线性代数练习册-答案

2020-12-13 来源：九壹网

第一章行列式习题答案

二、三阶行列式及n阶行列式的定义部分习题答案

1.计算下列二阶行列式

23（1）121； a11b11a12b12（3）

a21b21a22b22

a11a12b11b12（4）

a21a22b21b222.计算下列三阶行列式

10312126（1）

231；cossin （2）sincos1；a11a22a11b22b11a22b11b22

a12a21a12b21b12a21b12b21

a11a22b11b22a12a21b12b21

a11a12a130a22a23(2)

0a32a33a11a22a33a11a23a32a11a22a33a23a32

acbbac（3）

cbaa3b3c33abc

3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）3214；（2）614235.

t123 t112217

（3）

12n32n252n42n12

当n为偶数时，n2k，排列为

14k34k252k12k22k12k2k34k1t1122(k1)(k1)k

(k1)(k2)21

(k1)k13k13k14k2kn2n22

其中

11(k1)(k1)

为

14k34k252k12k2

的逆序数；k为2k1与它前面数构成的逆序数；

(k1)(k2)21

为

2k3,2k5,,2k(2k1)

与它们前面数构成的逆序数的和；

k1k13k13k1

为2k，2k2,2k4,,2

与它们前面数构成的逆序数的和.

当n为奇数时，n2k1，排列为

14k234k52k12k22k32k2k54k12

t1122kk

k(k1)21

n2n12

k3k32k3k4k23k其中

1122kk

为

14k234k52k12k2

的逆序数；k(k1)21为

2k3,2k5,,2k(2k1)

与它们前面数构成的逆序数的和；

k3k32k3k

为2k,2k2,,2与它们前面数构成的逆序数的和.

4.确定i,j，使6元排列2i316j为奇排列.

解：i4,j5，

t2i316jt2431655

为奇排列.

5.写出4阶行列式中含有a13a21的项.

解：a13a21a32a44；a13a21a34a42

6.按定义计算下列行列式：

000100200300（1）

4000(1)(4321)2424

a0000c00000d（2）0b00

(1)(1342)abcdabcd

7. 求

f(x)x1203x11x2132x322x

的展开式中x和x的系数.

x4的系数为6；含x3的项只有

43(1)t(4231)x(3x)x3

，所以x的系数为

3(1)t(4231)3(3)119

行列式的性质与展开部分习题答案

1.计算下列行列式：

200819861964200919871965（1）

201019881966；

解：

r3r2r2r12008198619641111110D

1a1a1a21a2a2a3a31a3(2)

a1；

解：

各列加到第一列后提取公因式D(1a1a21a2a3)11a21a21a3a3a3

r2r1r3r11a2(1a1a2a3)0010a3a31

(1a1a2a3)

（3）

D3201161113101002r42r13201116013110500

116(1)14131150r2r13r31100267818

（4）

12011101D1161c2c112611121122111001000

101c0(1)412613c10126116221223.

（5）

00D1001001

01D41001010



D3D2D2D1D2

432234

2.证明：

（1）

D１a1b1c１dbcdacdadabbc0

；

证明：将D的各列都加到最后一列再提出公因式有

１aD1b1c１dbcdacaabddbc(1abcd)１a1b1c１db1c1d1a10

（2）

axbyaybzaybzazbxxzyzxzxyazbxaxby(a3b3)yazbxaxbyaybz

证明：左式

axaybzayazbybzbxazbxaxbyaybzazbxaxbyD1D2azbxaxbyaybzazbxaxbyaybz

zayxD1aaybzyzazbxaxbyaaybzazbxaxbyazaxr3br1xyazbxaxbyaybz

xzyxzya2aybzazbxaxbya2ayazaxa3yzxyzr2br3xyzxyzxzxy

类似有

yD2b3zxzxyxyzr1r3r2r3xzyzxzxy(1)2y

所以

axbyaybzaybzazbxxzyzxzxyazbxaxby(a3b3)yazbxaxbyaybz

3.计算n阶行列式

abbab...bb...bbba...b...............（1）Dn=bbb...a；

各行加到第一行后提取公因式有：

1bDna1a1...1b...b(n1)bbba...b...............bbb...a 101a0...0ba10......10r2br1rnbr1a(n1)b0...0b...0.........0...ab

a(n1)babn1

（2）

Dn1a11122a22nnnan

(a1a2an0).

1a1rnr1a1r2r12a20n0an2nr1r2rna2an1a12a1a2a1a1na1an0a2000ana1

2a1a11a2na1a2anana2nian1i1ai

4.利用范德猛行列式计算：

11D12141391416182764.

1112122213321442(21)(31)(41)(32)(42)(43)1213233343

克拉默法则部分习题答案

1.用克拉默法则解线性方程组

（1）

bx1cx1ax22cx23bx3ax32abbc(abc00)

；

解：

bD0a05abc2c3b，

，

x1a,x2b,x3c

（2）

c0a

2aba0D1bc2c3b5a2bc00ab2ab0D20bc3b5ab2cc0aba2abD02cbc5abc2c00

x13x22x3x412x5x3x2x312343x14x28x32x446x1x26x34x42

解：,

1321D25323482176164

1321D353214482342164

1121D23322348206264

1311D253233442176124

D123521333484616285

x12,x20,x31,x45

2.当为何值时，齐次线性方程组

x13x24x300x1x2  x2x30(1) 仅有零解；(2) 有非零解．

解：

34D1001(1)(3)

，

（1）1且3时D0，该齐次线性方程组只有零解。

（2）要使该齐次线性方程组有非零解，则非零解，x1x21,x31就是一组非零解. 是一组非零解.

1或3时。经验证，1时方程组有

3时方程组有非零解，x13,x21,x33就

第一章自测题与答案

第一章自测题

一.判断题（每题3分，共15分）

000a1400a2300a0a14a23a32a41320a41000

. ( 错 )

2.在四阶行列式

D4aij 中，a23的余子式M23与代数余子式A23互为相反数. 3.

a11a12a13b11b12b13a21a22a231,b21b22b231,a31a32a33b31b32b33

则

a11b11a12b12a13b13a21b21a22b22a23b230a31b31a32b32a33b33

( 对 )

.（错）

a11a21a12a22a32a13a231a33a13a12a23a22a21a33a321a314.

a31,则

a11. （错）

41644164D23622r2r110718860112601122122212

. （对）

二.填空题（每题4分，共16分）

a11a12a13a21a22a2311.已知

a31a32a33，则

r1a22212a22a23c12a23rra2a114a122a2a21a22134a11a12a1211a12134a21a22a312a32a33a31a32a33a31a32a11a12a13a21a22a2322.已知

a31a32a33，则

a13a234a33

a21a12a22a13a23a22a11a21a13a23a11a23a21a12a22a21A31a22A32a23A330

a21a12a32a13a33a22a11a31a13a33a23a11a31a12a32

a23A232a21A21a22A22a23A23a21A21a22A22

3. 由行列式确定的多项式

4x3xf（x）131x2021112x11x

43中x，x的系数分别为 8,-6

含x的项为

3(1)t(2134)3x12xx6x3

123231184.

312

三 .计算下列行列式（各10分，共40分）

2D111006462111.

2212；

2r42r1166410162r2r11622D1解

22.

；

解：

1112r2r011113107323013102131002514（a1）2a2（a1）21（b1）2Db2（b1）21（c1）2c2（c1）21（d1）2d2（d1）21

c2a1a22a11c1c2D3c22b1b22b112c1c22c112d1d22d11

2a22a11c1c32b22b112c22c1102d22d11

aabbabbD2na

；

解：按第一行展开后再按最后一行展开，有

aD2na2babbab(1)12n(1)2n112aabbabbba2n2a2n2

即有

D2na2b2D2(n1)，所以

2n1nD2nab22D2(n1)ab22D2(n2)ab22D2ab22

Dna1a2a1a2a1a2ananan

解：

a1an00r2r1a2an0c1c2cna1a2a2an0Dnrnr100

a1a2四．（10分）设

Daijann1

nBaijGkaijnn（k为非零数）, n,为阶行列式，

1.讨论B,D的关系；2. 讨论G,D的关系.

