六年级奥数讲义：圆与扇形

六年级奥数讲义：圆与扇形

1. 利用圆与扇形面积公式进行面积计算．

2. 会将不规则图形转化为规则图形进行面积计算．

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.

圆的面积r2；扇形的面积=r2圆的周长=2r；扇形的弧长=2r

一、 跟曲线有关的图形元素。

1、 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是比如：扇形的面积=所在圆的面积n； 360n 360n. 360121416n； 360n. 360扇形中的弧长部分=所在圆的周长扇形的周长=所在圆的周长n2半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长） 360｜

2、 弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积。

一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积。（除了半圆）

3、 “弯角”：如图：

弯角的面积=正方形-扇形

4、 “谷子”：如图：

二、 常用的思想方法：

“谷子”的面积=弓形面积×2

1、 转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的） 2、 等积变形（割补、平移、旋转等） 3、 借来还去（加减法）

4、 外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）

用平移、旋转、割补法求面积

【例 1】 如图，在188的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占

整个方格纸面积的几分之几?

【分析】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+1654个，其中2

部分有

6+6+820个，部分有6+6+820（个），而1个 和1个 正

好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+2074（个）完整小正方形，而整个方格纸包含818144（个）完整小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的

7437，即． 14472［拓展］ 如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这

四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．（取3）

ADADBa

［分析］ 这道题目是很常见的面积计算问题.阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接

通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了.

如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，

S阴影4S半圆S三角形

【例 2】 如图，阴影部分的面积是多少？

CBaC

21aa1 4a

2222 a2

124222

｜

【分析】 首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求

号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积。则阴影部分面积(222)4(22)48

［铺垫］ 计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．

1055AA

［分析］ 将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形．

5105275237.5(平方分米)．

【例 3】 (第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，

以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．(π取3.14)

4

BDCEKFAAEKFBDC

【分析】 根据题意可知扇形的半径r恰是正方形的对角线，所以r232218，如右图将左边

的阴影翻转右边阴影下部，S阴影S扇形S柳叶182(1833)1838.58

［巩固］ 求图中阴影部分的面积．（取3）

13144545

［分析］ 看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面

积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手.

这样，平移和旋转就成了我们首选的方法.

解法一： 我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的

①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②

部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为101050，所以阴影部分的面积为15050100(平方厘米)．

解法二： 欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A

与C重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.

｜

20cm12

所以阴影部分面积为1021010100（平方厘米）.

1212D4545BCAABC

【例 4】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？

(圆周率取3.14)

DAEADEMFFBCBC

【分析】 方法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD 的面积均为

a12a2．阴影部分为：大正方形梯形三角形ABF右上角不规则部分大正

方形右上角不规则部分1圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04． 4方法二：连接AC、DF，设AF与CD的交点为M,由于四边形ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有S△ADMS△CMF,所以S阴影S扇形DCF3.1412124113.04

6

［巩固］ 如图，ABCD是正方形，且FAADDE1，求阴影部分的面积．(取3)

BCFADE

BMNCW ［分析］ 方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通

过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现. 由于对称性，我们可以发现，弓形BMF的面积和弓形BND的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形BDWC的面积。因为ABCD是正方形，且FAADDE1，则有CDDE。那么四边形BDEC为平行四边形，且∠E45°.我们再在平行四边形BDEC中来讨论，可以发现不规则图形BDWC和扇形WDE共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积平行四边形BDEC-扇形DEW1145512. 360814FADE方法二：先看总的面积为的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总面积扣除一个等腰直角三角形，一个圆，一个45的扇形．那么最终效果等于一个正方形扣除一个45的扇形．面积为11312．

【例 5】 如图所示，阴影部分的面积为多少?(圆周率取3)

141858｜

3454533AB33A1.51.5B31.5

27． 16【分析】 图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积．

所以SASB1.521.534323328498

94【例 6】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，

那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【分析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆

的内接正方形．设大圆半径为r，则S22r2，S1r22r2，所以

S1:S23.142:257:100．

移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．

［巩固］ 如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆

周率取3.14)

8

［分析］ 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为553.14239.25cm2

其他方法求面积

【例 7】 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周

率取3.14)

【分析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再

扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：

4444224233.1481.42．

［巩固］ 如图，等腰直角三角形ABC的腰为10；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；

两个阴影部分的面积相等.求扇形所在的圆面积.

｜

AECFB

［分析］ 题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系的

两个阴影部分通过空白部分联系起来.

等腰直角三角形的角A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍. 而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即S扇形101050， 则圆的面积为508400

【例 8】 如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形

12CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积.（取3）

AFDEBC

【分析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还

有一个不规则的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键.

我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形

ABCD，

所以不规则部分ABFD的面积为644212（平方厘米）， 再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积， 则有阴影部分面积为621215（平方厘米）.

