广东省信宜市西江中学2015届高三10月月考数学(理)试题含答案

2015届西江中学高三理数10月考试题

参考公式：

n(adbc)2独立性检验：设随机变量K （其中nabcd）

(ab)(cd)(ac)(bd)2是由观测样本的2×2列联表所得到的随机变量，则K2的计算值k对应的概率P(K≥k)如下表所示：

P（K2≥k） 20.50 0.455 0. 40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 k 7.879 10.828 一、 选择题： 1．设全集I{x|3x3,xZ},A{1,2},B{2,1,2}，则A(ðIB) A．{1} B．{l,2} C．{0,1,2} D．{一1,0,1,2} 2．复数z满足(1i)z(1i)2,则在复平面上复数z对应的点位（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ３. 下列函数中，既是奇函数又是在定义域上是减函数的为（ ）.

1

A．yx1 B．y C．yx3 D．ylnx

x４. 在△ABC中，若A60,B45,BC32，则AC（ ）.

A．43 B．23 C． D． 5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为 ( )

A．14 B．16 C．18 D．64 6.如图1，E、F分别是正方体ABCDA1B1C1D1中AD1、B1C上的动点（不含端点），则四边形B1FDE的俯视图可能是

A． B． 图 1 C．

D．

7．现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各４张，从中任取３

张，要求这３张不能是同一颜色，且红色卡片至多１张，不同的取法为（ ） A．232种 B．252种 C．472种 D．484种

1

2]上随机取两个数x,y，其中满足y2x的概率是（ ） 8．在区间[0， A．

1111 B． C． D．

82416二、填空题：

9. 不等式3x44的解集是 ．

010. cos300 ．

11. 已知平面向量a ( , 3)，b (4 , 2)，若a b ，则实数 ．

x0yx 12.若，满足约束条件x3y4，则zxy的最大值是 ． 3xy413. 曲线ylog2x在点x1处的切线方程为 . 选做（两题任选做一题）

14. 以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为(22，)，曲线C的参数方程为4x2cos，则

y2sin曲线C上的点B与点A距离的最大值为 ．

15. 如图,在RtABC中,斜边AB12,直角边AC6,如果

以C为圆心的圆与AB相切于D,则

C的半径长为 。

三、 解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16. （本小题满分12分）已知、都是锐角，cos⑴求sin和tan的值； ⑵求sin()和cos的值。

17. （本小题12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，得到如下列联表：

35)， ，cos(513 2

20至40岁 大于40岁 总计 文艺节目 40 20 60 新闻节目 16 24 40 总计 56 44 100 ⑴用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名？ ⑵是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？说明你的理由；

18. （本小题满分14分）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：

各年龄段样本人数频率分布直方图 “追星族”统计表 组数 分组 “追星族”人数 占本组频率 0.050.04频率/组距一 二 三 四 五 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65]

a 200 5 3 2 0.75 0.40 0.1 b 0.1 0.0050.0030.002年龄(岁)152535455565（1）求a,b的值．

（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，表示其中“追星族”的人数，求分布列、期望和方差．

19.（本小题14分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB2，点

E是线段AB中点.

(1)求证：D1ECE;

(2)求二面角D1ECD的大小的余弦值； （3）求A点到平面CD1E的距离.

3

D1

A1

B1

C1

D A B

C

E

x2y21(3a4)，过C1右顶点20.（本小题满分14分）焦点在x轴的椭圆C1:2a4A2(a，0)的直线l:yk(xa)(k0)与曲线C2:yx2点．

（1）若C1的离心率为ak相切，交C1于A2、E二45，求C1的方程． 3（2）求|A2E|取得最小值时C2的方程．

21.（本小题满分14分）21（本小题满分14分）

已知函数f(x)ex(axb)，曲线yf(x)经过点P(0 , 2)，且在点P处的切线为 l：y4x2．

⑴ 求常数a，b的值；

⑵ 求证：曲线yf(x)和直线 l 只有一个公共点；

⑶ 是否存在常数k，使得x[2 , 1]，f(x)k(4x2)恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．

4

2015届西江中学高三理数10月考答案

一、ADCB，ABCB

138二、9.[0,] 10. 11.

