共同本征函数

§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明

ˆ的本征态中测量力学量A，可以得到确定值，并不出现涨落。如果测量B，在算符A则不一定能得到确定值。

例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定

xp

ˆAˆA，Bˆ，BˆBˆB， ˆ两个力学量，令A对于比较普遍的情况，设有A（注意在经典力学中AAA）

ˆ，Bˆ，Bˆ也是厄米算符。 ˆ是厄米算符，所以A因为AˆiBˆ)|2d0，为实数，积分区间取为整个空间。 考虑积分I()|(A展开上式，有

**ˆiBˆ）ˆ）ˆ）I()(A[（Ai（B]d*ˆ）ˆ）ˆ)*ˆ）2(A(Adi（[B(A*ˆ（ˆ）ˆ）ˆ)*d(A)B]d（B(B

ˆ，Bˆ均是厄米算符，所以有 因为A*2ˆ)2di*(AˆBˆ)d（ˆBˆAˆ）I()2*(Ad B（利用了厄米性）

ˆBˆ(AˆA)(BˆA)AˆBˆ ˆBˆAˆB)(BˆB)(AˆBˆA而A对I()2**2ˆ)2di*(AˆBˆ)d（ˆBˆAˆ）(Ad，则 B2ˆ)2i(AˆBˆ)ˆBˆAˆ）I()2(A（B0

ˆBˆiKˆBˆAˆ，则 令A2ˆ)22Kˆˆ）(A（B0

这是有关实参数的一元二次方程。 其有解的条件可由判别式给出，即

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2KˆBˆBˆ，Bˆ)(Bˆ|K|，或Aˆ)ˆ1|[Aˆ]| ，简记为A(A22422ˆxˆx]i，则有xp这就是测不准关系。比如：因为[x，p对易关系对测不准关系的意义

。 2一般来说，若两个力学量A和B不对易，则A、B不能同时为0。 如果一个完全确定（A0），则另一个完全不确定（B）。 即A和B不能同时测定，或者说它们不能有共同的本征态。 但当A和B对易时，AB0的特殊情况是存在的。

ˆ同时有确定值0。 ˆ，L如在Y00(,)态中，Lyx反过来说，若两个力学量A和B对易，则可以找到状态，使得A、B同时为0，这

ˆ，Bˆ的共同本征态。这实际上就是我们介绍测不准关系的最重要的原因。 样的状态称为Aˆx,pˆy,pˆz）例1讨论动量三个分量的共同本征态。 （pˆ，pˆ]0，所有ˆx，pˆy，pˆz）由于[p可以有共同本征态， （p(r)(x)即平面波函数ppy(y)pz(z)。 px具体表示为

(r)pp(y)p(z)p(x)xyz(xpxypyzpz)1e (2)3/2pr1e(2)3/2ii相应的本征值为p(px,py,pz)。

例2坐标r(x,y,z)的共同本征态，即函数。

xyz(r)(xx0)(yy0)(zz0)

000在讲述两个力学量的共同本征函数的一般原则以前，先讨论角动量的本征态。

ˆ,Lˆ]iLˆ由于其三个分量不对易，[L，故一般无共同本征态，但由于

ˆ2,Lˆ]0，我们可以找出Lˆ2与任一分量（一般取为Lˆ）的共同本征态。 [Lz

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ˆ2，Lˆ的共同本征函数 球谐函数 2、Lz采用球坐标

11222ˆL[(sin)]sinsin22

22ˆLz(sin)sinsin2ˆi Lzˆ2的本征函数可以同时也取为Lˆ2,Lˆ]0，Lˆ的本征态，即取其交集。 考虑到[Lzzm()1eim，(m0,1,2,) 2ˆ2本征函数， Lˆ2的本征函数实际上可以分离变量，即可以写此时，由于m()也是L为Y(,)()m()，

代入本征方程

ˆ2Y(,)2Y(,)， Lˆ2的本征值（无量纲），用Lˆ2的球坐标表达式代入得 2是L1ddm2(sin)()0，(0) 2sinddsin上式还较为复杂，需要化简。为此令cos(||1)，得

dm22d（1）()0 2dd1或

d2dm2（1）22()0 2dd12这是缔合勒让德方程。

在||1区域中，微分方程有两个正则奇点1，其余的均为常点。可以证明，当

l(l1)，l0,1,2,

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时，方程的有界解是一个多项式，称之为Legendre多项式，用下式表示：

