备战高考数学一轮复习(热点难点)专题58 直线与圆锥曲线的位置关系之中点弦、焦点弦问题

考纲要求:

1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2.了解圆锥曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想． 基础知识回顾:

1．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长： |P1P2|＝＝

1＋k2

[x1＋x2

2

－4x1x2]＝1＋k·|x1－x2|＝

2

1＋

1

2

k[y1＋y2

2

－4y1y2]

1

1＋2|y1－y2|

k(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)． 2．圆锥曲线的中点弦问题

遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．

x2y2b2x0

在椭圆2＋2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－2；

abay0x2y2b2x0

在双曲线2－2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝2 ；

abay0

在抛物线y＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. 在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0. 应用举例:

类型一 弦的中点问题

【例1】【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为（ ）

2

py0

2，则此双曲线的方程是 3x2y2x2y2x2y2x2y21 B. 1 C. 1 D. 1 A. 34435225【答案】D

1

【例2】【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】

x2y21交于M,N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l直线l过点P3,1且与双曲线C:2的斜率为( ) A.

1533 B. C. D. 3442【答案】D

【解析】设Mx1，y1， Nx2，y2

x12x222y11，y221 则22x12x22y12y22 两式作差，得：

2即ky2y1x2x1，又线段MN的中点恰好为点P3,1

x2x12y2y13 2∴k

故选：D

x2y21的弦AB的中点坐标为M1,1，则直线AB的方程为（ ） 【例3】已知椭圆84A. x2y30 B. x2y10 C. 2xy30 D. 2xy10 【答案】A

【解析】设A,B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，

2

x12y121x12x22y12y2284 得0， 由{2284x2y2184整理得

y1y2y1y211，可得kAB。

x1x2x1x222所以直线AB的方程为y11x1，即x2y30。选A。 2点评：弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有： 1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题．

类型二 直线与圆锥曲线位置关系之焦点弦

x2y2【例4】【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】已知双曲线221(a0,b0)，

abuuuvuuuv若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A， B两点，且AF3BF，则双曲线离心率的最小值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 2 D. 22 【答案】C

【例5】已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为__________．

解析：直线l的方程为y＝3x＋1，

2

y＝3x＋1，2联立2得y－14y＋1＝0.

x＝4y

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14， ∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.故填16.

x2y2【例6】【2018届福建省福州市闽侯第六中学高三上学期期中】已知椭圆C:221ab0的离

ab

3

心率为e2，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为422. 2

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线ym和椭圆C交于A,B两点，且直线DA,DB与y轴分别交于P,Q两点，求证： PF1F2QF1F290.

x2y21;(2)详见解析. 【答案】(1) 42

4

tanQFx0yyx1F2101cx

0x1∴tanPFx0y1y0x1x0y1y0x1x20y21y20x211F2tanQF1F2cxxx22201cx01cx0x1 5

x02x122x0222x122xx2211011 22222x0x12x0x12∴PF1F2与QF1F2互余， ∴PF1F2QF1F290

点评：直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一． 类型三 中点弦问题

x21与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M,N两点，线段MN的【例7】已知双曲线y22中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2（ ） A．

11 B． C．2 D．-2 22解析：设Mx1,y1,Nx2,y2Px0,y0x12x2221,y21，根据点差法可得，则y2221y1y2y1y2OP的斜率为k2x1x2x1x22，所以直线l的斜率为k1xy1y2x1x20，直线

x1x22y1y22y0y0xy1，k1k200，故选A. x02y0x02x2y21所截得的弦所在的直线方程是( ) 【例8】以点P2,1为中点且被椭圆84A. x2 B. yx3 C. yx1 D. yx3 【答案】B

6

x2y2【例9】已知椭圆C: 221 (ab0)的右焦点为F(2,0),且过点P(2, 2). 直线l过点F且

ab交椭圆C于A、B两点. （1）求椭圆C的方程；

（2）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(

1,0),求直线l的方程。 2x2y21；【答案】（1）（2）x2y20 或x2y20 84（2）当斜率不存在时,不符合题意，当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x－2), A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0),

7

x2y21由{8 得12k2x28k2x8k280, 4ykx2因为64k412k428k2, 8k832k10, 所以x1x2212k22x1x24k22k1所以x0,, 因为线段AB的垂直平分线过点M(ykx2,0), 00212k212k222k24k212k所以kMNk1,即, 解得, , k1,所以1212k212k22x02y0所以直线l的方程为x2y20 或x2y20