解：

Baijna11a21an1a12a22an2a1na2nannri(1)i1,2,,n(1)na11a21an1a12a22an2a1na2nann(1)nD

Gkaijnka11ka21kan1ka12ka22kan2ka1nka2nkann1ri()ki1,2,,nkna11a21an1a12a22an2a1na2nannknD

1D2111131210211五.（10分）

12,求A21A22A23A24.

解：

A21A22A23A241A211A221A231A2411110111211113127

ax1x2x30, x1bx2x30, x2bxx0.23六.（7分）设齐次线性方程组为1

用克拉默法则解讨论a,b应取何值时，方程组(1) 仅有零解；(2) 有非零解．

解：

aD11b11b(a1)12b1

当b0,a1时D0，方程组只有零解；要使方程组有非零解，必有b0,或a1.

当b0时，方程组有非零解.事实上，

x11,x21a,x31

就是一组非零解.

当a1时，方程组有非零解.事实上，x11,x20,x31就是一组非零解.第二章矩阵及其运算习题答案

矩阵的运算部分习题答案

1. 已知

A04322011,B30101212

，且XA（2BX）,求X.

解：

X1(2B3A)21002211

2.计算

T101（1）

1,2,1T,求

T，

T及.

1T1,2,1216解：；

1T12124212121,2,11

6TT6126

，

利用结合律：

T101TTTTTTT

12161002426100T6100T121

（2）

xa11y1a12b1a12a22b2b1xb2yc1

解：原式

xa11xa12yb1,a12xa22yb2,b1xb2ycy1

a11xa12yb1xa12xa22yb2yb1xb2yc

a11x22a12xya22y22b1xb2yc

10A0100，求An. （3）

解：

10A01EA000

010A0001000 ,其中

由于矩阵的乘法没有交换律，一般来讲二项式定理不成立，但是由于

EA0A0EA0

，

所以

1AnE+A0ECnEnnn12A0CnEn2A02nnCnA0

而

A02001000,A03O,000,A0kO(k3)

，

100100n n1A所以时，

n2时，

1AnE+A0ECnEnnn12A0CnEn2A02

nEnn1A0n(n1)n22A02

n00nn1n0n(n1)n22n1nn

cossinn（4）sincos

解：

cossin2cos22sincossincossin22sincoscos2sin2

cos2sin2sin2cos2

假设

kcossinsinksincoscosksinkcosk

k1cossinsincossincosksinkcossincossinkcoskcoscosksinsinkcossinksincoskcos(kcossinksincoskcoscosksinsink1)sin(k1)由数学归纳法知

ncossincosnsinnsincossinncosn

sin(k1)cos(k1)

311A212123B1211101013. , ,求AB,BA及ABBA.

解：

，

1A4.解：

；

22B03，

0622400AB610;BA410812434

222ABBA200442

001101,f(x)x32x5，求f(A)及f(B)4f(A)A32A5E926

900f(B)B32B5E041004

y2y1y2x1x1x2x2x2x3x33x3z2z12y1y1y1y2y2y3y3w1z1z1z22z2z3z35.已知三个线性替换为：

y3，

z3，

求从x1,x2,x3到w1,w2的线性替换.

y1111x1y2111x2解：

y3013x3；

z1110y1z2211y2z3111y3

；

wz11111w2121z2z3

w1111110111x1w2121211111x12111013x43所以

15x137x2x3

w1w2x14x1x23x25x37x3

6.如果ABBA,则称矩阵B与A可交换,求与A可交换的矩阵具有的形式.

a10A00a2000aaj(i,j1,2,...an其中当ij时i,n).

解：设

Bb11b21bn1b12b22bn2b1nb2nbnn

，则

ABa1000a200b110b21b12b22b1nb2nbnna1b11a2b21anbn1a1b12a2b22anbn2a1b1na2b2nanbnn...anbn1bn2

b11BAb21b12b22b1na1b2nbnn000a2000...ana1b11a1b21a1bn1a2b12a2b22a2bn2anb1nanb2nanbnnbn1bn2

利用同型矩阵相等当且仅当对应位置元素相等有

aibijajbijaaj，由于ij时i

Bb所以ij时ij0b1100b220000bnn，故

即与主对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵.

1BE222,证明:AA当且仅当BE.

7.如果

A证明：

A11BEA2B22BE24，

2所以AA当且仅当

11BEB22BE24

当且仅当

2BEB22BE

2，当且仅当BE.

8.设A,B都是n阶对称矩阵，证明：AB仍是对称矩阵当且仅当ABBA.

证明：由已知ATA,BTB，所以

ABTBTATBA

T而AB是对称矩阵当且仅当

ABAB，所以AB是对称矩阵当且仅当ABBA.

T9.设n维列向量满足

12，

BE2T,CET

证明：1）B是对称矩阵；2）BCE.

证明：1）

TTTTTTBTE2ET2E2TE2T

所以B是对称矩阵.

2）

BCE2TETE2TT2TT

ET2TTET212TE

AOAAA22A10. 已知A是3阶方阵,且,计算(1)；(2) ；(3)E2A.

解：(1)

2A23A16；(2)

AA2A2A163

（3）

AEO2AA2A(1)3A23A32

可逆矩阵部分习题答案

1.求下列矩阵的逆矩阵：

12A13；（1）

解：

A11*32A11A

cosAsin（2）sincos；

解：

sincossincossincos

A11*cosAAsin

11A12A23；解：(3)13

(4)

解：

2.设

12(12n0)n

1111122n1nA111100123,B234111143

,求矩阵X使得AXB.

解：

111123XA1B100234111143

02012323411012340102121143101

1A21A,B,求B. ABA2BAE3.设满足,其中

1解：ABA2BAE两端右乘A得AB2BA11A2EBA1，所以

即有

BA2E11A1411121

1114111128111

14.设A是n阶方阵,且满足A25AEO, 利用定义证明:A3E可逆，并求A3E.

22证明：由于A5AEO，所以A5AE，

故

A3EA2EA25A6EE6E5E

所以

A2EA3EE15

，所以A3E可逆，且

1A2E5

A3E1k5. 设A是n阶方阵,且AO（k为正整数），利用定义证明：EA可逆，且

EA1EAA2证明：由于

Ak1

EAEAA2,所以EA可逆，

Ak1EAkE

且

EA1EAA2A1Ak1

A12A*6. 设A是3阶方阵，且

11A2A2,求(1) ；（2）

A*；（3）.

解：（1）

A1；

（2）由于

A*AA12A1，所以

31A*2A1242

（3）由于A*2A1，

所以

272

A12A*A122A13A13A13分块矩阵及其运算部分习题解答

10A011.将0001010012B1001010111,00004120进行适当分块，并计算AB,AB,AT.

解：令

A11AA21A1200,AE2,A12O,A21,A22E2A221111

BB11B21B12101041,B,BO,B,B211222B2211121120

2000130010051021ABA11A21A12A22B11B21B12B22A11A21B11B21A12A22B12B22

1ABA11A21A12B11A22B21B12B22E2A21OB11E2B21OB22B11A21B11B21OB22000120010411120

其中

A21B11001110000212

A21B11B21000211011011

(分块方法不唯一)

AA1O,BB1,B2,都是n阶方阵，2. 其中A1为mn(mn)矩阵，O为nmn零矩阵，

B1为nm(mn)矩阵，B2为

nnm矩阵，求A,AB及BA.

