平面向量高考试题精选(二)
一．选择题（共14小题）
1．（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，A．C．
2．（2015•福建）已知
，若P点是△ABC所在平面内一点，
B．D．
，则（ ）
且A．13
B．15
，则C．19
的最大值等于（ ） D．21
3．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|
，则
A．20
B．15
=（ ） C．9
D．6
|=6，||=4，若点M、N满足，
4．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足则下列结论正确的是（ ） A．||=1 B．⊥
C．•=1
D．（4+）⊥
=2，=2+，
5．（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ） A．|C．（
6．（2015•重庆）若非零向量，满足||=夹角为（ ） A．
第1页（共18页）
|≤|||| B．|）=|
2
|≤|||﹣|||
）•（
）=
2
| D．（
2
﹣
2
||，且（﹣）⊥（3+2），则与的
B． C． D．π
7．（2015•重庆）已知非零向量为（ ） A．
B．
C．
D．
满足||=4||，且⊥（）则的夹角
8．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，动点D满足|A．[4，6]
|=1，则|B．[
+
+
|的取值范围是（ ） +1] C．[2
，2
] D．[
﹣1，，
+1]
），C（3，0），
﹣1，
9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，＜
＞=60°，则||的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．1
10．（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，A．
11．（2014•安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，
，均由2个和2个排列而成，若
2
=λ，=μ，若•
=1，•=﹣，则λ+μ=（ ）
B． C． D．
，+
•
，+
，•
和，，
•+•所有可能取值
中的最小值为4||，则与的夹角为（ ） A．
12．（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1
D．2
B．
C．
D．0
13．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（ ） A．
第2页（共18页）
+=
B． C． D．
14．（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则A．
B．2
C．3
D．4
等于（ ）
二．选择题（共8小题） 15．（2013•浙江）设夹角为30°，则
、
为单位向量，非零向量=x
+y
，x、y∈R．若
、
的
的最大值等于 ．
16．（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足
（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为 ．
17．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则
= ．
18．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则
的值
为 ． 19．（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则
20．（2010•浙江）已知平面向量
的夹角为120°，则|
21．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，
= ．
，
，则
|的取值范围是 ．
满足
，且
与
的最小值为 ．
第3页（共18页）
22．（2009•天津）若等边△ABC的边长为
= ．
三．选择题（共2小题） 23．（2012•上海）定义向量=asinx+bcosx的“相伴向量”为伴函数”构成的集合为S． （1）设g（x）=3sin（x+
）+4sinx，求证：g（x）∈S；
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相
，平面内一点M满足
=
+
，则
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模； （3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）+y=1上一点，向量
2
2
的“相伴函数”f（x）
在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．
24．（2007•四川）设F1、F2分别是椭圆（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且
=1的左、右焦点．
，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
第4页（共18页）
平面向量高考试题精选(二)
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，A．C．
B．D．
，则（ ）
解：由已知得到如图 由故选：A．
=
=
=
；
2．（2015•福建）已知
，若P点是△ABC所在平面内一点，
且，则的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21 解：由题意建立如图所示的坐标系， 可得A（0，0），B（，0），C（0，t），
∵，∴P（1，4），
∴∴
=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），
=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），
=4，
由基本不等式可得+4t≥2∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，
第5页（共18页）
当且仅当=4t即t=时取等号， ∴
的最大值为13，
故选：A．
3．（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|
，则
A．20
B．15
=（ ） C．9
D．6
，
，
|=6，|
|=4，若点M、N满足
，
解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足∴根据图形可得：=∴∵
2
=+，
=，
=
=
=
， •（
）=
2
2
﹣，
=
2
，
，
=
|∴故选：C |=6，|
=
22
|=4，
2
2
=12﹣3=9