Plm()，|m|l

由Legendre多项式的正交关系

1mmP()Pll'()d12(lm)!ll'

2l1(lm)!ml,l1,,1,0,1,l1,l，（2l1个）

可以定义归一化的θ部分的波函数（为实数）

lm()(1)m并满足归一化关系

(2l1)(lm)!mPl(cos)

2(lm)!0lml'msindll'

ˆ2,Lˆ)的正交归一的共同本征函数为 这样，(LzYlm(,)(1)m(2l1)(lm)!mPl(cos)eim

4(lm)!上式就是所谓的球谐函数，满足本征值方程

ˆ2Yl(l1)2YLlmlm，l0,1,2,，ml,l1,,l1,l ˆLYmYzlmlm其正交关系为

2*dsinY(,)Yl'm'(,)dll'mm' lm00ˆ2和Lˆ的本征值都是量子化的。 由上述本征值方程可以看出：Lzˆ的本征值是一定的，但本其中l称为轨道量子数，m称为磁量子数。对于给定的l，L征函数是不确定的，因为ml,l1,,l1,l共有2l1度简并。

ˆ2对易的Lˆ的本征值来区分这些本征态。 Ylm就是用与Lz3、求共同本征函数的一般原则

前面已经说明，两个力学量具有共同本征函数系的充要条件是两个算符对易。

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ˆ，Bˆ的共同本征函数系？ ˆ,Bˆ]0，如何求A现在设[AˆA，即是Aˆ的本征态，相应的本征值为A，下面由此寻找Bˆ算符的若Annnnn本征态。

ˆ,Bˆ]0可知， （a）如果An不简并，利用[Aˆ(BˆA(Bˆ)BˆAˆ) Annnnˆ的属于同一本征值A的本征态。但由于A不简并，所以与Bˆ也是Aˆ代即Bnnnnn表同一个态。它们至多相差一个常数因子，我们将此因子记为Bn，即

ˆB Bnnnˆ，Bˆ的共同本征函数，本征值分别为A，B。 故n是Ann例1一维谐振子的能量本征态为n，已经知道能量本征值En是不简并的。现在引进空

ˆ,有 间反演算符PˆHˆHˆPˆ Pnnˆ对Hˆ没有“影响”。这样可以移项得出 或者说PˆHˆHˆPˆ)(x)0 (Pn由此可得(将任意波函数用本征态展开，然后用算符作用)

ˆ,Hˆ]0 [Pˆ的本征态。 由前面的论述可知，n必为P事实上，根据谐振子本征函数的特性，有

ˆ(x)(x)(1)n(x) Pnnnˆ的本征值。 n(x)具有(1)n宇称，它实际上是空间反演算符Pˆ本征态Y是不简并的。而 例2角动量量子数l0时，L002ˆ，Lˆ2]0，x,y,z [Lˆ（x,y,z）的共同本征态。它们的本征值均为0。 所以l0态必为L

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（b）设An有简并，即

ˆA，1,2,,f Annnnˆ属于A的本征函数，简并度为f。 即n是Ann设n已经正交归一化，即

(n，n')'

ˆ的本征态（尽管[Aˆ，Bˆ]0）。但考虑到 一般说来，n并不一定是Bˆ(BˆA(Bˆ)BˆAˆ) Annnnˆ仍为属于本征值An的本征态。但由于An有简并，Bˆ与n并不描述同一即Bnnˆ应是n的线性叠加，其普遍表示应为 状态。因此根据方程解的性质，BnˆB Bn'n''利用n正交性，可知，

ˆ) B'(n',Bnˆ的本征态 前式告诉我们，n并非B但可以作如下线性叠加，ˆ的本征态，本征值为A，因为 c，它们仍为AnnˆcAAˆnAncnAn

ˆ的本征态，即通过这样选择c能否满足BˆB'？ 但是否是B下面证明，通过适当的变通后，上述条件是可以满足的。因为

ˆcBˆBncB'n

'如右端可以写成诸如B'B'即实现

c的形式就可以。 'n''cBB'c 'n'n'''这一点很容易得到满足，只要令写为

BcB'c，上述目的就可以达到，此时上式可''6

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n(BB')c0 ''1这是关于c的线性齐次方程组，关键是求c。

