２０１８年第３期 中学数学研究 ·４３· 小为２ 一 ＝２√１６＿（ ）＝３ 以先根据条件得到Ｒ Ａ船特征，然后再考虑利用 三点共线的推论求解出 ，Ｙ关系再用基本不等式求 解． 。 例２ 已知在ＲｔＡＡＢＣ中，／Ｃ ＝９０。，ＡＢ·ＡＣ＝ ９，ｓ山惦 ：６，Ｐ为线段ＡＢ上的点，且 ： ．— Ｊ Ｃ４ Ｉ 解法２：在ＲｔＡＡＢＣ中，由Ａ ·ＡＣ＝９，得Ｉ ＡＢ １． １ ＢＣ Ｉ ｃｏｓＡ＝９，由面积为６，ｌ ＡＢ ｆ．Ｉ ＢＣ Ｉ ｓｉｒｒａ＝ 所以ｓｉｎＡ＝ ４１２，由以上两式解得ｔａｎＡ＝４ ，，— — — — ｃｏｓＡ ＋），．— ，则ｘｙ的最大值为 ＝÷，．’．Ｉ Ａ Ｉ·Ｉ Ｂｃ Ｉ＝１５，．。．Ｉ ＡＢ Ｉ＝５，Ｉ ＡＣ Ｉ＝ ｌ ＣＢ Ｉ 思路分析１：平面向量遇见平面几何三角形，可 ３，Ｉ ｃ ｌ＝４，由又Ｐ为线段Ａ 上的点，且ｃＰ＝÷ 一以先根据条件得到ＲｔＡＡＢＣ特征，然后再考虑利用 三点共线条件建立 ，Ｙ之间关系找到基本不等式， 转化为Ａ的二次函数求解． ＣＡ＋ ，故１＝詈＋等≥２√手。等，即 ｙ≤ ３，当且仅当手＝等＝１２，即 ＝ ３，Ｙ＝２时取等． 点评：求解平面向量的有关问题，通常有两种处 理方法：一是通过建立直角坐标系，转化为向量的坐 解法１：在ＲｔＡＡＢＣ中，由Ａ ·ＡＣ＝９得Ｉ ＡＢ Ｉ． Ｉ ＢＣ Ｉ ｃｏｓＡ＝９，由面积为６，得ｌ ＡＢ １．Ｉ ＢＣ ｌ ｓｉｎＡ＝ ：１２，由以上两式解得ｔａｎＡ＝．亍４ 所以ｓｉｎＡ＝ｉ４， ｃｏｓＡ＝÷，所以ｌ ＩＡＢ Ｉ·ｌ ｃ Ｉ＝１５，所以Ｉ Ａ Ｉ＝５， Ｉ ＡＣ Ｉ＝３，Ｉ ＢＣ『＝４． 标运算来加以解决；二是选择两个不共线的向量作 为基底，通过将所有的向量转化为基底的方法来加 以处理．一般情况下，运用向量的坐标运算时可操作 性强，而运用向量的基底时对思维的要求较高．平面 向量遇见几何问题。往往需要数形结合通过几何性 所以，以ＡＣ所在的直线为 轴，Ｐ为线段ＡＢ上 的一点，则存在实数．Ａ使得ＣＰ：Ａ ＣＡ＋（１一Ａ）ＣＢ ：质运用解析几何知识求解效果甚佳． 高三习题的讲和评，不仅让学生获得具体问题 的解法，而且让他们体验数学思想方法，加强学生对 知识和解题方法的掌握 】．让学生从解题中学会思 （３Ａ，４—４Ａ）（Ｏ≤Ａ≤１）．设 ｌ ＣＡ ｌ ： ， ｌ Ｃ ｌ 考，让学生在解题中落实数学核心素养，通过教师的 精心设计和讲评从而使学生的解题达到举一反三的 效果． ，＝ｅ２，且ｅ１＝（１，０），ｅ２＝（０，１），由已知得ＣＰ＝ （ ，０）＋（０，Ｙ）＝（ ，Ｙ），可得 ＝３Ａ，Ｙ＝４—４Ａ， 贝０ ４ ＋３ｙ １２，１２＝４ｘ＋３ｙ≥２￣／ ·３ｙ，可得ｘｙ 参考文献 ［１］郭建华．为学生创造“微探究”的机会［Ｊ］．中学教研（数 学），２０１７（７）：７—１０． ‘ ≤３，当且仅当 ＝÷，Ｙ＝２时取等，故所求ｘｙ最大 二 值为３． 思路分析２：平面向量遇见平面几何三角形，可 巧用仿射变换解决高考中解析几何问题 陕西安康学院数学与统计学院 （７２５０００） 王子怡 赵临龙（指导教师） 与椭圆相关的问题一直是高考中的重点、热点 问题．由仿射变换可以将椭圆转化为圆，结合圆的性 ·基金项目：安康学院硕士点培育学科专项（２０１６ＡＹＸＮＺＸ００９） ·４４· 中学数学研究 ２０１８年第３期 质求解问题大大降低运算量，节省了运算时间，也在 一ｆｘ ＝÷， 锯．