第6页（共18页）
4．（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足则下列结论正确的是（ ） A．||=1 B．⊥
C．•=1
D．（4+）⊥
=2，
=2+，又
，
=2，
=2+，
解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足所以所以4
，=2，
，
=1×2×cos120°=﹣1，
=4，所以
；
=4×1×2×cos120°=﹣4，
=0，所以
=0，即（4）=0，即
故选D．
5．（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ） A．|C．（
|≤|||| B．|）=|
2
|≤|||﹣|||
）•（
）=
2
| D．（
2
﹣
2
解：选项A正确，∵|又|cos＜，＞|≤1，∴|
|=|||||cos＜，＞|， |≤||||恒成立；
|≥|||﹣|||；
选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|选项C正确，由向量数量积的运算可得（选项D正确，由向量数量积的运算可得（故选：B
6．（2015•重庆）若非零向量，满足||=夹角为（ ） A．
B．
C．
D．π
第7页（共18页）
）=|）•（
2
|； ）=
2
2
﹣
2
．
||，且（﹣）⊥（3+2），则与的
解：∵（﹣）⊥（3+2）， ∴（﹣）•（3+2）=0， 即3
2
﹣2
22
﹣•=0，
2
即•=3﹣2=
2
，
∴cos＜，＞===，
即＜，＞=故选：A
，
7．（2015•重庆）已知非零向量为（ ） A．
B．
C．
D．满足|
满足||=4||，且⊥（）则的夹角
解：由已知非零向量夹角为θ， 所以
•（
）=0，即2
|=4||，且⊥（），设两个非零向量的
=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；
故选C． 8．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，动点D满足|A．[4，6]
|=1，则|B．[
+
+
|的取值范围是（ ） +1] C．[2
，2
] D．[
﹣1，
+1]
），C（3，0），
﹣1，
】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），
∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））． 又A（﹣1，0），B（0，）， ∴∴|
++
++
=|=
，（其中sinφ=
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴
=
sin（θ+φ）≤
第8页（共18页）
．
=
，cosφ=
）
=
=，
∴|++|的取值范围是．
故选：D．
9．（2014•桃城区校级模拟）设向量
，满足
，
，＜
＞=60°，则||的最大值等于（ ）
A．2 解：∵∴设
B．
C．
，
的夹角为120°，
，
则
；
=
D．1
如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠ACB=180° ∴A，O，B，C四点共圆 ∵∴∴
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2 故选A
10．（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，A．
=λ
，
=μ
，若
• +•
）•（+λ
•μ
+
）=
+
+
+
=1，
•
=﹣，则λ+μ=（ ）
B． C． •
D．=（+λ
解：由题意可得若=2×2×cos120°+
=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
第9页（共18页）
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1， ∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①． •
=﹣
•（﹣
）=
=（1﹣λ）
•（1﹣μ）
=（1﹣λ）
•（1﹣μ）
=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣， 即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②． 由①②求得λ+μ=， 故答案为：．
11．（2014•安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，
，均由2个和2个排列而成，若
2
，+
•
，+
，•
和，，
•+•所有可能取值
中的最小值为4||，则与的夹角为（ ） A．
B．
C．
D．0
解：由题意，设与的夹角为α， 分类讨论可得 ①②③
•••
+++
•••
+++．
•••
+++
•••
=•+•+•+•=10||，不满足
=•+•+•+•=5||+4||cosα，不满足； =4•=8||cosα=4||，满足题意，此时cosα=
2
2
2
22
∴与的夹角为故选：B．
12．（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1
D．2
第10页（共18页）
解：∵向量=（1，2），=（4，2）， ∴=m+=（m+4，2m+2）， 又∵与的夹角等于与的夹角， ∴
=
，
∴=，
∴
解得m=2， 故选：D
=，
13．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（ ） A．
B．
C．
D．
+=
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点， ∴
+
=（
+
）+（
+
）=
+
=（
+
）=
，
故选：A
14．（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则A．
B．2
C．3
D．4
等于（ ）
==2
=4
，
解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴
第11页（共18页）
故选：D．
二．选择题（共8小题） 15．（2013•浙江）设夹角为30°，则解：∵
、
、
为单位向量，非零向量=x
+y
，x、y∈R．若
、
的
的最大值等于 2 ． 为单位向量，+y
，∴||=
和
=
的夹角等于30°，∴
=
=1×1×cos30°=
，
．
∵非零向量=x
∴====，
故当=﹣时，取得最大值为2，
故答案为 2． 16．（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足
（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为 3 ．
解：设P的坐标为（x，y），则 =（2，1），
=（1，2），
=（x﹣1，y+1），∵
，
∴，解之得
∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组
作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部 其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0） ∵|CF|=
=
，
=
点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d=
第12页（共18页）
∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=3
故答案为：3
×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为
17．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则18 ．
=
【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO ∵AP⊥BD，AP=3，
在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3 ∴|
|cos∠OAP=2|
|×cos∠OAP=2|
=||=6， ||
|cos∠PAO=3×6=18
由向量的数量积的定义可知，故答案为：18
18．（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则为 1 ． 【解答】解：因为故答案为：1
=
=
=
=1．
的值
第13页（共18页）
19．（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则
的最小值为 5 ．
解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0） 设P（0，b）（0≤b≤a） 则∴∴
故答案为5．
=（2，﹣b），
=（1，a﹣b），
=（5，3a﹣4b） =
≥5．
20．（2010•浙江）已知平面向量
的夹角为120°，则|
解：令用则由又∵
=与
=
、，
的夹角为120°， =
|的取值范围是 （0，
] ．
满足
，且
与
，如下图所示：
∴∠ABC=60° 又由AC=由正弦定理
得：
第14页（共18页）
|∴|故|
|=|∈（0，
≤]
|的取值范围是（0，
]
]
故答案：（0，
21．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，
，
，则
= ．
【解答】解：∵∴∵
，
，
，
，
∴cos∠DAC=sin∠BAC，
，
在△ABC中，由正弦定理得
变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，
，
=|BC|sinB=故答案为
．
，平面内一点M满足
=
+
，则
=
，
22．（2009•天津）若等边△ABC的边长为
= ﹣2 ．
第15页（共18页）
解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得
，
∴∵∴M∴
=（
，
=
+
=， ，）•（
，
，）=﹣2．
，
，
，
故答案为：﹣2．
三．选择题（共2小题） 23．（2012•上海）定义向量=asinx+bcosx的“相伴向量”为伴函数”构成的集合为S． （1）设g（x）=3sin（x+
）+4sinx，求证：g（x）∈S；
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模； （3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）+y=1上一点，向量
2
2
的“相伴函数”f（x）
在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围． 【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+其‘相伴向量’
）+4sinx=4sinx+3cosx，
=（4，3），g（x）∈S．
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx =（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx =﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx ∴函数h（x）的‘相伴向量’则|
|=
的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=
，sinφ=
．
=（﹣sinα，cosα+2）．
=
．
sin（x+φ），
（3）
其中cosφ=
当x+φ=2kπ+
，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+
﹣φ，k∈Z．
第16页（共18页）
∴tanx0=tan（2kπ+
﹣φ）=cotφ=，
tan2x0=
==．
为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣令m=，则tan2x0=
，m∈[﹣
，0）∪（0，
}．
]．
，0）∪（0，
当﹣
≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；
当0＜m≤
时，函数tan2x0=
单调递减，∴﹣
]．
≤tan2x0＜0．
综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，
24．（2007•四川）设F1、F2分别是椭圆（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且
=1的左、右焦点．
，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围． 】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，． ∴则
，
．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．
，又
，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立
∴
2
，
2
2
2
2
由△=（16k）﹣4•（1+4k）•12＞016k﹣3（1+4k）＞0，4k﹣3＞0，得又∠AOB为锐角
．①
，
第17页（共18页）
∴
2
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=kx1x2+2k（x1+x2）+4
2
∴x1x2+y1y2=（1+k）x1x2+2k（x1+x2）+4 =
=
=
∴
综①②可知
．②
，
．
∴k的取值范围是
第18页（共18页）
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