高中数学人教A版选修2-1第一章过关检测

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第一章过关检测

(时间:45分钟,满分:100分)

一、选择题(每小题6分,共48分)

1.下列命题中错误的是( ).

A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案:D

解析:两个平面α,β垂直时,设交线为l,则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β,故A正确;如果平面α内存在直线垂直于平面β,那么由面面垂直的判定定理知α⊥β,故B正确;如果平面

α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,易证交线与平面γ垂直,故C正确;如果平面α⊥平面β,平面α内与交线平行的直线平行于平面β,故D正确.

2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( ).

A.a=-b B.a∥b

C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|

答案:C

解析:因为,则向量是方向相同的单位向量,所以a与b共线同向,即使成立的充分条件为选项

C.

3.下列命题中真命题的个数是( ).

①是非整数;②5是10的约数或是26的约数;③逻辑联结词有“或”“非”“且”;④3≥2.

A.1

答案:D

B.2 C.3 D.4

4.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ).

A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

答案:D

解析:由于全称命题的否定是存在性命题,“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题,其否定为存在性命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.

5.给出以下四个命题:

①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2;

②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0;

③若x=y=0,则x2+y2=0;

④若x,y∈N*,x+y是奇数,则x,y中一个是奇数,一个是偶数,那么( ).

A.①的逆命题为真 B.②的否命题为真 C.③的逆否命题为假

答案:A

D.④的逆命题为假

解析:①的逆命题:若x=1或x=2,则x2-3x+2=0,为真命题;②的否命题:若x<-2或x≥3,则(x+2)(x-3)>0,假命题;③的逆否命题与该命题同为真命题;④的逆命题:若x,y∈N*,x,y中一个是奇数,一个是偶数,则x+y是奇数,真命题.

6.由“p:8+7=16,q:π>3”构成的复合命题,下列判断正确的是( ).

A.“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为真 B.“p或q”为假,“p且q”为假,“非p”为真 C.“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为假 D.“p或q”为假,“p且q”为真,“非p”为真

答案:A

解析:p为假命题,q为真命题,由真值表可以判断三个复合命题的真假.

7.下列命题的否定错误的是( ).

A.p:能被3整除的整数是奇数;非p:存在一个能被3整除的整数不是奇数 B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;非p:存在一个四边形的四个顶点不共圆 C.p:有的三角形为正三角形;非p:所有的三角形都不是正三角形

D.p:存在x∈R,x2+2x+2≤0;非p:当x2+2x+2>0时,x∈R

答案:D

解析:D选项将命题的否定与逆否命题混淆了.

8.已知集合A,B,给出下列四个命题:

①若a∈(A∪B),则a∈A;②若a∈(A∩B),则a∈(A∪B);③若A⊆B,则A∪B=B;④若A∪B=A,则A∩B=B.则上述命题中正确命题的个数是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:C

解析:①假,②③④真.

二、填空题(每小题6分,共18分)

9.设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是 .

答案:3或4

解析:∵方程x2-4x+n=0有整数根,

∴x==2±.

∴4-n为某个整数的平方且4-n≥0.

∴n=3或n=4.

当n=3时,x2-4x+3=0,得x=1或x=3;

当n=4时,x2-4x+4=0,得x=2.

∴n=3或n=4.

10.命题“正三角形的三边相等”的否定为 .

答案:存在一个正三角形的三边不相等

11.命题p:0不是自然数;命题q:π是无理数,在命题“p或q”“p且q”“┐p”“┐q”中,假命题是 ,真命题是 .

答案:p且q,┐q p或q,┐p

解析:因为p假,q真,所以“p或q”真,“p且q”假,“┐p”真,“┐q”假.

三、解答题(共3小题,共34分)

12.(10分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且┐p是┐q的必要不充分条件,求a的取值范围.

解:设A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a0}={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2}={x|x<-4或x≥-2}.

∵┐p是┐q的必要不充分条件,

∴┐q⇒┐p且┐p不能推┐q.

∴p⇒q且q不能推p.

∴A⊂B,

即-≤a<0,或a≤-4.

13.(10分)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x0∈R,+2ax0+2-a=0.若命题真命题,求实数a的取值范围.

解:∵p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,∴x2≥a.∴a≤1.

∵q:∃x0∈R,+2ax0+2-a=0,

∴Δ=(2a)2-4(2-a)≥0.∴a≤-2或a≥1.

∵“p∧q”是真命题,∴p和q都是真命题.

∴p和q的解集取交集得a≤-2或a=1.

∧q”是“p14.(14分)分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“┐p”形式的复合命题,并判断它们的真假.

(1)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相平分;

(2)p:方程x2-16=0的两根的符号不同;q:方程x2-16=0的两根的绝对值相等.

解:(1)p∨q:平行四边形的对角线相等或互相平分;

p∧q:平行四边形的对角线相等且互相平分;

┐p:平行四边形的对角线不相等.

由于p假q真,所以p∨q真,p∧q假,┐p真.

(2)p∨q:方程x2-16=0的两根符号不同或绝对值相等;

p∧q:方程x2-16=0的两根符号不同且绝对值相等;

┐p:方程x2-16=0的两根的符号相同.

由于p真q真,所以p∨q真,p∧q真,┐p假.