按照求解方程组的方案，c有非平庸解（非0解）的冲要条件是

detB'B''0

左端是fnfn矩阵的行列式。这是关于B'的fn幂次的代数方程。

ˆBˆ，即BB*，可以证明，方程有f个实根。 由于Bn''假定无重根，这些实根分别记为，B，1,2,,fn。

用B根代入方程可求得叠加系数c，1,2,,fn。因而可以求得波函数

ncn

1fn这样的波函数n也有fn个，1,2,,fn，满足

ˆAAnnn ˆBnBnnˆ和Bˆ的共同本征函数。 n就是要找的A总结：nB'B'c 作业：P133 10,12,13 4、力学量完全集

ˆ(Aˆ，Aˆ，设有一组彼此独立又互相对易的厄米算符A)，它们共同的本征函数记为12k，k是一组量子数的笼统记号（而不是某一个量子数，因为有若干个对易算符存在，有

一组量子数，如nlm）。

ˆ，Aˆ，设给定k之后就能确定体系的一个可能状态，则称(A)构成体系的一组力学量12完全集。

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ˆ的本征值是分立按照态的叠加原理，体系的任何一个状态都可以用k展开（假定A的），即akkk

利用k的正交归一性，ak(k，)，而从上式可得

(，)|ak|1

k2ˆ得到A的几率。这是波函数统计解释的最一般的表述。 |ak|2表示在任意态下测量Ak下面给出两个一维体系的力学量完全集。

例1一维谐振子的Hamitonian本身就构成力学量完全集。其本征函数为

n(n0,1,2,)，它们构成体系的一组正交完备函数组。

一维谐振子的任何一个态均可用它们来展开，即n而|an|2代表在态下，测得振子能量为En的几率。 例2 一维运动粒子，动量本征态为

annn。

p(x)~eipx

按照Fourier展开定理，任何平方可积函数均可用平面波展开，即

px1 (x)dp(p)e1/2(2)i因此，动量就构成一个力学量完全集。

对于三维粒子，则动量的三个分量(px,py,pz)构成力学量完全集。同样，坐标的三个分量(x,y,z)也构成一组力学量完全集。

用一组力学量完全集的共同本征函数来展开任意态，数学上涉及完备性问题： 对于Fourier展开，完备性成立，即任何平方可积函数均可按(px,py,pz)共同本征函数系（平面波）展开；

ˆ的本征值又有下确界（最小值），则力学如果力学量完全集中包含有Hamitonian，H量完全集的共同本征函数构成态空间的一组完备基矢。

即体系的任何一个态均可以按照此基矢来展开。

ˆ不显含时间时，这种力学量完全集称为守恒量完全集。 当H

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一个体系是否具有等于自由度数的守恒量个数是至关重要的，这是寻找守恒量完全集的关键所在。

5、量子力学中力学量用厄米算符来表示

本章我们讨论了力学量和相应的厄米算符表示。这是量子力学的基本原理之一。 在量子力学中，力学量用厄米算符来表示的。含义是： （1）力学量和算符的对应关系

ˆ(rF(r,p)F,i)

在本征态中的取值由本征值方程确定。

ˆAn0,1,2, Annn（2）在任意态中，

ann

nˆ在本征值谱中取A的几率为|a|2。平均值A(,Aˆ)，设已经归一化。 Ann实验上的可能取值必为某一本征值，且为实数。 （3）力学量间的关系通过相应算符的关系反映出来。

ˆ和Bˆˆ同时具有确定值的必要条件是[Aˆ,Bˆ,Bˆ]0。若[Aˆ]0，则一般来说A例如，Aˆ不能同时测定。 和Bˆ不显含时间t时，一个力学量A是否守恒，可根据[Aˆ,Hˆ]是否为0来定。特别是在Hˆ是否为守恒量就可以这样进行判断。 如前面讲的宇称算符P§4.4 连续谱本征函数的归一化 箱归一化