作仿射／蛮换Ｊ ： ， 定程度上拓宽了研究问题的视野． 则椭圆变换为单位 例１… （２００７年宁夏高考理科ｌ９题）在平面 直角坐标系ｘｏｙ中，经过点（０， ）且斜率为ｋ的直 线与椭圆 ＋Ｙ ＝１有两个不同的交点Ｐ和Ｑ．（１） 求｛｝的取值范围；（２）设椭伺与 轴的正半轴、Ｙ轴的 圆 ＋Ｙ“：１． 设点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐ变换后的对应点为Ａ ，Ｂ ，Ｃ ， Ｐ ，不妨设点Ｐ 坐标为（凡，ｍ），则Ｃ 坐标为（ｎ，０）． 由于Ｐ Ａ 过原点与Ｐ ，．．．ｋ ，＝ ｍ．于是，由直 线ｙ ＝ｍｘ 和单位圆相交，求得点Ａ （一ｎ，一ｎｔ）， ｎ ·．．正半轴的交点分别为４， ，是否存在常数ｋ使得向 量ＯＰ＋ＯＱ与Ａ曰共线？如果存在，求出ｋ的值；如果 不存在，请说明理由． ｋＡ ＝ ｍ．由于Ｐ Ａ 是过原点动直线，所以尸 ４ 解：（１）作仿射变换，令｛【 系 ０ Ｙ ，则椭圆即变换为圆 ；ｋｘ＋ 十 ’得仿射坐标 是圆Ｄ 的直径，故Ａ Ｂ 上Ｐ 曰 ’．．． 肿，＝一 ． ，＝ ×ｙ，＝ｙ， ＋Ｙ ：１，直线ｚ：Ｙ ＋ ，即，，ｆｋｘ 一ｙ ｙ，： 变换为 Ｙ ＝ （一２ｎｍ）＝＿２，又因 ＝号， ， ： ．．·． 后船 ＝０． ，所以ｋｅ，Ａ，： 若直线Ｚ 与圆 ＞＋ｙ“＝１的交点‘有两个，则 丢刷 ＞铷 ＜一譬． ‘ ＝ ２×Ｔ×（一２）＝一１ ．ＰＡ上ＰＢ． √２例３［。 （２００７年全国高考文、理科题２）已知 （２）已知椭圆与 轴的正半轴、Ｙ轴的正半轴的 交点分别为Ａ（ ，０），Ｂ（Ｏ，１），经仿射变换后为 Ａ （１，０），Ｂ （０，１），Ｐ，Ｑ变为Ｐ ，Ｑ ，则Ｐ ，Ｑ 必在圆 上，记直线Ａ Ｂ 的斜率为ｋ。，则ｋ ＝一：１，直线Ｐ Ｑ 椭圆等＋等＝１的左，右焦点分别为Ｆ ，Ｆ２过点Ｆｔ 的直线交椭圆于Ｂ，Ｄ两点，过点Ｆ：的直线交椭圆于 Ａ，Ｃ两点，且ＡＣ上ＢＤ，垂足为Ｐ．求四边形ＡＢＣＤ面 积的最小值． Ｉ ＿＝＝． 的斜率为√２ｋ． 若ＯＰ＋ＯＱ与ＡＢ共线，则经过仿射，０ Ｐ ＋ 解：作仿射变换：Ｊ √。ｊ则椭圆变换为圆 ０ Ｑ 与Ａ Ｂ 仍共线． 老， ，２＋ｙ，２＝·，设０ Ｐ ＋０ Ｑ ＝０ Ｃ ，则０ Ｃ 为菱形 ０ ＰｆＣ ｒＱ 钓对角线，必布ＰｆＱ ｏｆＣｔ． 点Ｐ（ ， ）变为 当０ Ｃ 与Ａ Ｂ 平行时，Ｐ Ｑ 上Ａ Ｂ ．此时有 一 ＝ ＝ ． Ｐ （ ＋１），ｙ＝ ， ）（ｊＩ｝为对角线Ａｃ斜率）· 设四边形的对角线ＡＣ，ＢＤ方程分别是Ｙ＝ｋ（ （ 一１）（· ≠０），则变换方程分别为 由（１）知ｋ＞ 或ｋ＜一 ２，所以没有符合题 西 ＝ ．１｝（ 意的常数ｋ． 例２［２ （２０１１年江苏卷第１８题第（３）问）过 １），西 ＝ （ 一１）（．ｊ｝≠０）· 即变换后的四边形对角线斜率满足 。矗 ：孚 ＝ ＝ ＝一 ＝一 坐标原点的动直线ｚ交椭圆等＋等＝１于Ｐ，Ａ两点， 其中Ｐ在第一象限，过点Ｐ作 轴的垂线，垂足为Ｃ， 连结ＡＣ并延长交椭圆于点Ｂ，若直线ＰＡ的斜率为 正。求证：Ｐ４ ｊ－Ｐ ． 时，变 换后的四边形的面积取最小值．［ 此时，由变换后的四边形的对角线方程可知ｋ ２０１８年第３期 中学数学研究 ·４５· · Ｐ （赫 得ｍ ＝ ． ）＝ ０ ： １６ ． 