解：

ATA1TO；

AABAB1B1,B211OOA1B2O

BABBA1,21OB1A1

3.设n阶矩阵A和s阶矩阵B都可逆，求

AO11（1）OB ；（2） OABO.

解：（1）因为

11AOAOAAOOBOB1BB1EnOO,

所以

1AOA1OOBB1O

OES

；

（2）因为

OAO1BOAB1AA1OOOEn1OBBOES

所以

OABO1OA1B1O

4. 利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵

12A00（1）0000000100A11023101211，求A；（2）251300100，求A.

解：(1)

AA1OO1023,A,A2A212112

,由于

A110,A210，所以A1,A2都可逆，且

A11231*1011*A1,AA222112A1A 2

，

所以

A1111O2010000AOA1200230012

（2）

AOA1O,A125A13,A112211

,由于A110,A220，

所以A1,A2都可逆，且

A111*35AA11*111,AA21122A221，

所以

11

OA1A11001A200O1212121235001200

第二章自测题与答案

一判断题（每题3分，共15分）

1.A是n阶方阵，如果A2A,且AE, 则AO； 2. A是n阶方阵,则

(AB)(AB)A2B2

；（错）

3.A,B是n阶方阵,且A可逆，AXX6B，则X6B(AE)1；4. A,B都是n阶方阵，则ABAB； 5.A,B,C都是n阶方阵，满足ABAC,且A可逆，则BC. （错）错）

（错（对）

（）

二.填空题（每题4分，共20分）

1.=（1，1，2）,

12112121242,则 1，=

1 ,

2009=

1(1)200821121242121121242

；

236324AB1351353XA）（2BX），，且（2.已知,

012则X=

131.

1A202113.

，f(x)2x2x1，则f(A)

1 ；

12A004.设1001000211053,则A 1100210000310052 ；

2AO3B5.A是3阶方阵,B是2阶方阵,且

A2B1,

，则O

2A3B23A(3)2B72(2)144 ；

A*23A*23A232

三.矩阵计算（10分）：

101A011110设111B012，023,求（1）AB，（2）BA；（3）ATBT.

解：（1）

101110113AB011012111023035121

；

110101110AB012011023111231351

四.(10分)已知A，B都是3阶方阵,且

A9，AB3EO,求

B及

AOO12B.

解：AB3EO，所以

AB3E,AB3E，即

AB3E3

所以：9B27,B3.

AOO2B11AOO2B111216A23B983

五.如果ABBA,则称矩阵B与A可交换,求与矩阵A可交换的矩阵具有的形式.（10分）

10A00000200010011；

解：

10A0000002000E,00100110000100000010

则ABBA的充分必要条件是BB，设

Bb11b12b21b22b31b32b41b42b13b23b33b43b14b24b34b44

0000b11b12b13b14000B0100b21b22b23b24b21b22b230000b31b32b33b340000010b41b42b43b44b31b32b33b11b12b13b1400000b12b14Bb21b22b23b2401000b22b24b31b32b33b3400000b32b34b41b42b43b4400100b42b44由BB有

b12b14b32b34b21b31b240

b23b240,b42b320,b33b44

所以

b110b130B0b220000b330b410b43b33

0b240b340000

b1B00a20b200a10c1c3000c2，即

（其中a1,a2,b1,b2,c1,c2,c3为任意数.（书上答案有错））

六. 求矩阵A的伴随矩阵A和逆矩阵A（10分）.

*1011A101110

A11A*A12A13A21A22A23A31111A32111A33111

A1,A2,所以

11111112111

13A010AXA6AXA,七.（8分）设其中

01400017，求X.

11A1EX6E1AXA6AXA,AX6EX,解：两边右乘A有所以



13A0001400017,

A1300200040,A1E030007006

X6A1E11260001300300002000116

2八.（7分）设A是n阶方阵,且满足AAEO, 利用定义证明:A2E可逆，并求

A2E.

22解：由于AAEO，所以AAE

1A2EA3EA2A6E7E

所以

A3EA2EE17

，所以A2E可逆，并且

1A3E7

A2E1.

a11Aa21a31九.（10分）设实矩阵

a12a22a32a13a23a33,满足ATAO,证明AO.

*试将结论推广到A是n阶方阵的情况.

a11Aa21a31证明：

a12a22a32a13a23a33，

则

a11ATAa12a13a21a22a23a31a11a32a21a33a31a12a22a32a13a23a33

a112a212a312***a122a222a322*a132*22a23a33 *TTA由于AO，所以AA的所有元素都为0，

即有

a112a212a312a122a222a322a132a232a3320

又A是实矩阵，所以

a11a21a31a12a22a32a13a23a330

，即AO.

T推广结论：如果n阶实方阵满足AAO,则AO.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

初等变换与初等矩阵部分习题答案

1.先用初等行变换化下列矩阵为行最简形，再用初等列变换将其化为等价标准形

11A22（1）131325267456；

解：

10A00r2r1r32r1r42r1131r4r21r3121450000521401311r1r3214r24r30000100001200130r21210r1r20010007021102001010720011020001行最简形为0000

又

10721102000000100010001所以等价标准形为

0001302A1121（2）

3144；01c37c11c2032010000

0

0

0



00010010010000000000 000100010000

31012r2r2r1130213024r33r11r32r2r13r2A0421042101208420000000541401035241011240000行最简形为；

1035324cc131c1222c454c11c21000011244010000000000

10000100，所以等价标准形为0000. 111A111(3)

111；解：

111r2r111110A111r3r10200111102200

001

100010001 行最简形和等价标准形都是（4）

解：

21112A112144622436979

11214rA1r2211124622436979

rr22r1311214r43rr14103316010106120334311214r4r3033160101061200039

13r2r4r36r4r411203301010000140903013

1r2()3r310r2r3r410001214110300130000

0101100000431300

1r1r2r3000100行最简形为：04110300130000

010100001011000004c3c1c21c54c13c23c43c3c400130000000100001000000

100等价标准形为：00000100001000000

1100101120A011,P100P1P0101231010012001 2. ,,

2009PAP312009P2AP1求: (1)； (2) .

解：由于

2P1E,所以

PAP3P210041P20091AP3P200811P1AP3P1AP3

P1左乘A相当于交换A的1,2两行，P3右乘P1A相当于P1A的第一列乘2加到第二列，

所以

0110112009PAP3P10P313011AP31101121

P1右乘A相当于交换A的1,2两列，P2左乘AP1相当于AP1的第三列各元素乘以2，

所以

2009P2APP2AP11P121004110110P2APP10110112011022

3.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.

1A00101113（1）；

解：

100101001110103001r1r2r3r21011011000201100r3r1r212r3r310010100001011323211212113122A10312211所以

022

1014A0111111（2）00013

解：

101401110111001310001000100000r13(r2r11)0010001411102001322

1000010001100001

11r32r1r3r2r30r4r3000041100100103000121212121212121201r413014r40rr2r40001000110001000100016131216162312164313013

所以

1161031A012106162312164313013

4. 设

01011A111，B2010153

，且AXBX，求X 解：AEXB,因为

11AE1001102113012

所以AE可逆，所以

XAEB1

2r11101111011rr3r11012001111AE,B1025301242

rr1(1)rr1r2101202(1)r3(13)10120r3rr1r312011112r300333011110011100所以

31XAE1B2011

矩阵的秩部分知识习题解答

1. 求下列矩阵的秩.

1131A10242155（1）3286；

解：

003102011101

11A23101232582r11r113r32r14r43r10110115601111133011000330001300

所以r(A)2.

1014A31301212. （2）

解：

0141423r111014r10r3r1r32r2A3130016120161212120206001230

所以r(A)3

11A1111，讨论为何值时（1）R(A)1;(2) R(A)2;(3)R(A)3. 2. 已知

解：

1111212A11

（1）当1时，

111111A111000111000

，R(A)1

（2）当2时，

211rr11r3rr1r2A12r312133011212r111200000，R(A)2

（3）当1且2，时，

A2120

，所以R(A)3.