10

1414

11S阴影S扇形EABS扇形BCFS长方形ABCD62424615方法二：利用容斥原理（平方厘44米）

［巩固］ 如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，AEB是以C为圆心，AC为

半径的圆弧. 求阴影部分面积．

DEAOBC ［分析］ 阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆

加上三角形ABC再减去扇形ACB的结果. 半圆面积为152，

三角形ABC面积为151515152，又因为三角形面积也等于AC2， 所以AC22152， 那么扇形ACB的面积为

901AC22152. 3604121212阴影部分面积S阴影S半圆S三角形S扇形

【例 9】 下图中，AB3，阴影部分的面积是

111521522152 24 225 （平方厘米）

｜

ACAHCEFEGF

【分析】 如图可知EF3，设大半圆半径为R，小圆半径为r，如右图REH，rHGEG，

根据勾股定理得R22r2，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知

S阴影S小圆S柳叶

S小圆（2S扇形EHFSS小圆2S扇形EHF2SEHFBDBD)

EHF

S小圆S大半圆2S2SEHFEHF

EFGH3324.5

［铺垫］ 如图，求阴影部分的面积.（取3）

345

［分析］ 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不

能直接求出它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了. 阴影部分面积

12

111小圆面积中圆面积三角形面积大圆面积 222

111132423452 2222

6

【例10】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴

着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)

30A301010B20C

31个圆，B，C分别是半径为20米和10米的个圆． 44341414

【分析】 (此题十分经典)如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径

30米的

所以羊活动的范围是302202102

311302202102

4442512．

【例11】 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米.

每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图).那么，阴影部分的面积是多少平方米？

1110987654B12123DAOC

【分析】 在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式

直接求出阴影部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系.

｜

将原题图中的等边三角形旋转30°（注意，只转三角形，圆形不动），得到右上图．因为△AOD、△BOD都是等边三角形，所以四边形OBDA是菱形，推知△AOB与△ADB面积相等．又因为弦AD所对的弓形与弦BD所对的弓形面积相等，所以扇形AOB中阴影部分面积占一半．同理，在扇形AOC、扇形BOC中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是1025(平方米).

【例12】 如图，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米.现在以C点为圆心，把

三角形ABC顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是 平方米（π

A(B')ADBCD'A'取3.14）B C【分析】 如图，顺时针旋转后，A点沿弧AA'转到A'点，B点沿弧BB'转到B'点，D点沿弧DD'转到D'点.因为CD是C点到AB的最短线段，所以AB扫过的面积就是图中的弧A'AB与BDD'A'之间的阴影图形.S阴影S半圆S空白

11， S△ABCS△BDCS△AD'C11（平方米）

221， S△ABCS正方形ADCD'CD2（平方米）

2所以，S扇形DCD'CD244128（平方米），

我们推知S阴影BC2S扇形DCD'(S△BDCS△ACD'）

2

21 82 

31 82 0.6775（平方米）.

［铺垫］ 如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60°，此时BC长5厘

米.以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120°，点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（取3）

14

ECABD

［分析］ 注意分割、平移、补齐.

E(1)C(2)ABD

如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 因为∠EBD60°，那么∠ABE120°， 则阴影部分为一圆环的.

所以阴影部分面积为AB2BC275(平方厘米).

1313

1.

求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)：

63245

⑴ ⑵ ⑶

【分析】 ⑴4.5 ⑵1.5 ⑶ 4.5

2.

如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)．

｜

B'60AB

【分析】 面积圆心角为60的扇形面积半圆空白部分面积(也是半圆)圆心角为60的扇

形面积

3.

603324.5cm2． 3602如下图，长方形ABCD，长是8 cm，则阴影部分的面积 .（3.14）

【分析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面

积再除以2即可.

长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：

88282226.88

2所以左图阴影部分的面积等于6.8823.44平方厘米.

4.

用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

16

【分析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积r2:R21:9，

小圆面积364，7个小圆总面积4728， 边角料面积36288(平方厘米)．

5.

19如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知

ABBC10，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)

ABABPDPDC

C

【分析】 连接PD、AP、BD，如图，PD平行于AB，则在梯形ABDP中，对角线交于M点，

那么ABD与ABP面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP与圆内的小弓形的面积和．

ABP的面积为：10102225；

弓形面积： 3.145545527.125； 阴影部分面积为：257.12532.125．

6.

一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)

33

【分析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角300°的扇形与两个半径1m，圆心

角120°的扇形之和．所以答案是43.96m2．

｜

切忌这山看着那山高

兔子是世界上最善良的动物了，它只吃青草，什么也不伤害。可是，它却被很多动物伤害：狐狸、狼、老虎……这太不公平了！有一天，兔子就向上帝诉苦，它不想再做兔子了，要求上帝变一变。

上帝很仁慈，马上答应了兔子的要求：“好吧，你想变成什么?”兔子说：“变成一只鸟，在天上自由地飞来飞去，那些狐狸呀狼呀虎呀就再也抓不着我了。”

上帝把兔子变成了鸟。没过几天，鸟又来诉苦：“仁慈的上帝呀，我再也不想做鸟了！我们在天上飞，天上的老鹰能抓住我们；我们在树上筑巢，树上的毒蛇能咬死我们。这样的日子实在是太难过了!”

上帝问鸟：“你想怎么样呢?”鸟说：“我想变成大海里的一条鱼，海里没有老鹰，没有毒蛇，我们才能安心地过日子。”

上帝又把鸟变成了鱼。可是，鱼的处境似乎更糟，因为大海里到处都有“大鱼吃小鱼，小鱼吃虾米”的争斗。过了几天，鱼又要求上帝把它变成人……

千万不要与别人盲目攀比，不要羡慕别人所拥有的而看轻自己，不要用别人的标准来衡量自己。现在拥有的才是自己真正的财富，其实真正的强者从不在乎自己是什么，只在乎自己成功了什么。

18