大学解析几何

基本知识 一、向量

1、已知空间中任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，则向量

M1M2(x2x1,y2y1,z2z1)

2、已知向量a(a1,a2,a3)、b(b1,b2,b3)，则 （1）向量a的模为|a|a1a2a3

222（2）ab(a1b1,a2b2,a3b3) （3）a(a1,a2,a3) 3、向量的内积ab

（1）ab|a||b|cosa,b （2）aba1b1a2b2a3b3

其中a,b为向量a,b的夹角，且0a,b

注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积ab（遵循右手原则，且aba、abb）

iaba1b1ja2b2ka3 b35、（1）a//baba1a2a3 b1b2b3（2）abab0a1b1a2b2a3b30 二、平面

1、平面的点法式方程

已知平面过点P(x0,y0,z0)，且法向量为n(A,B,C)，则平面方程为

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

注意：法向量为n(A,B,C)垂直于平面

2、平面的一般方程AxByCzD0，其中法向量为n(A,B,C) 3、（1）平面过原点(0,0,0) AxByCz0

（2）平面与x轴平行（与yoz面垂直）法向量n垂直于x轴ByCzD0

（如果D0，则平面过x轴）

平面与y轴平行（与xoz面垂直）法向量n垂直于y轴AxCzD0

（如果D0，则平面过y轴）

平面与z轴平行（与xoy面垂直）法向量n垂直于z轴AxByD0

（如果D0，则平面过z轴）

（3）平面与xoy面平行法向量n垂直于xoy面CzD0

平面与xoz面平行法向量n垂直于xoz面ByD0 平面与yoz面平行法向量n垂直于yoz面AxD0 注意：法向量的表示 三、直线

1、直线的对称式方程

过点P(x0,y0,z0)且方向向量为v(v1,v2,v3)直线方程

xx0yy0zz0 v1v2v3注意：方向向量v(v1,v2,v3)和直线平行 2、直线的一般方程A1xB1yC1zD10，注意该直线为平面

A2xB2yC2zD20A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20的交线

xx0v1t3、直线的参数方程yy0v2t

zzvt034、（1）方向向量v(0,v2,v3)，直线垂直于x轴 （2）方向向量v(v1,0,v3)，直线垂直于y轴 （3）方向向量v(v1,v2,0)，直线垂直于z轴 5、（1）方向向量v(0,0,v3)，直线垂直于xoy面 （2）方向向量v(0,v2,0)，直线垂直于xoz面 （3）方向向量v(v1,0,0)，直线垂直于yoz面 应用 一、柱面

f1(x,y,z)01、设柱面的准线方程为，母线的方向向量v(v1,v2,v3)，求柱面方程

f2(x,y,z)0方法：在准线上任取一点M(x1,y1,z1)，则过点M(x1,y1,z1)的母线为

xx1yy1zz1 v1v2v3又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故

f1(x1,y1,z1)0 （1） f2(x1,y1,z1)0 （2）

令

xx1yy1zz1t （3） v1v2v3由（1）、（2）、（3）消去x1,y1,z1求出t，再把t代入求出关于x,y,z的方程F(x,y,z)0，则该方程为所求柱面方程

x2y2z21例1：柱面的准线为，而母线的方向为v1,0,1，求这柱面方

2222x2yz2程。 解：在柱面的准线上任取一点M(x1,y1,z1)，则过点M(x1,y1,z1)的母线为

xx1yy1zz1 101即x1xt,y1y,z1zt（1）

又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故x1y1z11（2），2x12y1z12（3） 由（1）（2）（3）得xyz2xz10

2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径

方法：在圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过M0(x0,y0,z0)点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点M1(x1,y1,z1)，则|M0M1|为圆柱的半径 例2：已知圆柱面的轴为柱面的方程。

解：设圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴的平面为

222222222xy1z1，点M1（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆122(xx0)2(yy0)2(zz0)0

轴方程的参数式为xt,y12t,z12t代入平面方程得

x02y02z0

9x2y02z092x04y04z092x04y04z0,,) 故该平面和轴的交点为(0999115过点M1（1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为(,,)