121aA2112112a2

，讨论a取何值时，可使(1)R(A)2; (2)R(A)3.

101100

解：

aa121121r3r2A03322a03322a033a2a000a2a2

r22r1r3r12所以：当aa20，即a1或a2时，R(A)2

2a当a20，即a1且a2时，R(A)3.

4.设Ai是mini(i1,2)矩阵，证明：

A1RR(A1)R(A2)A2

Er1R(A1)r1,R(A2)r2A1证明：设，则对进行初等变换可化为等价标准形OOO

Er2A2对进行初等变换可化为等价标准形OOO，

A1对Er1A2n1m1A1的前行和前列进行与化为OOA1O时相同的初等变换，则A2化

Er1为OEr1A2,再对OEr2A2mnA的后2行和后2列进行与2化为OOO时相同的初等变

Er1换，则OEr1A2化为OEr2O，

所以

A1REr1RA2OEr2rr12O

上面过程用矩阵乘积形式写出即为：

设R(A1)r1,R(A2)r2，则存在m1,m2阶可逆矩阵P1,P2及n1,n2阶可逆矩阵Q1,Q2，使得

Er1P1A1Q1OOEr2,P2A2Q2=OOOO

令

Em1QOOQ1Q2OOEn1,PEm2OOP1P2OOEn2

则

AP1Em1QA2OOP1P2OOA1Em2En1A2OOQ1Q2OOEn2

PAQ111Er1P2A2Q2OEr2O

由于P1,P2，Q1,Q2可逆，所以

Em1OOP1,P2OOEm1,Em2OOQ1,Q2OOEm2

都可逆，

所以

A1RA1RPA2Er1QRA2OEr2rr12O

即

AR1R(A1)R(A2)A2

5.设A是mn矩阵，证明： R(A)1当且仅当存在m维非零列向量和n维非零行向量

T,使得AT.（提示：使用A的等价标准形）

证明：如果R(A)1，则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得

11O010APQPOO0m101nQ

令

10P,T100m101nQ

T则是m维非零列向量，为n维非零行向量，且A.

TT如果存在m维非零列向量和n维非零行向量,使得A，

Ta1aTb,m，1设

,bn，则

a1b1a2b1Aamb1a1b2a2b2amb2a1bna2bnambn

Tab0RA1m由于为维非零列向量，为n维非零行向量，所以存在某个ij，所以

又

RARTR1

,所以R(A)1.

线性方程组的解部分习题解答

1.用初等行变换求解下列线性方程组

2x1x23x31,4x12x25x34,（1）2x1x24x30.；解：

2131rr22r12A2543r14021400方程组无解.

2x1x23x31,4x（2）

12x25x34,6x13x28x35.；

解：

2131rr22r12A33r14254638500

1301011301011r213123r20012100011r2r33r2r210712200120000

所以x22x17x32，（x1是自由未知量）

x1kxx11022k7x22k7即x32，所以x302，（k为任意数）

2x1x23x31,4x12x25x34,（3）

2x1x23x31.；

解：

2131rr13r2r22r12131A3r134254r10012220213102020r2x1r3006130012x210101，方程组有唯一解：x32

（4）

x13x22x3x41,2x15x23x32x43,3x14x28x32x44,6x1x26x34x42.

100110721

解：

13212532A348261641r22r11321133r1rr6r4310110101342172019624

rr13r21011401r31319rr24201101r(1)12r3r4110015120000200132230013r0301r1r234r3101101002130017017

r14rr17r13r40002r24132r4010000001500101

x12x20x31方程组有唯一解：x45

2.用初等行变换求解下列齐次线性方程组

（1）

140113223

x12x23x34x40,2x3x4x5x0,12343x14x25x36x40,4x15x26x37x40.

；

解：

1234r4r31234r1r201230345r3A2111r3r21r4r211113456rr22r111111000r2r1456711110000000方程组有非零解.且x1x32x4x22x33x4（x3,x4是自由未知量）

通解：

x112x2x2c3c311x40021 ，其中c1,c2为任意常数.

（2）

123012000000

x2x3x5x60,x3xxx3x0,123452x3x46x53x60,x1x15x23x3x4x52x60.

解：

01101111011A131130rr0233303302163r4r1301021631001531120550550所以

x12x3x46x53x6x2x3x5x6

（x3,x4,x5,x6是自由未知量）

通解：

x1x216321011xxc000311c2c3c440100x5001x600001，其中c1,c2,c3,c4为任意常数.

02111000000063110000

3.讨论a取何值时，下面线性方程组：（1）有惟一解；（2）没有解；（3）有无穷多个解？并在有解时求解.

(a1)x1x2x30,x1(a1)x2x33,xx(a1)xa.231

解：

10a11a3a3a3a3r1r2r3A1a1131a113111a1a1a1a

a3011111rr111111121r1a3r3r11a1130a0201011a1a00aa1001a01r2a1r3a12aa1a

100r1r2r301000111x1aa22x2aaa1a1x3a，所以a3且a0方程组有唯一解a 当a3时，方程组有无穷多解. 此时

13r12r21213rr1213101121A112303360112000000000000

r2x1x31x2x32（x3是自由未知量）

x111x21c2x10通解3，其中c为任意常数.

当a0时，方程组无解.

第三章自测题答案

一.判断题（每题3分，共15分）

1.方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解. （对）

2.在秩为r的矩阵中，所有r1阶子式都不为零. （错） 3.设A是mn矩阵，P是m阶方阵，Q是n阶方阵，RPAQRA. （错）

4.A是mn矩阵，且mn，则非齐次线性方程组Axb有无穷多解. （错）

5.A是mn矩阵，线性方程组AXb满足R(A)R(Ab)n，用初等行变换将(Ab)化

为行阶梯形矩阵C，则C的最后一列对应的元素为方程组的解. （错）

二.填空题（每题4分，共20分）：

1A001210123461000108131.的行最简形矩阵为

001

001A210430,则A12.

31022021100； *3.设A是n阶方阵，A3,A是A的伴随矩阵，则

2A1A*

(1)n3 2A13A1A1(1)An14. 矩阵的乘积

10000101020092010010510102009211012010

201001201001001051010121010200921201001201051

AORr3RAr,R(B)r2，OB5.A,B,C分别为mn,st,sn矩阵，1，

AORr4CB,则r3与r1,r2的关系为r3r1r2，r4与r1,r2的关系为r4r1r2.

三.求下列矩阵的秩（第一题5分，第二题10分，共15分）

3214A11110121； 1.

解：

r3r111113214r3r0121r121r2A111111110121012101210000

R(A)2

123kA12k3k23. 2.

解：

22r11123krr3kr1A12k302k2k23022k23krr13233k02k233k033k2063k23k

63k23k3(k1)(k2)

所以：当k1且k2时，R(A)3；

12k6A069当k2时，

000，R(A)2； 123A000当k1时，

000，R(A)1. 四.用初等行变换求解下列线性方程组（每题10分，共20分）

x1x22x32x41,2x2x35x41,2x13x3x43,1.x1x24x41.；

解：

r3r2112211112A02151rr11221r43212120313r4r10215102151r3r4020011104100222000r1041r20010r12r312r30206211r22103100111r10001110000000000

21511100

x110x231x1x4c1x3x1x1243xx1所以34，通解为：x410，其中c为任意常数.

x12x2x3x40,2x12x2x3x40,x1x22x40,x1x2x36x40.

解：

1211rr22rr11211rr12r3r26rr310A22113112r4r11010630111r432r301111601250000rr1r4r2r34r1001000r342(1)0103101000005001000140001

x10x20，所以方程组只有零解

x3x004.

13113714

五. (10分)讨论a,b取何值时,下面线性方程组有解, 并在有解的情况下求其通解.

x1x2x3x40,x22x32x41,x2(a3)x32x4b,3x12x2x3ax41.

