线性代数教案 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日 授课章节 目的要求 重点难点 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 §1 矩阵的初等变换 §2 初等矩阵 理解初等变换、初等矩阵,掌握逆阵求法 利用初等变换法求逆阵 复习……………………………………………………………………………………3分钟 §1 矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换： （1）互换矩阵中两行（列）元素（记ri←→rj 或ci←→c j ）； （2）用一个非零数k乘矩阵的某一行（列）（记k×ri或k×ci ）； （3）矩阵的某一行（列）元素k倍地加到另一行（列）对应元素上（记ri +k×rj 或ci + k×c j ）；（注意：本行的元素并没有改变） 矩阵的初等行或列变换统称矩阵的初等变换。 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B，则称A与B等价。记做A ~ B 或 A →B 。矩阵等价的三个性质： （1）反身性 A →A ； （2）对称性 若A →B ，则B →A ； （3）传递性：若A →B ，B →C ，则 A →C。 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，即每段竖线的长度为一行，竖线后面的第一个元素为非零数。如 2101210101010120，0021，0020 000000030000等都是行阶梯形矩阵。 行最简形矩阵：在行阶梯形矩阵的基础上，每个非零行左数第一个非零元是1，并且它所在列的其它元素都是零。 标准型矩阵：它的左上角为一个单位阵，其它元素都是零。就是Er00. 0mn定理1 任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等行变换将其变成行阶梯形矩阵，进一步还可化成行最简形矩阵。 定理2 一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵。 定理3 任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等变换将其变成标准型矩阵。 021例1 用初等行变换将A382化成单位阵。 130…………………………………………………………………………………………42分钟 §2 初等矩阵 定义2（初等矩阵）对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵，称为初等矩阵。有以下三种类型：对调、倍乘、倍加， 第 次 第2－1页

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1．对调两行或对调两列 记为 1E(i,j)1E(i(k))i列1000101000010j列10001ji行 。 行12．以k≠0乘矩阵某行或某列 记为 i列1k1i行, 其中 k0。 13．以数k乘矩阵某行（列）加到另一行（列）上去 记为 1E(rikrj)E(cjkci)i列1j列k1ij行, 行1初等矩阵有如下性质： 性质1 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵， 1E -1(i,j)E(i,j)；E -1(i(k))E(i())；E -1(rikrj)E(rikrj) k性质2 初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵， E T(i,j)E(i,j)；E T(i(k))E(i(k))；E T(rikrj)E(rjkri) 性质3 对mn矩阵A施行一次行初等变换相当于在A的左边乘一个同类m阶初等第 次 第2－2页

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矩阵；而施行一次列初等列变换相当于在A的右边乘一个同类n阶初等矩阵。 初等矩阵的这个性质为计算逆矩阵提供了一个方法，讨论如下。 设A是n阶可逆矩阵，由上节定理2（一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵）则A可经过有限次初等行变换变成单位阵，即存在一批初等矩阵P1、P2、…、Ps ，使得 Ps … P2 P1 A = E ，所以 Ps … P2 P1 = A-1 ， 这样，如果把将A化成E过程中的每个初等阵Pi都记载下来，就可得到A的逆矩阵 A-1 = Ps … P2 P1 ，可以想象这样做也很麻烦。 采用对比的方法： Ps … P2 P1 A = E ， Ps … P2 P1 E = A-1 ， 就是说，对A做什么样的初等行变换，就对E做什么样的初等行变换，而不必记载中间的初等变换的具体结果，直至将A化成E 。 再考虑到分块矩阵的乘积，有 Ps … P2 P1（ A | E）=（Ps … P2 P1 A | Ps … P2 P1E ）=（E | A-1） 用初等变换表示上面的过程，就是 （ A | E）→（P1 A | P1E ）→（P2 P1 A | P2 P1E ）→ … → （Ps … P2 P1 A | Ps … P2 P1E ）=（E | A-1）。 这就是用初等变换求逆矩阵的方法。 23例3 用初等变换法求矩阵A的逆矩阵。 12021例4 用初等变换法求矩阵A382的逆矩阵。 130…………………………………………………………………………………………42分钟 内容小结: 初等变换; 初等矩阵; 掌握逆阵求法 思考题:利用初等列变法求逆阵 作业题:P79 1(1), 3(1)(2),5 备注: …………………………………………………………………………………………3分钟 第 次 第2－3页

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授课章节 目的要求 重点难点 §3 矩阵的秩 求解矩阵的秩 求解矩阵的秩 复习……………………………………………………………………………………3分钟 §3 矩阵的秩 定义3 在m×n矩阵A中，任取k（k ≤ min{m，n}）行、k列，位于这些行列交叉处的元素，不改变顺序组成一个k阶行列式，称此行列式为矩阵A的一个k阶子式。 一般地说，矩阵A的一个k阶子式不止一个，可以计算它共有CmCn个k阶子式。 kka11例如，Aa21a31a12a22a32a13a23a33a14a12a24，a22a34a13a23是它的一个二阶子式，a12a22a14a24是它22的另一个二阶子式，它共有C3C418个二阶子式。 a11a21a31a13a23a33a1433C44个三阶子式。 a24是它的一个三阶子式，共有C3a3411C412个一阶子式,它无四阶和四阶以上子式。 a12是它的一个一阶子式，它共有C3定义4 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式，而所有的r + 1阶（如果存在）子式均为零，则r称矩阵A的秩。记做R（A）= r 。 利用定义计算一般矩阵的秩可能需要较大的计算量，不是一个好方法。因此只能计算特殊的矩阵，如阶梯形矩阵的秩。如 20A0011143180，有R（A）= 3 。 00120000…………………………………………………………………………………………42分钟 定理4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 定理4给出求一般矩阵秩的方法，就是用初等变换将一般的矩阵化为阶梯形矩阵。 0503232361的秩。 例5 求矩阵A2015316414矩阵秩的基本性质：设A是m×n矩阵， （1）0 ≤ R（A）≤ min{m，n}； 第 次 第2－4页