333 t因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得

8x25y25z24xy4xz8yz18y18z990

注意：也可找圆柱面的准线圆处理

例3：求以直线x=y=z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程

解：在圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴的平面为

(xx0)(yy0)(zz0)0

轴方程的参数式为xt,yt,zt代入平面方程得

x0y0z0

3xy0z0x0y0z0x0y0z0,,) 故该平面和轴的交点为M1(0333 t则M0M1的长等于半径R=1 故利用距离公式得

(x0x0y0z02xy0z02xy0z02)(y00)(z00)1

333222即所求方程为(2x0y0z0)(x02y0z0)(x0y02z0)9

二、锥面

锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。

f1(x,y,z)01、设锥面的准线为，顶点为M0(x0,y0,z0)，求锥面方程

f(x,y,z)02方法：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为

xx0yy0zz0 （1）

x1x0y1y0z1z0又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故

f1(x1,y1,z1)0 （2） f2(x1,y1,z1)0 （2）

由（1）、（2）、（3）消去x1,y1,z1求出关于x,y,z的方程F(x,y,z)0，则该方程为所求锥面方程

x2y2例1锥面的顶点在原点，且准线为a2b21，求这锥面方程。

zc解：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为

xyz x1y1z1xy又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故12121且z1c

ab22x2y2z2上面三个方程消去x1,y1,z1得2220

abc2、圆锥面

已知圆锥面的顶点M0(x0,y0,z0)，对称轴（或轴）的方向向量为v(v1,v2,v3)，求圆

锥面方程

方法：在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为

n(xx0,yy0,zz0)

利用v和n的夹角不变建立关于x,y,z的方程，该方程为所求

例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（(xyz)2x2y2z2） 解：在坐标轴上取三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，则过三点的平面为

xyz1

故对称轴的方向向量为(1,1,1)，一条母线的方向向量为(1,0,0)， 则母线和对称轴的夹角为11101031cos，即cos3 3在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为n(x,y,z)

xyzx2y2z23cos

所以(xyz)xyz

例3圆锥面的顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面2x2yz10，母线和轴成30，求圆锥面方程

解：在母线上任取一点M(x,y,z)，轴的方向向量为(2,2,1)，母线的方向向量为

02222n(x1,y2,z3)

则2(x1)2(y2)(z3)2(x1)2(y2)2(z3)29cos300

222即 4(2x2yz3)27(x1)27(y2)27(z3) 三、旋转曲面

f1(x,y,z)0xx0yy0zz0设旋转曲面的母线方程为，旋转轴为，求旋转

f(x,y,z)0XYZ2曲面方程

方法：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，所以过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程

X(xx1)Y(yy1)Z(zz1)0 222222(xx0)(yy0)(zz0)(x1x0)(y1y0)(z1z0)又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有

f1(x1,y1,z1)0 f2(x1,y1,z1)0由上述四个方程消去x1,y1,z1的方程F(x,y,z)0为旋转曲面

xyz1绕直线l：xyz旋转一周所得的旋转曲面的方程。 210解：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程

例4求直线

(xx1)(yy1)(zz1)0 222222xyzxyz111又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有

x1y1z11 2102222由上述方程消去x1,y1,z1的方程得9x9y9z5(xyz1)9 四、几种特殊的曲面方程 1、母线平行于坐标轴的柱面方程 设柱面的准线是xoy平面上的曲线f(x,y)0，则柱面方程为f(x,y)0

z0g(x,z)0设柱面的准线是xoz平面上的曲线，则柱面方程为g(x,z)0

y0设柱面的准线是yoz平面上的曲线h(y,z)0，则柱面方程为h(y,z)0

x0注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母

（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、

抛物线柱面

例求柱面方程

y22z（1）准线是，母线平行于x轴

x0解：柱面方程为y2z

2x2y2z21（2）准线是4，母线平行于y轴 9y3解：柱面方程为x4z

22x2y2z21（3）准线是4，母线平行于z轴 99x2解：x2

2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面

f(x,y)0设母线是，旋转轴是x轴的旋转曲面为f(x,y2z2)0；旋转轴是y轴

z0的旋转曲面为f(x2z2,y)0 （同理可写出其它形式的旋转曲面方程）

注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。

y2z2x0是什么曲面，它是由xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的 例方程22y2x0绕x轴旋转而成的 解：xoy面上的23、平行于坐标面的平面和曲面f(x,y,z)0的交线方程

平行于xoy面的平面zh和曲面f(x,y,z)0的交线为f(x,y,h)0

zhf(x,h,z)0平行于xoz面的平面yh和曲面f(x,y,z)0的交线为

yh平行于yoz面的平面xh和曲面f(x,y,z)0的交线为例求曲面和三个坐标面的交线 （1）xy16z64

222f(h,y,z)0

xhx2y264x216z264y216z264解：、、

z0y0x0（2）x4y16z64 解：注意在yoz面上无交线 （3）x9y10z 解：在xoy面上交于一点(0,0)

1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点 方法：（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量