1、连续谱本征函数是不能归一化的 量子力学中常见的力学量： 坐标、动量 取值可连续 角动量 取值分立 能量 二者兼而有之 但连续谱的本征函数不能归一化。

以动量本征态为例：一维粒子动量本征值为p的本征函数是平面波

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ipx

p(x)cep可取(,)区间的一切值，只要c0，且

2|(x)|dx p平面波不是平方可积的，因为|p(x)|表示几率密度，处处相同。只要c0，总几率一定。

任何真实的波函数一定是某种形式定域的波包（而不是严格的平面波）。在实验上，这种波包可以视为平面波的叠加，并不存在归一问题。

如果此波包的广延比问题的特征长度大得多，而粒子在各点出现的几率（或几率幅）变化很小，这时可以用平面波近似。平面波仅仅是理论模型。

2、函数

Dirac的函数定义为

2(xx0)同时

x0000xx0

xx0x0(xx)dx(xx)dx1，（0小量）

在xx0连续的任何函数f(x)在x0处都有定义

f(x)(xx)dxf(x)

00按照Fourier积分公式(见数理方法“Fourier积分公式”部分内容),对于分段连续函数，有

1f(x0)2比较以上两式，有

ik(xx0) dxdkf(x)e1(xx0)2因此，若取动量本征态为

ik(xx0)edk  10

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ip'x1 p'(x)e2则有

(p''p')x1(p',p'')dxe2i12dx'eix'(p''p')

(p''p')x

（第一步用积分表示，第二步用到了x'）。



这样平面波的归一化就用函数的形式表示。

坐标的本征态也是不能归一化的，可用类似的方法处理。 利用函数的性质，有

(xx')(xx')0

则有

x(xx')x'(xx')

这实际上是关于坐标算符 x 的本征值方程，记

x'(x)(xx')

此时

(x'(x),x''(x))(xx')(xx'')dx(x''x')

也是用函数来表示其归一化。 3、箱归一化

平面波的“归一化”问题还可采用数学上传统的的作法，即先让粒子局限于有限空间[-L/2，L/2]中运动，最后让L→∞。

ˆxi为保证动量算符p为厄米算符，要求波函数满足周期性边界条件，即 xLLp()p()（见教材附注）

22，为把其表为周期函数（Fourier级数），特作周期延拓（偶

设动量本征态p(x)~e延拓），即

ipx 11

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ipL/2ipL/2e相除，得eipLe

1，或sin(pLpL)0，cos()1。 pL2n，n0,1,2, 2nh nLL或

ppn粒子波长hL，即|n|L。 |p||n|由pnnh可以看出，只要L，动量取值pn就是不连续的。此时，与pn相应的动L量本征态可以写为

pn(x)1Leipnx1Lei2nx/L

上述波函数满足正交归一条件

L/2*dxpnpmmn

L/2这种归一化称为“箱归一化”，以区别于分立谱本征函数的归一化。

函数可以用任一正交完备函数组表示。

利用上面给出的正交归一完备函数pn(x)可以构成如下的函数

1ipn(xx')/1i2n(xx')/L (xx')eeLnLn由于pnnh，让L，则 Lpnpn1pnh0 Lhdp L动量允许值趋于连续变化，此时，

pnpn1pnLh并且pndp，从而有dp。

hLnnn于是

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11ip(xx')/(xx')dpe22这与前面得到的公式相同。

ik(xx')（利用pk） dke可见，为避免平面波的“归一化”问题，箱归一化的波函数pn(x)代替p(x)，在最后的结果中再令L即可。

推广到三维情况： 动量算符的本征态为

1ip(r)3/2er/

Lp式中

pxhhhn，pyl，pzm，n,l,m0,1,2, LLL其正交归一化关系为

*p'(r)p'(r)dpx'px''py'py''p'p''

zz(L3)而

(rr')(xx')(yy')(zz')13Ln,l,mei2[n(xx')l(yy')m(zz')]/

按照前面的思想，当L时，px,py,pz将连续变化，从而有，

h3/L3dpxdpydpz

若将对量子态n,l,m求和写成积分的形式，有

L33n,l,mh3dpdpdpxyz

此式表示相空间中的一个体积元h能容纳一个量子态。 此时

(rr')作业：P133 14, 16

ip(rr')13 dpe3(2)

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