调和点列性质

ABAD，则称A、B、C、DBCDC四点构成调和点列。其中A、C和B、D称为调和共轭。

性质1：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆

O与D、F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和。

证明:A、D、E、F四点调和又而

ADAFADDE  ① DEFEAFFEAADADACBDDC **AFABAFBFCFDESVBDCBD*CD*sinBDCBDCD FESVBFCBF*FC*sinBFCBFFCDE故①成立。得证！

推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC（此直线也叫极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调和点列。 证明：暂略。

FBC性质2：A、B、C、D调和112 ABADAC证明：

112112bc而 ABADACaa+b+caba(ab)(ab)(abc)bcaabc即证。 aabcbc推论：已知

A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则OAOBOD.

反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且OAOBOD，则A、B、C、D四点调和。

22性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足AMMC

则必有MC平分BMD，MA外角平分BMD.

这是调和点列应用中相当重要的一个性质。 证明：反证法。

反设MC不平分BMD，作MC’平分角BMD交BD与C’，MA’外角平分角BMD交DB延长线与A’ ，则MC'MA'

BC'C'DBA'有外角平分线定理，A'DBA'BC'所以② A'DC'D由内角平分线定理，

BM MDBM MD由A、B、C、D成调和点列知注意到

BCBA CDADBC'BCBC'BC成立 C'DCDBDBDBA'BABA'BA成立 A'DADBDBDBA'BABCBC'所以 与②矛盾！ BDBDBDBD所以MC平分BMD，MA外角平分BMD