1111011110101012210122101201a32b01a32b00a1321a1012a31000a1,b1时，方程无解

a1,b1时，方程有无穷多解，此时，

1011110111012210122100a10b100000000a1000000

x11x3x4，

x212x32x4

方程组的通解为

11210b1a10

x1x2x3x1100c11210c212(014

c1,c2为任意数）

x1b11a1x12b12a1xb13a1a1时，方程有唯一解，此时

x40；

200000A0220六．（10分）设101302，且

ABA1BA16E ，求B. 解：方程两端同时右乘A，得ABB6A,即AEB6A

1000AE01001010由于1301可逆，所以B6AE1A

0012000r10001210AE6A0100012003r1r4r13r210001010601200001061301618012000160000001200121218

1200001200B60120618012 所以

七.（10分）设A是秩为1的3阶方阵，证明:存在不全为零的数a1,a2,a3和不全为零的

数

b1,b2,b3，使得

a1b2a1b3Aa1b1a2baa12b22b3a3b1a3b2a3b3

；并求A100

解：R(A)1，则存在3阶可逆矩阵P和Q，使得

AP1000101QP0100Q0010令

1P0a1aT2,100Qb1b20a3，

则

b3

a1ATa2b1b2a3a1b1b3a2b1ab31a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3

TTA100TTTTT

a1b1a1b2aa99991b1a2b23b3Ta1b1a2b2a3b3a2ba12b2a3b1a3b2第四章向量组的线性相关性

向量组及其线性关系部分习题答案

1.设

T1(1,0,1,2)T,2(2,0,1,1)T,3(2,1,0,1)

，求向量，

使得1223.

解：

T30,4T,5141235,1,3,3,0,3

2.设

a1b3a2b3a3b3

1(1,2,1,2)T,2(1,0,3,1)T,3(2,1,0,1)T,(2,1,2,2)T

,问：是否能由1,2,3线性表示？如能表示，判断表示的方法是否唯一？解：设x11x22x33

则增广矩阵为

12A1,2,3,1212011302112

2对A进行初等行变换有

10A1,2,3,001101011000

00所以方程组x11x22x33有唯一解x11,x21,x31，即能由1,2,3线性表示，且表示方法唯一，即123

2T(0,k,k)可由 3.设

1(1k,1,1)T,2(1,1k,1)T,3(1,1,1k)T

唯一的线性表示，求k满足的条件.

解：设x11x22x33,方程组的系数矩阵A1,2,3为3阶方阵，所以x11x22x33有唯一解得充分必要条件是RARA3, 充分必要条件是RA3,即A0

而

1kA1111k1111k(k3)k2

，所以当k3且k0时能由1,2,3唯一线性表示. 4设1,2,,s是一组n维向量，

112s,212s1,

,s112,s1

，证明向量组1,2,,s与向量组1,2,,s等价.

解：由已知

1s,2s1s,,s12

，所以向量组1,2,,s可由向量1,2,,s组线性表示，又已知条件给出1,2,,s可由1,2,,s线性表示，所以两向量组等价.

5.设

11,0,0,3,22,1,1,2,3(3,2,a3,1)T,4(3,2,2,a)T,TT

(1,1,b1,1)T，讨论：

（1）a,b为何值时，不能由1,2,3,4线性表示？

（2）a,b为何值时，能由1,2,3,4唯一的线性表示？

（3）a,b为何值时，能由1,2,3,4线性表示，但表示方法不唯一？

解：设

x11x22x33x44

3311201221A01a32b1321a1

101120a1b112001200a1000 线性表示.

（1）a1,b2时，方程无解，不能由

1,2,3,4（2）a1时，方程有唯一解，此时能由

1,2,3,4唯一的线性表示；

（3）a1,b法不唯一.

2时，方程有无穷多解，此时，能由

1,2,3,4线性表示，但表示方

6.判断下列向量组是线性相关还是线性无关？

（1）

1(1,1,1,1)T,21,1,1,1,3(1,1,1,1)T,4(1,1,1,1)TT

；

解：设

x11x22x33x440

则

1111111111110200A1,2,3,41111002011110002

所以方程组只有零解：

x10,x20,x30,x40

，所以1,2,3,4线性无关.

（2）

1(1,1,0,0)T,21,2,3,4,3(1,0,1,2)T,4(1,3,4,6)TT

设

x11x22x33x440

则

11A1,2,3,4001111203031404260001101011000

所以

x1x4

x2x4,xx

43

（x4为自由未知量），所以方程组有非零解，1,2,3,4线性相关.

7. 1,2,,s是一组n维向量，

11,212,,s112s1,

s12s，证明：如果1,2,,s线性无关，则1,2,,s也线性无关.

证明：设

x11x22xss0

则

x11x212xs12s0

即

x1x2xs1x2xs2xss0

由于1,2,x10x1x2xs0x0xx022sxs0,s线性无关，所以，即有xs0

所以1,2,,s也线性无关. *8. 设1,2,3线性无关，且

11t2,22t3,33t1

，

讨论t为何值时1,2,3线性无关，t为何值时1,2,3线性相关. 解：设x11x22x330，则

x11t2x22t3x33t10

即有

x1tx31x2tx12x3tx230

x1tx30x2tx10xtx023由于1,2,3线性无关，所以

，

10tAt100t1，当该齐次线性方程组的系数矩阵为

10tAt101t3010t

时，方程组只有零解

x10x20x03，此时1,2,3线性无关；当

10tAt101t3010t

时，方程组有非零解，此时1,2,3线性无关.

向量组的秩与极大线性无关组部分习题答案

1.求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并用其线性表示向量组中其余向量.

1(1,2,1,3)T,2(4,1,5,6)T,3(1,3,4,7)T,4(2,1,1,0)T

解：

121412r22r114r3r1r43r1213109531,2,3,4154109533670018106

r3r2r42r21r291000411590000211r4r1230000001001195900231300

所以1,2为该向量组的一个极大线性无关组，

且

1152112,4129933

3.

2.求下列矩阵的秩和列向量组的极大线性无关组，并用其表示向量组中其余向量.

11A00（1）001100110011；

解：设A1,2,3,4

111,2,3,4000011100r2r100110011011101r3r2001100110001101011011

1r4r3000001101011000，

所以1,2,3为向量组的一个极大线性无关组，且4123.

(2)

111110A101122100201110233

解：设

A1,2,3,4,5,6

，

11110r2r111101122r31,2,3,4,5,6100201rr14r101102330011121101110212111323

r1r2r3r2100100001122r1r310020110r21r23r32212r4r3010434r31010013230013231323000000001043413230000

020所以1,2,3为向量组的一个极大线性无关组，且4214233，53223，

614233.

3.确定a,b，使矩阵

13A0511112113a122634331b

1的秩为2，然后求此时A的列向量组的一个极大线性无关组. 并用所的求极大线性无关组表示其余列向量.

解：令

A1,2,3,4,5,6

131,2,3,4,5,60511111111111r23r12113ar45r101226a3012261226334331b01226b5

r1r3r2r3r4r31000011501002002006021a003b20011510020020060023ab2

所以a0,b2时矩阵的秩为2.此时，

10A0001152122630000000000

，

1,2是列向量组1,2,3,4,5,6的一个极大线性无关组；且 3122,

4122,55162,62132

4. 证明：向量组1,2,,r与

1,2,,r,r1,,n

等价的充分必要条件是向量组1,2,,r与

1,2,,r,r1,,n

秩相同.

证明：如果向量组1,2,,r与

1,2,,r,r1,,n

等价，等价的向量组秩相同，所以向量组1,2,,r与

1,2,,r,r1,,n

秩相同.