点评：(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．

x2y2

（2）遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆2＋2＝1中，以P(x0，

abb2x0x2y2

y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－2；在双曲线2－2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜

ay0abb2x0p2

率k＝2；在抛物线y＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.

ay0y0

(3)对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为：

①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．

③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 方法、规律归纳:

1、处理中点弦问题常用的求解方法

（1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1

＋y2，

y1－y2

三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． x1－x2

（2）根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 实战演练:

1.【2017届安徽省淮北市第一中学高三最后一卷】已知抛物线y2px(p0)，过点C4,0作抛物

2 8

线的两条切线CA,CB， A,B为切点，若直线AB经过抛物线y2px的焦点， CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是（ ）

2A. y4x B. y4x C. y8x D. y8x

2222【答案】D

2.【2017届河北省衡水中学高考猜题卷（一）】如图，过抛物线y2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B，交其准线于点C，若BC2BF，且AF3，则此抛物线方程为（ ）

2

22A. y9x B. y6x C. y3x D. y223x

【答案】C

x2y2

3.已知AB为过椭圆2＋2＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为( )

ab 9

A．b B．Ab C．ac D．bc

1

解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.答案：D

24.过抛物线y＝2px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两|AF|点，则的值等于( )

|BF|

A．5 B．4 C．3

2

2

2

D．2

解析：记抛物线y＝2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分别是A1、B1、C，则有cos60°＝

|AC||AA1|－|BB1||AF|－|BF|1|AF|

＝＝＝，由此得＝3，选C. |AB||AF|＋|BF||AF|＋|BF|2|BF|

25.【2017届江西省南昌市三模】已知直线l:ykxk与抛物线C： y4x及其准线分别交于M,Nuuuuruuuur两点， F为抛物线的焦点，若2FMMN，则实数k等于（ ）

A. 3 B. 1 C. 3 D. 2 3【答案】C

x2y21(ab0)的左、右焦点分6．【2018届广西河池市高级中学高三上学期第三次月考】双曲线2ab别为F1,F2，过F1作倾斜角为300的直线与y轴和双曲线右支分别交于A,B两点，若点A平分F1B，则该双曲线的离心率是（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 【答案】A

【解析】因为AO分别是F1B，F1F2的中点，所以AO∥BF2，故BF2F1F2，在RtF1F2B中，

3 3BF1F230,设BF2x，则BF12x，又2xx2a，即x2a，由tan3023cx得x，

32c 10

所以2a23cc， e3，故选A. 3a

x2y2

7．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐

ab标为(1，－1)，则E的方程为 ( ) A．＋＝1

4536 C．＋＝1

2718

x2x2

y2y2

B．＋＝1

3627

x2x2

y2

D．＋＝1

189

y2

x2y2x2y2y1－y2b2x1＋x21122

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2＋2＝1，2＋2＝1，两式作差并化简变形得＝－2，

ababx1－x2ay1＋y2

y1－y20－－11222222而＝＝，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a＝2b，又因为a－b＝c＝9，于是a＝18，x1－x23－122

b＝9.故选D.

8．已知抛物线C:y4x，直线l与抛物线C交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为(2,2)，则直线

2l的方程为 ．

9．过点0,2的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为

2的椭圆C相交于A、B两点，直线2y1x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称． 2（1）求直线l的方程； （2）求椭圆C的方程．

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【答案】(1) yx2;(2)

2242xy1. 99（2）右焦点b,0关于直线l的对称点设为x,y, 则{y1xbyxb2,222 解得{xy2b

由点2,2b在椭圆上，得422b2b2,b22929,a， 42所求椭圆C的方程的方程为

2242xy1. 9910、如图，设点A,B的坐标分别为3,0,（1）求点P的轨迹方程；

23,0，直线AP,BP相交于点P，且它们的斜率之积为．

3（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A,B的两点，且满足AP//OM,BP//ON，求证：MON的面积为定值．

12

（2）证明：由题意M、N是椭圆C上非顶点的两点，且AP//OM,BP//ON，

kBP则直线AP,BP斜率必存在且不为0，又由已知kAPgkON因为AP//OM,BP//ON，所以kOMg2． 32． 3 13

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