高三数学教案 数列的基本性质

数学(第 二 轮)专 题 训 练

第九讲: 数列的基本性质

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知能目标

1. 理解数列的概念, 了解数列通项公式的意义. 了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.

2. 理解等差数列, 等比数列的概念, 掌握等差数列, 等比数列的通项公式与前n项和公式, 并能解决简单的问题.

综合脉络

1. 知识网络

2. 几点说明

(1) 等差数列(等比数列)定义中, 特别注意公差 (或公比) 与项的差 (或比) 的顺序不能颠倒, 即danan1(或qan) an1(2) 等差中项与等比中项. 若A是a、b的等差中项, 则A2ab; 若G是a、b的等比中项, 2则 Gab(ab0), 从而任意两个数都有惟一一个等差中项, 而只有任意两个同号的数 才有等比中项, 且都有正负两个. 对于任一个等差数列{an}若mn2p则ap是 am与an

aman; 对于任一个等比数列{an}若mn2p则ap是am与an的 22等比中项, 即apaman.

的等差中项, 即ap(3) 证明一个数列{an}是等差(或等比)数列的方法有:

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① 定义法: 证明对任意正整n均有an1and

② 中项法: 对于一个数列, 除了首项和末项(有穷数列)外, 任何一项都是它的前后两项的等

an1an12(或anan1an1) 对满足题意的n均成立; 2n1③ 通项公式法: 证明数列通项公式均能表示成ana1(n1)d(或ana1q)的形式(其中q0).

差中项(或等比中项), 即证an(4) 数列是高考必考内容, 没年一道选择题或一道填空题, 一道大题, 前者以考查性质为主, 后者是一道思维能力要求较高的综合题. 2000年便有一道考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力的综合题, 其特点是“可以下手, 逻辑思维能力要求较高, 不易得满分”.01、02、03、04、05五年的高考(包括春考)题中均有对数列概念和性质的判断、推理及应用问题. 应注意这种命题趋势. 预测2006年关于数列部分, 仍然是难易结合, 有基本题型, 综合题型, 应用题型; 有个别题型将会有新意: 把数列知识和生活、 经济、 环保等紧密结合起来; 还会出现有创意的应用型题目. (一) 典型例题讲解:

例1.已知钝角三角形的三边长成等差数列, 公差d＝1, 其最大角不超过120°, 则最小边的

取值范围是 .

例2.已知数列{an}的前n项和为3n2n2.取数列{an}的第1项, 第3项, 第5项……

构造一个新数列{bn}, 求数列{bn}的通项公式.

例3. 已知{an}是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列.

（1）求q的值；

（2）设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列, 其前n项和为Sn, 当n2时, 比较

2Sn与bn的大小, 并说明理由.

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(二) 专题测试与练习: 一. 选择题

1. 在项数为2n＋1的等差数列中, 所有奇数项和与所有偶数项和之比为 ( ) A.

2n12nn1n B. C. D. 2n2n1nn1(a1a2)22. 已知x , y为正实数, 且x、a1、a2、y成等差数列, x、b1、b2、y成等比数列, 则

b1b2的取值范围是 ( ) A. R B. (0, 4] C. [4, ) D. (, 0][4, )

3. 数列{an}是公差不为零的等差数列, 且a7,a10,a15是某等比数列{bn}的连续三项, 若

{an}的首项为b1＝3, 则b n是 ( )

5n15n15n12n1A. 3() B. 3() C. 3() D. 3()

3833

4. 已知a、b、c、d均为非零实数, 则adbc是a, b, c, d依次成为等比数列的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件

25. 在等比数列{an}中, 若a3、a7是方程3x11x90的两根, 则a5的值为 ( ) A. 3 B. ±3 C.

6. 如果数列{an}是等差数列, 则 ( ) A.a1a8a4a5

二. 填空题

7. 等差数列{an}中, a1a2a39 , a1a2a315 ,则a1＝ , a n＝ .

8. 设数列{an}是公比为整数的等比数列, 如果a1a418 , a2a312 ,那么S 8＝ .

9. 等比数列{an}中, a1a5 B. a1a8a4a5

C. a1a8a4a5 D. a1a8a4a5

3 D. ±3

15, S45 ,则a 4 ＝ . 2

10. 已知等差数列{an}, a2a3a7a11a1245, 则S13 .

三. 解答题

11. 已知等差数列{an}中, d

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1315,ak,Sk, 求a1和k. 222

12. 数列{an}的前n项和记为Sn, 已知a11,an1证明: (1)数列{n2Sn(n1,2,3,) nSn}是等比数列；(2) Sn14an. n

13. 等比数列同时满足下列三个条件:

(1) a1a611 (2) a3a432242 (3)三个数a2, a3, a4成等差数列. 试求数列 939{an}的通项公式.

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数列的基本性质解答

(一) 典型例题

522例2 Sn3n2n2anSnSn16n5,a1S13

3,n1 an6n5,n2a13,a213,a525,a737,,a2n16(2n1)512n11

例1 a[,4).

3,n1 bn12n11,n222例3 (1) 由题设2a3a1a2,即2a1qa1a1q, a10,2qq10.

1q1或.

2n(n1)n23n1. (2) 若q1,则Sn2n22(n1)(n2)当n2时,SnbnSn10. 故Snbn.

21n(n1)1n29n(). 若q,则Sn2n2224(n1)(n10)当n2时,SnbnSn1,

4故对于nN,当2n9时,Snbn;当n10时,Snbn;当n11时,Snbn.

(二) 专题测试与练习

一. 选择题 题号 答案

二. 填空题

7. 1或5, 2n1或2n7; 8. 510 ; 9. 1 ; 10. 117 .

三. 解答题

11. 解: aka1(k1)d

1 C 2 C 3 A 4 B 5 C 6 B 31ka1(k1)a12 222Sk

a1ak15kk27k300k10.k3(舍去), a13 2212. 解: 证（1）由a11,an1n2Sn(n1,2,3,), n第5页 共6页

S2S4aS21S13a1,212,1122. 知a2S112211又an1Sn1Sn(n1,2,3,),

则Sn1Snn2Sn(n1,2,3,),∴nSn1nSn12(n1)Sn, n12(1,2,3,).

SnnSn}是首项为1, 公比为2的等比数列. nSSS证（2） 由（I）知, n14n1(n2), 于是Sn14(n1)n14an(n2)

n1n1n1故数列{

又a23S13,,则S2a1a244a1, 因此对于任意正整数n1都有Sn14an.

132aa1313a1a66132113. 解: a1a6a3a4, 或 aa663233a1a691q2q2242422又a2, a3, a4成等差数列，2a3a2a4…………①

39391248当a1时, a2a1qa3,a4代入①

33334228412()2(成立), ana1qn12n1.

33339332a13当时, 不成立. q12

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