反之，如果向量组1,2,,r与

1,2,,r,r1,,n

,p秩相同，设两个向量组的秩都为p，不妨设关组，则

1,2,,p1,2,是1,2,,r的一个极大线性无

是

1,2,,r,r1,,n

中p个线性无关向量，又

1,2,,r,r1,,n

得秩也为p，所以

1,2,,r,r1,,n

中任意p1个向量都线性相关，所以

1,2,,p也是

1,2,,r,r1,,n

的一个极大线性无关组.所以向量组1,2,,r与向量组

1,2,,r,r1,,n

都与其极大线性无关组

1,2,,r1,2,,p等价，由等价的对称性和传递性知：向量组

与向量组

1,2,,r,r1,,n

等价.

1,2,,r线性无关，5.证明：（1）如果不能由1,2,,r线性表示，则1,2,,r,也线性无关；（2）向量组1,2,,n的秩为r，则1,2,,n中任何r个线性无关向量都是该向量组的一个极大线性无关组.

证明：（1）设

x11x22xrrx0

，如果上式中x0，则

x1x122xxxrrx

，与不能由1,2,,r线性表示矛盾，所以上式中x0.将x0代入，则有

x11x22xrr0

，由于1,2,,r线性无关，所以x1x2xr0，因此齐次线性方程组

x11x22xrrx0

只有零解，即1,2,,r,线性无关.

（2）任取1,2,,n中任何r个线性无关向量i1,i2,,ir，如果i1,i2,,ir不是

1,2,,n的极大线性无关组，则存在1,2,,n中向量k，使得k不能由i1,i2,,ir线

性表示，由（1）知i1,i2,,ir,k线性无关，与向量组1,2,,n的秩为r矛盾，所以

1,2,,n中任何r个线性无关向量i1,i2,,ir都是该向量组的一个极大线性无关组.

线性方程组解的结构部分习题答案

1．求下列齐次线性方程组的基础解系和通解.

（1）

x1x2x3x40,2x2x3x40,x2x32x40.1

；

解：

r1r3120010001111rr1111r312r3A02110211020001001022011101110011

r1r21r22r3r2x100x0x1002kk1x0x123xxx141（k为任意数）. ，通解为4所以3，基础解系为

(2)

x1x2x3x4x50x22x32x46x50x4x3x3xx023451

解：

r1r211111rr11111r101153133r2A0122601226012261433103222004420

1r34r1r4r22r4100000100400115

x100x024x31c15c2x10x1x24x540xx5x1x0345，其中c1,c2为任意常数. 5所以，所以通解为

000411,251001. 基础解系为

2. 解下列线性方程组，用导出组的基础解系表出线性方程组的通解.

（1）

x1x2x3x42,x3x41,x1xxxx1.2341；

解：

1011111122r1111112rr3r1A1011101201012011111100201100102

r1r21r32

1001r1r3r22r30100001033xx41220x2011x32，所以2，通解

32x11x02c01x302x410（其中c为任意常数.）

x1x22x32,x12x23x332x3x5x1.23（2）1.

解：

122r1r210172r111122rr32r1r3r2A123301150115235101150000

x117x1c5x1x372x10x2x353，其中c为任意常数. 所以，通解

3.设1,2,,t都是非齐次线性方程组AX的解向量，k1,k2,,kt是t个数，证明：（1）k11k22（2）k11k22k1k2kt0ktt是AX的解的充分必要条件是k1k2kt1；

ktt是AX的导出组AX0的解的充分必要条件是

证明：1,2,,t都是AX的解向量，所以Ai(i1,2,,t)，

Ak11k22kttk1A1k2A2ktAt

k1k2ktk1k2kt

（1）k11k22ktt是AX的解当且仅当

Ak11k22ktt

，而是非零向量，所以

Ak11k22ktt

k1k2kt当且仅当k1k2kt1；

（2）k11k22ktt是AX的解当且仅当

Ak11k22ktt0

，而是非零向量，所以

Ak11k22ktt

k1k2kt0当且仅当k1k2kt0.

4.设A是34矩阵，且R(A)3，已知1,2,3是非齐次线性方程组AX的解向量，且

122112,231211

，求AX的通解.

解：A是34矩阵，且R(A)3，所以导出组AX0的基础解系含1个向量，

由于

121211122313123110

是导出组AX0的一个非零解，所以13是AX0的一个基础解系.可以取AX的

112211111c11213222011AX22（其中c为任意常数.）. 一个特解为，所以的通解为：

*5. 设A为mn矩阵，B为ns矩阵，且ABO.证明：r(A)r(B)n.

Bb1,b2,,bs证明：设

，其中bi(i1,2,,s)都是B的列向量，

则由分块矩阵乘法有

ABAb1,b2,,bsAb1,Ab2,,Abs

，

又ABO，即

Ab1,Ab2,，所以

,Abs0,0,,0

Ab10,Ab20,,Abs0

即B的每个列向量bi(i1,2,,s)都是齐次线性方程组AX0的解向量，所以b1,b2,,bs可由AX0的基础解系线性表示，而AX0的基础解系含nr(A)个向量

所以向量组b1,b2,,bs的秩不超过nr(A)，即r(B)nr(A).

向量空间部分习题答案

1.证明：

V(x,y,z)TAxByCzD;A,B,C,DR

构成向量空间的充分必要条件是D0.

证明：显然V是非空集合，V构成向量空间的充分必要条件是任意

(x1,y1,z1)T,(x2,y2,z2)TV

，都有

(x1,y1,z1)T(x2,y2,z2)TV

TT(x,y,z)V,kRk(x,y,z)V. ，且任意都有

而

(x1,y1,z1)T(x2,y2,z2)T

(x1x2,y1y2,z1z2)T

TTk(x,y,z)(kx,ky,kz)，

(x1,y1,z1)T(x2,y2,z2)TV

Tk(x,y,z)V当且仅当，

Ax1x2By1y2Cz1z2D,AkxBkyCkzD

而

AxiByiCziD(i1,2),AxByCzD

所以V构成向量空间的充分必要条件是2DD,kDD，即有V构成向量空间的充分必要条件是D0.

2.求R的基

310,1,1,2(1,0,1)T,31,1,0TT

到

11,1,1TT1,0,0(1,1,0)2，，3的过渡矩阵.

T解：设所求过渡矩阵为T，则

1,2,31,2,3T

110212011111111T1,2,31,2,31011100211010021112 2第四章自测题与答案

一.判断题（每题3分，共15分）

1.向量组1,2,,s线性相关，则其中任何一个向量都可以由其余向量线性表示.（错）

x11x22xss0

有零解，所以1,2,,s线性无关. （错） 3.如果可以由1,2,,s线性表示，则可以由

1,2,,s,s1,,m(ms)

线性表示

4.方程组AX有解的时,解是唯一的充要条件是它的导出组AX0只有零解（. 对5.等价的向量组含向量个数相同错）

二.填空题（每题4分，共16分）

1111,2,3111

线性相关，则=1 或2；

. （对）

）（

1(1,0,1,2)T,2(2,0,1,1)T,3(2,1,0,1)T

，且12320，

11,,1,1；则22T3.

A1,2,,s,B1,2,,r

，1,2,,r可由1,2,,s线性表示，则RA与RB的关系为RARB； 4. 1,2是非齐次线性方程组AX的两个线性无关解，则k11k22也是AX的解的充分必要条件为k1k21.

T(1,2,7)三.（10分）设，

1(2,,5)T,2(,1,2)T,3(1,1,2)T

，

讨论（1）为何值时，不能由1,2,3线性表示？

（2）为何值时，能由1,2,3唯一的线性表示？

（3）为何值时，能由1,2,3线性表示，但表示方法不唯一？

解：设

x11x22x33x44

则

2A1,2,3,5122r111r2r32r1122154270110309

（1）

45时，

42544A215500110309

，方程组无解，所以不能由1,2,3线性表示；

4RARA35，且1时，,方程组有唯一解，所以能由1,2,3唯一

（2）

线性表示；

（3）当1时，

21110111A3003100190090000

,方程组有无穷多解，所以能由1,2,3线性表示，且表示方法不唯一.

