中考数学一元二次方程提高练习题压轴题训练附详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

21．解方程： 12x）（x26x9

【答案】x14，x22 3【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.

试题解析：因式分解，得

22 （12x）（x3）开平方，得

12xx3，或12x （x3）解得x14，x22 3与之间的函数关系式；

2．将m看作已知量，分别写出当0m时，

m0. 4（1）当m取什么值时，方程有两个不相等的实数根；

3．已知关于x的一元二次方程mxm2x2（2）当m4时，求方程的解.

【答案】（1）当m1且m0时，方程有两个不相等的实数根；（2）x135，4x235. 4【解析】 【分析】

（1）方程有两个不相等的实数根，，代入求m取值范围即可，注意二次项系数≠0；

（2）将m4代入原方程，求解即可. 【详解】

m0，解得m1. 4因为m0，即当m1且m0时，方程有两个不相等的实数根.

（1）由题意得：b24ac =m24m2（2）把m4带入得4x26x10，解得x1【点睛】

3535. ，x244本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.

4．已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．

(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值. 【答案】(1)b24acm3≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】

分析: （1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用公式法可求出x1=详解: （1）证明：∵m≠0，

∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程， ∴△=（m-3）2-4m×（-3） =（m+3）2，

∵（m+3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x=∴x1=-23，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值． m3mm32m ，

3，x2=1， m∵m为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴m=-1或-3．

点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．

5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根． （1）求a的取值范围；

（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 【答案】（1）a≤【解析】

【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；

（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得. 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根， ∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤

17；（2）x=1或x=2 417； 417， 4∴a的最大整数值为4， 此时方程为x2﹣3x+2=0， 解得x=1或x=2．

（2）由（1）可知a≤

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2． 【解析】 【分析】

（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.

（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】

（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米， 根据题意得：x(32﹣2x)=126， 解得：x1=7，x2=9， ∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，

∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米． （2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米， 根据题意得：y(36﹣2y)=170， 整理得：y2﹣18y+85=0． ∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0， ∴该方程无解，

∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．

7．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1． 【解析】 【详解】

分析：（1）求出根的判别式b24ac，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则b24ac0，写出一组满足条件的a，b的值即可.

详解：（1）解：由题意：a0．

∵b24aca24aa240，

2∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足b24ac0（a0）即可，例如： 解：令a1，b2，则原方程为x22x10， 解得：x1x21．

点睛：考查一元二次方程axbxc0a0根的判别式b24ac，

2当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根. 当b24ac0时，方程有两个相等的实数根. 当b24ac0时，方程没有实数根.

8．阅读材料:若m22mn2n28n160，求m、n的值. 解:

m22mn2n28n160，

(m22mnn2)(n28n16)0 (mn)2(n4)20， mn0,n40，

n4,m4.

根据你的观察，探究下面的问题:

22（1）己知x2xy2y2y10，求xy的值.

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2b26a8b250，求边c的最大值.

2（3） 若己知ab4,abc6c130，求abc的值.

【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】 【分析】

（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；

（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之

和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；

（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值． 【详解】

（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0 ∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0 ∴（x+y）2+（y+1）2=0 ∴x+y=0 y+1=0 解得：x=1，y=﹣1 ∴x﹣y=2；

（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0 ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0 ∴a﹣3=0，b﹣4=0 解得：a=3，b=4

∵三角形两边之和＞第三边

∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；

（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为7． 【点睛】

本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．

9．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；

(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2 【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17 【解析】

试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．

试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总

有两个不相等的实数根．

（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．

将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．

当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；

当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17． 综上所述：此三角形的周长为13或17．

点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．

10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？

（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加求出m的值．

【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16． 【解析】

试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可； （2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+150（x﹣20）=2250， 解得x=35，

答：销售单价至少为35元；

（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+150+m﹣

m﹣150×m%﹣m%×m2=12，

m=162，

m）=5670，

m），列出方程求解即可．

m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，

试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，

60m﹣3m2=192， m2﹣20m+64=0， m1=4，m2=16，

∵要使销售量尽可能大， ∴m=16．

【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．