例５＿６ （２０１６年北京高考理科１９题第２问） 已知椭圆 ＋告＝ｌ（ａ＞ｂ＞０）的离心率为 ， “ ￡， （０，０），Ｂ（０，６），０（０，０），△ＯＡＢ的面积为１，设尸 于公式 Ｓ＝２（ｒ２一ｍ２ １ ） 是椭圆Ｃ上的一点，直线ＰＡ与Ｙ轴交与点 ，直线 ＰＢ与 轴交于点 求证Ｉ ＡＮ １．Ｉ ＢＭ Ｉ为定值． ’ ２ 例４［ （２０１５年全国卷Ⅱ理２０）已知椭圆Ｃ： ２ ，９戈 ＋ｙ２＝ｍ （ｍ＞０），直线ｌ不过原点０，且不平行 于坐标轴，Ｚ与Ｃ有两个交点Ａ，Ｂ，线段ＡＢ的中点为 Ｍ． 解：由题易得０＝２，６：１，已知椭圆为 ＋午 ＝１，Ａ（２，０），Ｂ（０，１）． （１）证明：直线ＯＭ的斜率与直线Ｚ的斜率的乘 积为定值； 在仿射变换｛ ． ｔｙ ＝２ｙ 下，则椭圆变换为圆 ＋ Ｎ ＝ ｙ“＝４，设点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｍ，Ｎ变换后的对应点为Ａ ， ， （２）若ｚ过点（子，ｍ），延长线段Ｄ 与ｃ交于点 Ｐ，四边形ＯＡＰＢ能否为平行四边形？若能，求此时１ 的斜率：若不能，说明理由． ｒ ＝ ， ｃ ， ，Ｎ ．当点Ｐ 在第一象限，由于 ｏＢｆＮ’一４５ｏ＝ ＯＢｔＮｔ一乙ＭｆＰ‘Ｂ｜＝厶Ａ｜ＭｔＢ 而厶Ｂ Ｎｒ＝ Ａ ＡＩＭ ＝１３５ｏ。 ． ＡｔＢ Ｎ’ｓ △Ｂ Ｍ＇Ａ 相似． 一Ｉ ·．． 解：（１）作仿射变换｛， １ 负ＪＪ圆半径变为 Ｌ 一 ’ Ｉ ＝ ｆ曰 Ｉ’ 。 Ａ＇Ｎ，－．。… ， 川一。 ＝ ｌ Ａ ‘Ｉ ＝８ ．Ｉ ＡＮ １．２ Ｉ ＢＭ Ｉ＝８． ．．ｍ ＝孚的圆 ＋ｙ“＝ｍ“，所有的斜率都变为原 ｆ ＡⅣ１．１ ＢＭ Ｉ＝４． 与参考答案相比较，上述问题利用仿射变换的 解法大大降低了利用解析几何解题的计算量，解题 思维也更加流畅，更能接近问题的本质． 参考文献 ［１ｊ贾慧美，基于仿射变换下对椭圆的探讨［Ｊ］．数学教学通 讯，２０１７．１２． 来的÷． 因为变换后０ Ｍ 上Ａ Ｂ （垂径定理），．．．．１｝ ，· ｜ｊ｝＾， ，＝一１．．’．后伽· ＡＢ＝一９． （２）要使四边形ＯＡＰＢ为平行四边形，只需使 变换后的四边形为菱形．因为变换前的直线过点 （予，ｍ），变换后的直线过点（予， ３），即（ｍ ，ｍ ）． 设变换后的直线ｚ 过点（予，予），即（ｍ ，ｍ ）， 变换后的直线）， ＝ （ 一ｍ ）＋ｍ ，则依题意可 知：０ 到直线ｌ 的距离为圆的半径的一半，即 ：［２］周涛，２０１１年江苏卷１８题的解题研究［Ｊ］．数学教学研 究，２０１２．２． ［３］周振荣，赵临龙，高等几何［Ｍ］．武汉：华中师范大学出 版社，２０１３． ［４］彭耿铃，巧用仿射变换妙解一类解析几何问题［Ｊ］．数学 通讯，２０１６． ． 等 ．故变换前的 ［５］赵临龙，封闭二次曲线内接四边形面积最值新探［Ｊ］．河 南科学，２０１１．１１． ［６］唐绍友，２０１６年北京市高考数学试题特点及教学建议 直线１的斜率为Ｉｉ｝＝３ｋ ＝４土 ．所以，当ｌ的斜率 ［Ｊ］．中国数学教育，２０１７．２． ‘． 为４＋√７或４一 时，四边形ＯＡＰＢ为平行四边形． ２０ １ ７年全国高中数学联赛Ａ卷第１ ０题思路详解 江西师大附属中学不等式在全国高中数学联赛中属必考题型， （３３００３８） 汪师林 ２０１７年一试第１０题即是一道不等式问题． 题目难度