝45°， ∴∠CVN＝90°， ∴∠CVE＝∠EQC＝90°， ∵∠PEC＝∠EQC＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝∠QEC+∠PCE＝90°，∠QEC＝∠EPC， ∵∠CPE＝∠EBH，∠BER＝∠QEC， ∴∠EBH＝∠BER， ∴ER＝BR，
∵∠EBH+∠BHE＝90°＝∠BER+∠REH， ∴∠REH＝∠BHE， ∴ER＝HR， ∴BR＝HR，
连接HC，取HC中点W，连接GW、RW，GW交x轴于点X，RW交EH于点Y， ∵BR＝RH，HW＝WC，PG＝GC，
∴RW为△BCH的中位线，GW为△PHC的中位线， ∴RW=2BC=2，GW∥PH，RW∥BC， ∴四边形EYWX为平行四边形， ∴∠YWX＝∠YEX＝90°，
1
5
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∴GW2＝RG2﹣RW2=(∴GW=，
72√742
2)−()2=
5249， 4∵GW为△PHC的中位线， ∴PH＝2GW＝7， ∵EH＝1， ∴PE＝6， ∴6＝﹣x2+3x+4， 解得：x1＝2，x2＝1， ∵对称轴x=
−𝑏−33
==， 2𝑎−22∴x2＝1在对称轴的左侧不符合题意，舍去， ∴x＝2，则P点的坐标为（2，6）．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD＝2√3，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．
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（1）证明：连接OD，如图： ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°， 即BC⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径， ∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝6﹣r， 在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2， ∴r2+（2√3）2＝（6﹣r）2， 解得：r＝2， ∴OB＝4，OD＝2， ∴OD=2OB， ∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，
160𝜋×22𝜋
∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOF=2×2 √3×2−360=2√3−3．
2
1
5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求线段EF的长；
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（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， 即OD垂直平分BC， ∴EC＝EB， 在△OCE和△OBE中 𝑂𝐶=𝑂𝐵{𝑂𝐸=𝑂𝐸， 𝐸𝐶=𝐸𝐵
∴△OCE≌△OBE（SSS）， ∴∠OBE＝∠OCE＝90°， ∴OB⊥BE， ∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，
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在Rt△OBD中，BD=BC＝2√3， ∵OD2+BD2＝OB2，
∴（x﹣2）2+（2√3）2＝x2，解得x＝4， ∴OD＝2，OB＝4， ∴∠OBD＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∴OE＝2OB＝8，
∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．
（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°， ∴在Rt△OBE中，BE=√3OB＝4√3， ∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC
1120⋅𝜋×42
＝2×2×4×4√3−360，
12＝16√3−
16𝜋
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