23 212.0 13. xyln210 14.5 15. 33 三、16.解：（1）⑴因为,都是锐角，所以sin0， -----------1分

sin1cos2 （-----------2分）

31641()2 （-----------4分）

52554sin54 tan （-----------6分）

cos335⑵因为,都是锐角，所以(0,)，sin()0 （-----------7分）

2 sin()1cos()= 1(5212) （-----------9分） 1313coscos[()] （10分）

cos()cossin()sin （-----------11分）

3541233 （-----------12分） ()513513652417.⑴应抽取大于40岁的观众人数为53（名）……4分（列式4分，计算1分）

40100(40241620)216006.9266.635 ⑵根据列联表中的数据，得K564460402312……10分（列式2分，计算2分，判断2分）

所以，有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关……12分

18.解： (1)．由题设知[15，25)这组人数为0.04×10×1000=400，…………1分 故

a=0.75×400=300 ……………………………………2分

5

[45，55)这组人数为0.003×10×1000=30，故b=

30.1 ………………3分 30综上，a=300，b=0.1． …………………………………4分

(2)．由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为p1 10，

～B(2

1) ……………………………………6分 10故的分布列是

ξ p 0 0.81 1 0.18 2 0.01 ……………………………………8分

E2的期望是

110.2 ……………………………………10分 105199的方差是D20.18 ………………………………12分

101050

19. (１) 证明： 所以，

DD1面ABCD，CE面ABCD

DD1CE……………………１分

RtDAE中，AD1，AE1 DEAD2AE22

同理：CE2，又CD2 ，CD2CE2DE2

DECE……………………………………………………………3分 DECEE

所以，CE面D1DE………………………………………………………………4分 又D1E面D1EC

所以，D1ECE……………………………………………………………5分

(２)解法一 由（１）证可知D1ED是所求二面角D1ECD的平面角…………６分

在RTD1ED中，DD11，DE2；

6

故，tanD1ED122 2…………………………8分

6 ……………………………9分 3z D1 A1 B1 C1 即二面角D1ECD的大小的余弦值为

解法二：利用向量法

设平面CD1E的法向量为m(x,y,1)， 由(１)得D1E(1,1,1)，CE(1,1,0)

mD1Exy10且mCExy0 解

得

：

D C y B 1xy2,即

x 11m(,,1)；…………………7分

22又平面CDE的法向量为DD1(0,0,1)，

A E cosm,DD1mDD1|m||DD1|11111446 3所以，二面角D1ECD的余弦值为6. 3…………………………9分

（３）)解法一：BC1，AE1，AEBC， SACE1111 ………………………………………10分 223 ，CE2 ，D1ECE，

又D1E SCDE1632 ……………………（11分） 2211161VACD1Ed， 3232设A点到平面CD1E的距离为d，则VD1ACE解得d66，即A点到平面CD1E的距离为. ……………（14分） 66解法二：利用向量法

7

由(１) (２)知AE(0,1,0)，平面CD1E的法向量为 m(11,,1) 221|mAE|6故，A点到平面CD1E的距离为d 266|m|2

a245220.解：解：(1)．由C1的离心率e得a9 ……………………2a3分

x2y2C1:1 ………………………………

94…3分

(2)．l与C2方程联立消y得xkx223ak0 4由l与C2相切知k3ak0，由k0知k3a ………………………………5分

l与

C1方程联立消

y得

(4a2k2)x22a3k2xa4k24a20……① ……………………6分

设点E(xE，yE)

l交C1于A2、E二点，xE、a是①的二根

xEaa3k24axE4a2k2，故

8a ……………………………8分

4a2k2222E22264a29a4a2|A2E|(xEa)y(1k)(xEa)(19a)……644242(49a)(49a)10分

9t2t16]，则|A2E|64令ta[9，

(49t2)222 8

9t2t18t(49t2)(427t2)(9t16)，0在t[9，令f(t)则f(t)16]上恒22(49t)(9t24)3成立 故

f(t)在

[9，16]上单

减 ……………………………………12分 故t16即a4，k12时f(t)取得最小值，则|A2E|取得最小值 此

时

2C2:y ………………………………………14分

/x121. 解：21解：⑴f(x)e(axab)……1分，

0f(0)2e(a0b)2依题意，/即0……3分，

f(0)4e(a0ab)4解得ab2……5分。

⑵记g(x)ex(axb)(4x2)2ex(x1)2(2x1)， 则g/(x)2ex(x2)4……6分，

当x0时，g/(x)0；当x0时，g/(x)0；当x0时，g/(x)0……8分，所以g(x)g(0)0，等号当且仅当x0时成立，即f(x)4x2，等号当且仅当x0时成立，曲线yf(x)和直线 l 只有一个公共点……9分。

⑶x[2 , 1]时，4x20，所以f(x)k(4x2)恒成立当且仅当

f(x)ex(x1)k……10分，

4x22x1ex(x1)ex(2x23x)/记h(x)，x[2 , 1]，h(x)……11分， 22x1(2x1)3由h/(x)0得x0（舍去），x……12分

233当2x时，h/(x)0；当x1时，h/(x)0……13分，

2231ex(x1)所以h(x)在区间[2 , 1]上的最大值为h()e2，常数k的

242x13 9

1取值范围为(e2 , )……14分．

4

3

10