[推荐学习]新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.5函数性质与方程不等式等相结合问题教学案理

函数性质与方程、不等式等相结合问题

函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.本文就高中阶段学生存在的困惑加以类型的总结和方法的探讨. 1函数与方程关系的应用

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通过方程进行研究.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大. 例1 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设函数fxlnx,gx（1）当ab12axbx. 21，求函数hxfxgx的单调区间； 22（2）当a0,b1时，函数Hxx2mfxgx有唯一零点，求正数m的值.

思路分析：（1）求导hxx2x12x，易知：函数hx的单调递增区间为0,1，单调递减区间2x22mx2m为1,.（2）Hx，对m进行分类讨论，得到函数Hx的最小值，函数xHxx22mfxgx有唯一零点即函数Hx的最小值为零.

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点评：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

x121 ，例2设函数fx，若函数gxfxbfxc有三个零点x1，x2，x3，则logx11 ， x1ax1x2x2x3x1x3等于 . 【答案】2

y21-4-3-2-1-1O1234x-2

【解析】由图可得关于x的方程fxt的解有两个或三个（t1时有三个，t1时有两个），所以关于t2的方程tbtc0只能有一个根t1（若有两个根，则关于x的方程fxbfxc0有四个或五

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个根），由fx1，可得x1，x2，x3的值分别为0,1,2，x1x2x2x3x1x30112022，故答案为2.

点评：本题主要考查分段函数的图象和解析式；2、函数零点与方程根之间的关系及数形结合思想的应用,属于难题. 判断方程yfx零点个数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数yfx零点个数就是方程fx0根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数

ygx,yhx的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，

二是转化为ya,ygx的交点个数的图象的交点个数问题 .本题判定方程fxt的根的个数是就利用了方法③.

2 函数与不等式关系的应用

函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线，方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而同时研究函数的性质，也离不开解不等式的应用.

2e,e例3【辽宁省凌源市2018届期末】若存在x使得不等式x1ax成立，则实数a的取值范围lnx4为（ ） A. 121111111 B. C. D. ,,+,+, 2222e224e22e24e【答案】B

数a的取值范围是121,，故选B. 24e点睛：研究函数有解问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化，根据不等式有解求参数取值范围，通

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常采用分离参数法，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，从而求出a的范围着重考查了转化与化归思想的应用，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力. 例4已知函数f(x)lnxk（kR）． xx1的大小； 2ke（1）若函数f(x)的最大值为h(k)，k1，试比较h(k)与（2）若不等式xf(x)21150与kx4x在[1,)上均恒成立，求实数k的取值范围． x14lnxk1的单调性，求出其最大值h(k)f(ek1)k1，分两思路分析：（1）利用导数研究函数f(x)xxe种情况比较大小；（2）由xfx()2111kg(x)ming(1)，0且x1得，klnxg(x)，x12x(x1)再由x4x15111(x2)2，得k，可得结果. 4444点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数afx恒成立(afxmax即可)或afx恒成立（afxmin即可）；②数形结合(yfx图象在ygx上方即可)；③讨论最值f(x)min0或

f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题（2）就是利用方法①求得实数k的取值范围的.

3 函数、方程和不等式关系的应用

函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在高中阶段，应该让学生进一步深刻认识和体会函K12的学习需要努力专业专心坚持

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数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学习的基本指导思想，这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此，要高三的复习中，对这部分内容应予以足够的重视. 例5已知函数fxalnxaR． x1（1）当a2时，比较fx与1的大小；

9时，如果函数gxfxk仅有一个零点，求实数k的取值范围； 21111（3）求证：对于一切正整数n，都有lnn1． 3572n1（2）当ax2120fxlnx，其定义域为0,，令fx思路分析：（1）当a2时，fx2x1xx1在0,上是增函数故当x1时，fxf11；当x1时，fxf11；当x1时，（2）当afxf11；99时fxlnx，其定义域为0,，令 22x1fx2x1x20111x2x,x20xx2时， 当或时，；当fx01222222xx111fx0函数fx在0,上递增，在,2上递减，在2,上递增fx的极大值为2231极小值为f2ln2，又当x0时，fx；当xf3ln2，时，fx，22（3）根据（1）的结论知当x1时，fx1即当x1时，k3ln2或kln2；32lnx21x1k1k11223141，令x lnln,ln,ln,x1kk2k11325372lnx1 x1n11,ln n2n1lnlnlnln3243lnn1111n3571234  ln2n1123n1111 n3571111所以lnn12n13571． 2n1K12的学习需要努力专业专心坚持

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（3）根据（1）的结论知当x1时，fx1．即当x1时，则有lnk11223141，从而得ln,ln,ln,k2k1132537234n11111lnlnlnln，即123n3572n12x1k1lnx1，即lnx令x，x1x1kn11,ln，故得n2n1234ln123n1111n3571111，所以lnn13572n11． 2n1点评：本题考查函数的函数的极值、函数的零点、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用.

综合上面三种题型，可以采取以下几种技巧和方法：①函数性质与方程综合时，要先将函数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后在研究函数零点问题；②函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调性、最值进行研究；③函数、方程与不等式综合在一起时，要注意利用导数这个有利工具进行解答.

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