2017年全国Ⅰ卷文数19题

2017年全国1卷文科数学19题解析

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序 零件尺寸 抽取次序 1 9.95 9 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 4 9.96 12 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 7 9.98 15 8 10.04 16 9.95 零件尺寸 10.26 10.13 10.02 10.04 10.05 11611611622xi9.97，s经计算得x(xix)(xi16x2)0.212，16i116i116i1(i8.5)i1162 其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．18.439，(xix)(i8.5)2.78，

i116i(i1,2,,16)（1）求(xi,)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进

行而系统地变大或变小（若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x3s,x3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在(x3s,x3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本(xi,yi)(i1,2,,n)的相关系数r(xi1nix)(yiy)(xi1nix)2(yi1n，0.0080.09．

iy)2

1

1616116(xix)(yiy)(xix)(iy)2.78 【解析】yyi8.5，16i1i1i1(xi1nix)=2(xi1i16ix)=4s0.848，

2(yi1niy)=2(i8.5)i116218.439

故r(xi1nx)(yiy)2(xi1nix)(yi1n=iy)22.780.178

0.84818.439r0.178<0.25. 所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.

(2)(i) x3s9.9730.2129.334,x3s9.9730.21210.606 第13个零件的尺寸为9.22，9.229.334，

所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查. (ii)剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为方差为

16x9.22169.979.2210.02，

15151[(9.9510.02)2(10.1210.02)2(9.9610.02)2(9.9610.02)2(10.0110.02)2 15(9.9210.02)2(9.9810.02)2(10.0410.02)2(10.2610.02)2(9.9110.02)2(10.1310.02)2(10.0210.02)2(10.0410.02)2(10.0510.02)2(9.9510.02)2]0.008

故标准差为0.09.

(ii)解法二：剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为

16x9.22169.979.2210.02，

151516116116222(xix)(xi16x)0.212，得xi2=0.212216+169.972=1591.13， 由s16i116i1i11162(xi9.2221510.222）0.09 试剔除离群值，这条生产线当天生产的零件尺寸的方差s15i1

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