电磁场边值关系

§5 介质分界面上的麦克斯韦方程组的形式——电磁场的边值关系1DfHJDftEBt在不同介质的交界面上，由于介质在不同介质的交界面上由于介质B0性质的突变，电磁场也会有突变；在分界面上，微分形式的麦克斯韦方程失去意义，但麦克斯韦方程的积分形式适用积分形式适用。22010-9-91D, HJDt,EB, 麦克斯韦方程的积分形式：Bt0SDdSVfdVQfJddLHdlSfdSdtSDdSIfdtSDdSdLEdldtSBdSSBdS031、电磁场在界面处的法向分量的边值关系1)电位移矢量D的法向分量SDdSVfdVQ2)磁感应强度B的法向分量SBfdS02、电磁场在界面处的切向分量的边值关系1)电场强度E的切向分量2))磁场强度H的切向分量dLHdlSJfdSdtSDdSIdfSDdSdtdLEdldtSBdS42010-9-92n21E221E1DdSSVfdVQdldLHSJfdSdtDdSSSBdSf0ldLEddtSBdS51、电磁场在界面处沿面法向的变化62010-9-931）电位移矢量D的法向在界面处的关系n21D221D17假设：交界面上的有自由电荷面分布SDdSQfQffSQfD2n21SD1n21S SDdS侧n根据21SDdS0，得到侧D2Dn22n21D121f1——（5.5）D182010-9-94D2n21D1n21f2）E的法向分量的关系：①一般地，可根据自由电荷的面分布，确定分界面两侧电位移矢量的法向之间的关系；②再利用介质的电磁性质方程，得到两侧电场强度法向分量之间的关系。9Dn221D1n21f③如果分界面是由介电/介电材料构成，则有nf021DD22nD1nD2n即电位移矢量的法向分量连续；2DD11n12E2n1E1n因此，电场的法向分量是不连续的。102010-9-95结论：•电位移矢量D的法向分量位移矢量的法向分量DnDn在界面处一般是在界面处一般是在界面处般是不连续的，除非界面上无自由面电荷除非界面上无自由面电荷。•一般地，两侧电场强度法向分量之间也是不连续的。11SBdS03）磁感应强度的法向分量采用类似的推导可得n21B2BB2n2n21B1n2102B12nB1nBB1n1磁感应强度的法向分量Bn在界面处始终是连续的。122010-9-964）仿照讨论，可得到电流密度矢量在介质分界面处的关系自由电流密度矢量Jfft0极化电流密度矢量JPPt0磁化电流密度矢量JM013①对于分界面两侧的磁化电流法J向分量，仿造类似的推导，M0JM2nJM1n②在稳定条件下，自由电荷密度和J极化电荷密度都不随时间变化，fft0Jf0JP0JPP相应地有t0Jf2nJf1nJP2nJP1n142010-9-972、电磁场切向分量的边值关系15dldSLEdtSBd1）电场的切向分量的关系：nE221E2//2E1//1E1162010-9-98dLEdldtSBdS积分回路：跨越界面的矩形回路LEdllt(E2E1)nE221根据dSSB0，得到t(E2E1)0tE2//2E1//1或者t(E2//E1//)0E117t(E2//E1//)0由于t是分界面上的任意一个单位矢量，因此EEn2212//E1//E2——在界面处电场的切向分t2//量是连续的；E1//1上式也可以写成E1n21(E2E1)0——（5.10）182010-9-992）电流面密度矢量①假设电流集中在介质分界面（如导体与介电材料）簿层内流动；n21②面电流密度：H2表示在单位时间内垂直2f通过分界面上单位长度的电量的电量。1H119对于贴近界面的封闭线积分dlDLHSJfdSStdS回路，n21lHdllt(HH21)H2由于界面上存在自由电流面n2ft分布，1SJdSlnH1同时DStdS0202010-9-910从而得到n21lt(HlnH22H1)n2f考虑到如下的矢量关系考虑到的矢量关系：tnn121t得：H1nflfn21t tlfn21l此处利用矢量运算关系：abcbcacab——见附录（I.1）21最后得到lt(H2H1)lnt(Hfnltfn21l2H1)tfn21或者：(Hn2H1)//fn2121H22进一步地nfn(Ht212H1)//nn21f211利用关系式H1n(HH2121)//n21(H2H1)222010-9-9112010-9-9n21(H2H1)n21fn21由于n21fn21n21n21fn21fn21f0运用了公式：cabcbacab——（I.2）磁场强度的切向分量在介质分界面处的关系为n21(H2H1)f233、总结出电磁场的边值关系：1)电位移矢量的法向分量Dn21D2D1f2)磁感应强度的法向分量Bn21B2B103)电场强度的切向分量E//n21(E2E1)04))磁场强度的切向分量H//nH21(H21)f——（5.11）24122010-9-9①表明了介质两侧的场与界面上的自由电荷、电流之间的边值关系: 制约关系；②边界条件把边界面两侧的场界条件界面侧的场量联系起来，本质上是Maxwell方程在边界上的体现；n21B2B10③磁感应强度的法向和电场的n(E)0切向在边界上始终是连续的；212E1nD212D1f④电场法向和磁感应强度的切nH向在边界上一般会有跃变。21(2H1)f25HJDftIdSLHdlfdtSDdnH21(H21)f作类似的推导：MJMn(M212M1)M2613例题例电流稳定地流过两种导电介质的交界面，已知两流过两种导电介质的交界面已知两导电介质的电容率和电导率分别为1、1和2、2，交界面处的电流密度分别为J1和J2，试求交界面上自由电荷量的面密度。27n21D2D1f解：因为是稳定电流流过介质的交界面，所以根据电荷守恒定律：J2nJ1nJnn由高斯定理可得，交界面上自由电荷量的面密度为fD2nD1n（注：由于此处n法向矢量定义成是从介质1指向介质2的）2E2n1E1n282010-9-9142010-9-9f2E2n1E1n又根据欧姆定律：JEn可得到交界面上的自由面电荷密度：1f2E2n1E1n2JnJn2121f2Jn129作业（第二周3（第二周3-4节）第一章第章习题11第一章习题12第一章习题133015