（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影 例5（1）求点A(3,1,1)在平面3xyz200上的投影

（2）求点A(1,2,5)到平面xyz100的距离，并求该点关于平面的对称点坐标

22222五、求投影

3x2y20（1）求过直线且与点M(1,2,1)的距离为1的平面方程

x2yz602、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点 方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量

（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影 例6（1）求点A(1,1,0)到直线

x2y1z1的距离，该点在直线上的投影 2012y3z30（2）求点M(1,1,0)到直线的距离

xy03、直线在平面上的投影

方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向量的外积

（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影 例7（1）求直线2x4yz0在平面4xyz10上的投影直线的方程

3xy2z904y7z54x5z30，在xoz面上的投影为，求

x0y0（2）直线在yoz面上的投影为直线在xoy面上的投影

f(x,y,z)04、曲线在坐标面上的投影柱面及投影

g(x,y,z)0方法：（1）消去z得h1(x,y)0，则（2）消去x得h2(y,z)0，则（3）消去y得h3(x,z)0，则222h1(x,y)0为曲线在xoy面上的投影

z0h2(y,z)0为曲线在yoz面上的投影

x0h3(x,z)0为曲线在xoz面上的投影

y0例（1）求球面xyz9与平面xz1的交线在xoy面上的投影柱面及投影

222yz4x4z（2）把曲线2的方程用母线平行于x轴和z轴的两个投影柱面方程表2y3z8x12z示

解：消去x得母线平行于x轴的投影柱面方程yz4z；消去z得母线平行于z轴的

22yz4z投影柱面方程y4x0，因此曲线可表示为2

y4x0222五、求平面方程

A1xB1yC1zD101、过直线的平面方程可设为

AxByCzD02222(A1xB1yC1zD1)(A2xB2yC2zD2)0

如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线xyz40的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。

x2yz00（2）平面过OZ轴，且与平面yz0的夹角为60，求该平面方程

（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点M(1,0,1)和直线

x2y1z1的平面方程 201（4）过直线x2z40xy40作平面，使它平行于直线

3yz80yz60222 (5)过平面2xy0和4x2y3z6的交线作切于球面xyz4的平面 （6）求由平面2xz120,x3y170所构成的两面角的平分面方程 2、利用点法式求平面方程

注意：（1）任何垂直于平面的向量n均可作为平面的法向量

（2）和平面AxByCzD0平行的平面可设为AxByCzD10

（3）如存在两个向量a(a1,a2,a3)、b(b1,b2,b3)和平面平行（或在平面内），则平

i面的法向量为naba1b1ja2b2ka3 b3例（1）已知两直线为方程

x1y1z1x3y1z2，，求过两直线的平面111112（2）求过A(8,3,1)和B(4,7,2)两点，且垂直于平面3x5yz210的平面

（3）一平面垂直于向量(2,1,2)且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程

222（4）已知球面xyz2x4y6z0与一通过球心且与直线平面相交，求它们的交线在xoy面上的投影 3、轨迹法求方程

x0垂直的

yz0方法：（1）设平面上任一一点M(x,y,z)（2）列出含有x,y,z的方程化简的平面方程 例求由平面xy3z10和xy3z20所构成的二面角的平分面的方程 六、求直线方程

1、把直线的一般方程化为点向式方程

A1xB1yC1zD10方法：已知直线方程为，则该直线的方向向量为

AxByCzD02222ivA1A2jB1B2kC1(v1,v2,v3) C2xx0yy0zz0 v1v2v3在直线上任取一点(x0,y0,z0)，则直线方程为

例化直线的一般方程2xyz50为标准方程

2xy3z102、根据直线的方向向量求直线方程

例（1）过点M(0,1,2)，且平行于两相交平面xy3z10和xy3z20的直线方程

x2z10（2求过点M(2,4,0)，且与直线平行的直线方程

y3z20（3）求过点M(1,0,2)，且与平面3x4yz60平行，又与直线垂直的直线方程

注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂

x3y2z141直均可确定直线的方向向量

3、利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意：（1）两直线平行，则向向量 （2）两直线

m1m2m3，其中(m1,m2,m3)和(n1,n2,n3)为直线的方n1n2n3xx0yy0zz0xx1yy1zz1和相交，则 m1m2m3n1n2n3x1x0m1n1y1y0m2n2z1z0m3n30且

m1m2m3 n1n2n3xx0yy0zz0xx1yy1zz1（3）两直线和异面，其中公垂线的m1m2m3n1n2n3i方向向量为vm1n1jm2n2k||则两异面直线的距离为d；公垂线方m3(v1,v2,v3)，

|v|n3xx0m1v1程为xx1n1v1yy0m2v2yy1n2v2zz0m30v3zz1n30v3

例（1）求通过点M(1,1,1)且与两直线方程

xyzx1y2z3都相交的直线和123214解：设所求直线的方向向量为(a,b,c)，已知两直线的方向向量为(1,2,3)、(2,1,4)，且分别过点(0,0,0)、(1,2,3)