四（10分）求向量组

12110,21,31450

1401的极大无关组和秩，并用极大无关组表示向量组中其余向量. ，

解：

1211r3r1211311,2,3,40110011045010345

r1r3r2r31r3(1)r12r21r33r20110060110010500150015

1,2,3为一个极大线性无关组；秩为3且4615253

五.（10分）求齐次线性方程组

x1x23x3x40,2xxx4x0,12343x12x22x33x40,x14x35x40.

的基础解系和通解.

解：

1131r22r11131r1r21r3r233r1rrrr4r204121140176A322301760104501760045176000000

x14x35x4x7x36x4所以2，

x14545x7762kk6η1,η2x3112010x0011（k1,k2为任意数）. ；通解4基础解系

六（10分）设mn矩阵A的秩R(A)r，1,2,,nr1是非齐次线性方程组AX的

nr1个线性无关的解向量，（1）证明

1nr1,2nr1,,nrnr1

线性无关；（2）求导出组AX0的基础解系，及AX的通解.

证明：设

x11nr1x22nr1xnrnrnr10

，

则

x11x22xnrnrx1x2xnrnr10

由于1,2,,nr1线性无关，有x1xnr0，

所以

1nr1,2nr1,,nrnr1

线性无关.

（2）由于

Ainr1AiAnr10(i1,2,,nr)

，

所以

1nr1,2nr1,,nrnr1

是AX0的nR(A)个线性无关解，所以

1nr1,2nr1,,nrnr1

为AX0的基础解系；

nr1k11knrnr

为AX的通解.

七.（10分）设向量可由向量组1,2,,s线性表示，证明：1,2,,s线性无关的充分必要条件是由1,2,,s线性表示的表示方法唯一.

证明：向量可由向量组1,2,,s线性表示，则存在数k1,k2,,ks，使得

k11k22kss

必要性：设还存在数a1,a2,,as使得

a11a22ass

，则

a1k11a2k22askss0

由于1,2,,s线性无关，所以

a1k1a2k2asks0

即aiki(i1,2,,s)，所以由1,2,,s线性表示的表示方法唯一.

充分性：设

x11x22xss0

，则

k1x11k2x22ksxss0

，由于由1,2,,s线性表示的表示方法唯一，所以

kixiki(i1,2,,s)

，所以xi0(i1,2,,s)，即有1,2,,s线性无关.

x1x1kx2x2x2x3x32x3111八. （10分）讨论k取何值时，线性方程组

kx1；

（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解，并求方程组的通解.

解：

1A1kk11121111r2r1r3kr1100k1k1k221010k1kr3(1k)r2100k1k021010k1k

（1）k2时方程组无解；（2）所以k1,k2时方程组有唯一解；

（3）k1时,

A10011100003213r1r3r310010001300213

x1x2x3，方程组有无穷多解，通解为

130231c10（c为任意数）

九．（9分）设Bmn的列向量组是齐次线性方程组Ax可逆矩阵P，BP的列向量组也是Ax0的基础解系.

0的基础解系，证明：任意n阶

证明：令CBP

B1,2,,n,C1,2,,n

，

则有

1,2,,n1,2,,nP

0的解向量，又P可逆，

,即1,2,,知

n可由1,2,,n线性表示，所以1,2,,n都是Ax1,2,,n1,2,,nP1

与1,,,，所以1,2,,n也由1,2,,n线性表示，向量组1,2,,n2n等价.

1,,2,n,n是齐次线性方程组Ax20的基础解系，所以

1,2,,n线性无关，而为Ax11,2,与1,,,n等价，两向量组秩相同，都为与n，所以1,2,,nn0的n个

,2线性无关解，而1,2,,也是齐次线性方程组Ax含向量的个数与Ax0基础解系含向量个数相同，所以

,,n0的基础解系，即BP的列向量组也是Ax0的基础解系.

第五章相似矩阵及二次型

向量内积、长度及正交性习题答案

1.设

(1,1,0)T,(0,1,1)T

,,求,的内积及夹角.

解：

1,2,1,(1,0,1)TT

，

,0，所以,夹角为2.

2. 设

(1,1,0)T,(,1,1)T,

（1）求使得,正交；（2）求一个单位向量，使,,两两正交. 解：（1）,正交，则,10，所以1

，使得,,两两正交，所以,0,,0

（2）设

(x1,x2,x3)T11cx1x202x1x2x30（其中c为任意常数） 即，解得

161162126. 取为的单位向量即可，所以

3.判断下列矩阵是否是正交矩阵

212333212A333221333；（1）

T解：因为AAE，所以是正交矩阵.

A（2）

13131311102.解：显然矩阵的2,3两列都不是单位向量，所以不是正交矩阵. 14.设

1(1,1,0)T,

2(1,0,1)T3(1,0,0)T是R的一组基,用施密特(Schimidt)正交化方

法将这组基化为标准正交基.

解：先正交化：

11110, 取

111(2,1)11221011(1,1)12022

1112111132231 211(,)(,)13331132201(1,1)(2,2)020,

单位化得：

T1111,,0122

11222,,2666

T11133,,3333

方阵的特征值与特征向量习题答案

100A0016116， 1.设

11111,2,233149

问1,2,3是否是A的特征向量？如果是，它们分别属于哪个特征值?

10110A1001111611611

，即1是A的属于特征值1的特征向量

10120A20012422611648

，即2是A的属于特征值2的特征向量；

10130A300139336116927

；即3是A的属于特征值3的特征向量.

2.求下列矩阵的特征值和特征向量

321111A222A111361111；（1）；（2）

解：

3EA23212(2)2(4)261

由EA0得特征值12,24

对于特征值12，解齐次线性方程组2EAX0，

1211212EA242000363000

2111,2001，，得基础解系

所以属于特征值2的特征向量为k11k22（k1,k2不全为零）对于特征值24，解齐次线性方程组4EAX0

110312124EA222013363000

1323，，得基础解系

所以属于特征值24的特征向量为k3（k为非零数）

220A821006；（3）

解：

2EA80201622206

由EA0得特征值6,2

11206EAX06,，对特征值解线性方程组，得基础解系所以属于特征值6的特征向量为k1（k为非零数）

12202EAX0，所以属于特征对特征值2，解线性方程组，得基础解系

值2的特征向量为k2（k为非零数）

110A012003. （4）

解：

1EA00102132103

，

由

EA0得特征值1，3

1100EAX0，所以属于特征值11对特征值，解线性方程组，得基础解系

的特征向量为k1（k为非零数）

12223EAX0，对特征值3，解线性方程组，得基础解系所以属于特征值3的特征向量为k2（k为非零数）

313. 设3阶方阵A有特征值1,1,2，求（1）AA2E的特征值；（2）A的特征值；

1（3）2AE的特征值.

33f(x)xx2f(A)AA2E，f(A)的特征值为f(1)0，f(1)4，解：（1）设，

f(2)12.

（2）A的特征值为

11,1,12

（3）设g(x)2x1，g(A)2A111g()2E，g(A)的特征值为g(1)1，g(1)3，2.

4. 已知3阶方阵A的特征值为4,2,1，求(1)（4）

A1A*A；（2）

A2AE；(3)A的特征值；

1(其中A为A的伴随矩阵).

*解：(1)A4218；

22f(x)xx1f(A)AAE，f(A)的特征值为f(4)21，f(2)3，（2）设，

f(1)1，所以

A2AE213163

；

11,,1142A（3）的特征值为；

（4）

A*AA18A1，所以

AA9A1*19A31119391428

325.设n阶矩阵A满足A3A2E0，证明A的特征值只能是1或2.