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（2）R（AT）= R（A）； （3）若A←→B，则R（B）= R（A）。 （4）若P、Q可逆，则R（PAQ）= R（A）。 。 …………………………………………………………………………………………42分钟 内容小结: 求解矩阵的秩 思考题:n阶可逆矩阵的秩是多少?可逆矩阵又称为满秩矩阵. 作业题:P79 8,9(1)(2),11 备注: …………………………………………………………………………………………3分钟 第 次 第2－5页

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授课章节 目的要求 重点难点 §4 线性方程组的解 掌握线性方程组的解法 解方程组 复习……………………………………………………………………………………3分钟 §4 线性方程组的解 设有n个未知数m个方程的非奇线性方程组： a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2 （1） am1x1am2x2amnxnbma11a12aa2221令Aam1am2定义增广矩阵： a1nb1x1bxa2n2，b，X2，则（1）可写成： amnbmxnAXb （2） a11a12aa22B(A,b)21am1am2a1na2namnb1b2 （3） bm显然，方程组（1）与增广矩阵（3）有着一一对应关系。如果方程组（1）有解，则称（1）是相容的，否则称它是不相容的。 对方程组施行以下三种运算： 1）互换两个方程的位置； 2) 用一个不等于零的数乘某一个方程； 3) 某一个方程加上另一个方程的k倍。 所得新方程组与原方程组同解。 不难理解，对方程组施行的三种运算相当于对增广矩阵（3）做相应的三种初等行变换。因此，解方程组的问题可转化为对增广矩阵做初等行变换问题。那么，采用什么方法解方程组？这里仍使用初等数学中的Gauss消元法。 x12x25x319例6 用Gauss消元法求解线性方程组 2x18x23x322。 x3x2x11231从以上的求解过程发现，所有同解方程组所对应的增广矩阵，它们彼此之间是等价的（初等行变换），最终的矩阵是行最简型。下面用矩阵的形式重新求解原方程组。 第 次 第2－6页

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12519125191251904136001730B283221321101730041360125191251912010173001020173040015600010014x131003，就是x2 。 01022x400143…………………………………………………………………………………………42分钟 x12x23x3x41例7 求解线性方程组 3x1x25x33x42 。 2xx2x2x323411231112311解： B3153205401 2122305401x12x23x3x411231105401，对应方程组5x24x31 0020200最后一个方程是矛盾的，因此该方程组无解。 x12x23x3x41例7 求解线性方程组 3x1x25x33x42 。 2xx2x2x123411231112311解： B3153205401 2122105401x12x23x3x411231105401，对应方程组5x24x31 0000000最后一个方程是恒等式，因此方程组同解于前两个方程构成的方程组x12x23x3x41，克莱默法则说：未知数的个数与方程得个数相等的方程5x4x123第 次 第2－7页

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组，当它的系数行列式不等于零时，它有唯一的解。这样，在x12x23x3x41中，留下两个未知数，并且这两个未知数的系数构成的行5x24x31列式不等于零，而把其余的未知数当已知数移到等号右边，把这样的未知数叫做自由未知数，如将x1和x2当真正的未知数，把x3和x4 当自由未知数，即 37xcc2x12x23x3x41x3c11551，令，则， 5x24x31x4c2x4c1215537x155c1c2x14c它的所有解是2。 155x3c1xc24当然，这个过程仍可以矩阵形式得到， 12312311054010145000000007105401500010011 503x137c1c215551x14c。 0，2155500x3c1x4c2由以上的几个例题，归纳出一般的结果。 定理4 线性方程组（1）有解的充要条件是R（A）= R（B）。 当R（A）= R（B）= n 时，方程组（1）有唯一解； 当R（A）= R（B）< n 时，方程组（1）有无穷解。 对于n个未知数m个方程的奇次线性方程组： a11x1a12x2a1nxn0axaxax02112222nn （4） am1x1am2x2amnxn0第 次 第2－8页

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a11a12aa2221令Aam1am2a1nx1xa2n，X2，则（4）可写成： amnxnAX0 （5） 齐次线性方程组（4）总是相容的，当x1 = 0、x2 = 0、…、 xn = 0满足方程组（4），这组解称为零解，其它的解称为非零解。 齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特例。自然，非齐次线性方程组的一些结果也适应齐次线性方程组。对于齐次线性方程组，它的增广矩阵a11a12aa22B=Ab21am1am2a1na2namn00，显然有 0R（A）= R（B），因此，齐次线性方程组总是相容的。进一步， 当R（A）= R（B）= n 时，方程组（4）有唯一的零解； 当R（A）= R（B）< n 时，方程组（4）有无穷解。 x12x22x3x40例7 求解齐次线性方程组 2x1x22x32x40 。 xx4x3x03412…………………………………………………………………………………………42分钟 内容小结:用初等变换法求解方程组 思考题:方程组的个数大于方程变量的个数就一定无解吗? 作业题:P12(1)(3), 13(1)(3) 备注: …………………………………………………………………………………………3分钟 第 次 第2－9页