111则10121b40，即a2bc0 ca230，即a2bc0；2abc故a0,c2b，故(a,b,c)(0,1,2) 所求直线为

x1y1z1 012（2）已知两异面直线程

（3）求与直线

xyz1x1y1z1和，求它们的距离与公垂线方110110x2y1z3平行且与下列两直线相交的直线 871z5x6z2x4和 z4x3z3y5（4）求过点P(1,2,3)与z轴相交，且与已知直线

xy3z2垂直的直线方程 432习题

(x1)2(y3)2(z2)2251、已知柱面的准线为且（1）母线平行于x轴（2）

xyz20母线平行于直线xy,zc，求柱面方程

xy2z22、已知柱面的准线为母线垂直于准线所在的方程，求柱面方程

x2z3、求过三条平行线xyz,x1yz1,x1y1z2的圆柱面方程 4、求顶点为原点，准线为x2z10,yz10的锥面方程 5、顶点为(3,1,2)，准线为xyz1,xyz0，求锥面方程

6、顶点为(1,2,4)，轴垂直于平面2x2yz0，且过点(3,2,1)，求该圆锥面的方程 7、求下列旋转曲面方程

2222x1y1z1xyz1绕直线旋转 112112xyz1xyz1（2）直线绕直线旋转 211112x1yz（3）直线绕直线z旋转

133（1）直线

2zx（4）曲线2绕直线z旋转 2xy18例求曲面和三个坐标面的交线

（1）x4y16z64 （2）x9y10z （3）x4y16z0

22222222xy4z1209（1）求点P(2,0,1)关于直线的对称点

2xy2z30（2）求点A(2,3,1)到直线10求直线

2x2yz30的距离，

3x2y2z170x1yz1在平面xy2z10上的投影直线的方程 11111求曲线在三个坐标面的投影柱面和投影

x2y2z0 zx1x2z23yz2x3z30 yz10222zxy 2z2yx2y6z5 3x2y10z712（1）过直线x2yz60作平面，使它垂直于平面x2yz0

x2yz0x4y3z的平面方程 021（2）求过点M(3,1,2)和直线

（3）求过两平面3xy2z20、xy4z30交线且与平面xy2z10垂直的平面

（4）求过点M(2,0,1)和直线

x1yz2的平面方程 213（5）过直线

2xyz30x2y3z1且与直线垂直 151x2yz50（6）过直线

x1y2z2且与平面3x2yz50垂直的平面 232x1z3(7)在过直线的所有平面中找出一个平面，使它与原点的距离最远 y10122213（1）求平行于平面x2y3z40且与球面xyz9相切的平面方程

3xyz102x5y8z50（2）求过两直线、的平面方程

xz30x2y5z20（3）求和平面x2y4z2平行，且距离为3的平面 （4）求和两直线

x1y3zx5y1z2，平行且与两直线等距离的平111237面方程

（5）求过点M(0,1,2)，且垂直于平面x2yz10与xz30的平面方程 14（1）求由平面x2y2z30和3x4y10所构成的二面角的平分面的方程 （2）动点与点(1,0,0)的距离等于这点到平面x4的距离的一半，求动点轨迹。

15化直线的一般方程x2y3z40为标准方程

x2yz000016（1）过点M(1,5,3)且与x,y,z三轴成60,45,120的直线

x1yz1xy1z1和垂直的直线 111110（3）过点M(2,3,5)且与平面6x3y5z20垂直的直线

（2）过点M(1,0,2)且与两直线

17（1）在平面xyz10内求垂直相交于直线yz10的直线方程

x2z0x1y3z相交421（2）求过点P(1,0,2)而与平面3xy2z10平行且与直线的直线方程

（3）求通过点M(4,0,1)且与两直线方程

xyz1xyz3和都相交的直线

2xyz22x4yz4x5yz25垂直相交的直线方程 322x3yz1x1y2z（5）求两异面直线和的公垂线方程

210101x1yzxyz2（6）求直线之间的距离 与011210x2y1z3（7）求与直线平行且与下列两直线相交的直线 871（4）求过点P(2,1,0)而与直线

x2t3x5t10y3t5和y4t7 ztzt