证明：设0是A任一个的特征值，是A的属于特征值0的特征向量，则A0,0.由于

A,

23A2E00

即有

A23A2023020

，所以2030200230200，又因为,故，即01或2.

相似矩阵与对角化习题答案

1.求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断是否可对角化，如可对角化，求可逆矩阵P，

1使得PAP是对角矩阵.

110A022003；（1）

解：

1EA00102123203

，

由EA0得特征值1，2，3.

1100EAX0，所以属于特征值11对特征值，解线性方程组，得基础解系

的特征向量为k1（k为非零数）

12102EAX0，2对特征值，解线性方程组，得基础解系所以属于特征值2的特征向量为k2（k为非零数）

13213EAX0，对特征值3，解线性方程组，得基础解系所以属于特征值3的特征向量为k3（k为非零数）

由于A有三个线性无关的特征向量1,2,3，所以A可对角化.

1111P012P1AP20013 取，则

111A111111；（2）

解：EA

111111111122

由EA0得特征值1，2

对

1 解方程组EAX0，得基础解系：

1111，所以属于特征值1的特征向

量为k1（k为非零数）

112130102EAX0，2解方程组得基础解系：，所以属于特征值2的特征向量为k11k22（k1,k2不全为零）

A有三个线性无关的特征向量1,2,3，所以A可对角化.

1111P110P1AP21012. 取，则

310A410482. （3）

解：EA

344118002122

由EA0得特征值1，2

31620对

1 解方程组EAX0，得基础解系：

，所以属于特征值1的特征

向量为k1（k为非零数）.

20012解方程组2EAX0得基础解系

，所以属于特征值2的特征向量

为k2（k为非零数）.

A只有两线性无关的特征向量，所以A不对角化.

2.已知4阶矩阵A,B相似，A的特征值为2,3,4,5，求(1)B的特征值；（2）BE.

解：(1)由于相似矩阵有相同的特征值，所以B的特征值为2,3,4,5

（2）

BE2131415124

124500A2x204042100y相似求x,y. 3.设矩阵与

解：由于A,相似，所以它们的行列式和迹相同，即

1245002x204000y4212x5(4)y

x4，解得y5

AOCOOBODC相似. 4.设A与相似，B与D相似，证明与

证明：因为A与C相似，B与D相似，所以存在可逆矩阵P1与P2,

使得

11PAPC,P112BP2D

PP1,所以P2可逆，且

P11AOPPOBAOP1P2OB1P2

1P1AOP1P21OBP2

1P1AP1OCO1ODP2BP2 O15..对下列矩阵A,求正交矩阵P，使得PAP为对角形矩阵.

2112； (1)解：

21EA1231

由EA0得特征值1，3.

1EAX01，对特征值1，解线性方程组，得基础解系

123EAX01，对特征值3，解线性方程组，得基础解系

1将1,2标准正交化，得A的两个线性正交的特征向量

11122,21122

P，取

121212111PAP32，则.

011101110； (2)解：EA

111111212

,由

由EA0得特征值2，1

对2 解方程组2EAX0，得基础解系：

1111，

1解方程组2EAX0得基础解系：

1210，

1301，

A有三个线性无关的特征向量1,2,3，所以A可对角化.

将2,3进行施密特正交化

12210，

3,2332,2212121

再将1,2,3单位化，得到A的一组标准正交特征向量

1111362111,,2332621036

取

1P3131312120161626

2P1AP11. 则

01111011A11011110. (3)

解:

111r1r4r2r4111r3r4EA1111110111201010011111

111(1)3100111(1)3(3)

EA0得特征值1，3.

对特征值1，解(EA)X0，得基础解系

1111001,2,3010001

把它正交化,得

11321111(,)(,)(,)31212211,221,3312302(1,)1(1,1)(2,2)110301

再单位化,得

11621116,3,2220600112112112312

1,2,3为属于1的正交单位向量.

114.1(3EA)X01 对特征值3，解,得基础解系

121421212.令把它单位化,得

P121200161626011211211231212121212

，

则

11P1AP13

TT(1,1,1),(1,2,1)1,2,326.设A是3阶实对称矩阵，且A的特征值为，1分别是属

于特征值1,2的特征向量.（1）求属于特征值3的特征向量；（2）求出矩阵A.

T(x,x,x)3123解：（1）设属于特征值的特征向量为，由于实对称矩阵的属于不同特T1,02,0(1,0,1)征值的特征向量彼此正交，有，，解得.

P111120P1AP1令1112，则

3，所以

AP12P13

111122211201132111231213036621052二次型及其标准形习题答案

1.用配方法化下列二次型为标准形，并判断是否正定.

（1）

f(x1,x2,x3)x212x2223x32x1x24x2x3

；

解：

51

f(x1,x2,x3)x122x1x2x22x224x2x34x32x32

x1x2x22x3x32y12y22y3222

y1x1x2y2x22x3yx33其中

（2）

f(x1,x2,x3,x4)x12x22x32x422x1x22x2x32x3x4

；

解：f(x1,x2,x3,x4)

22x122x1x2x22x322x3x2x4x2x4x2x4x42

x1x2x2x3x4x2x4x42222

y1x1x2yxxx2234y3x2x4y4x4令，则

f(x1,x2,x3,x4)y12y22y32y42

2. t取何值时,下列二次型正定.

（1）

22f(x1,x2,x3)x123x2tx32x1x22x2x3

；

解：

121222f(x1,x2,x3)x122x1x2x22x2xxx3tx323222

2x1x221122x2x3tx322 所以，当

t12时，该二次型的标准形中正惯性指数等于秩，此时，二次型正定.

（2）

22f(x1,x2,x3,x4)tx12tx2tx34x1x24x1x34x2x3

t22A2t222t 解：该二次型对应的矩阵为

A的顺序主子式为A1t，

A2t22tt24，

tA3222t2t4(t2)2t22

该二次型正定的充分必要条件是A的顺序主子式都大于零，所以t2

3.用正交替换化二次型

f(x,y,z)2x22y22z22xy2yz2zx

为标准形.

211A121112；解：A对应的矩阵为

解：EA

21112111232

由

EA0得特征值0，3

对0 解方程组AX0，得基础解系：

1111，

1211303解方程组3EAX0得基础解系：

0，

A有三个线性无关的特征向量1,2,3，所以A可对角化.

将2,3进行施密特正交化

12210，

123,213322,221

再将1,2,3单位化，得到A的一组标准正交特征向量

1，

1111362111,2,332621036

取

1P3131312120161626

则

0P1APPTAP33

xXyzx1Py1z1PY令正交变换为，

则

f(x,y,z)XTAXPYAPYYTPTAPY3y123z12T

第五章自测题与答案

第五章自测题答案

一.1.错；2.错；3.错；4.对；5.错.

1λ1,,12二.1. 2,0；2.；20；3.13 4.

1113,,333 T；

110132023. （5）三.1.

A2；2.

2A2AE0；3.

4A132.

四. A与B相似，trAtrB, 即

3a(6)b(3)2

，即a3b1；

3,2都是B的特征值，也是f()EA0的根，所以f(3)0,f(2)0，

a2f(2)102a0，解得b0 .

五.证明：设是A的特征值，是A的属于特征值的特征向量，则0，且A，

22210EAA由AE，,所以， 0，则1.

2101P02102六. 01212,

1P1APPTAP11

nTTxR,x0xAx0,xBx0 A,B七.任取，由于都正定，

所以

xTABxxTAxxTBx0

，AB正定.

八.

f(x,y,z)x12y12(1t2)z2

，1t1时，二次型正定.

九.设属于特征值1的特征向量为，则1,0，得属于1的两个线性无关的特征向量

2(1,1,0)T,3(1,0,1)T,取P1,2,3,

2P1AP1则

1.所以 10AP1P1110111.

110

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线性代数练习册-答案