二次函数与一元二次方程和不等式

怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习

设计：吴兵 审校：蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________

一、知识点

1.二次函数与一元二次方程之间的关系是通过 与 的交点来体现的:若抛物线yax2bxc(a0）与x轴的交点为(m,0)、(n,0),则对应的一元二次方程

初 三 数 学（5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1)）

ax2bxc0的两根为 .

一元二次方程根的情况对应决定着抛物线与x轴的交点个数. （1）抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点,

方程axbxc0 b24ac 0；

（2）抛物线yax2bxc(a0)与x轴只有一个交点，

2方程axbxc0 b4ac 0；

22（3）抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点,

2方程axbxc0 b4ac 0. 22.抛物线与直线的交点:

①二次函数图象与x轴及平行于x轴的直线； ②二次函数图象与y轴及平行于y轴的直线；

③二次函数图象与其它直线(不平行于坐标轴,即一次函数图象). 3.根据示意图求一元二次不等式的解集. 二、典型例题

不画图象，你能判断函数 y  x  x  6 的图象与x轴是否有公共点吗？请说明理由。

三、适应练习

21、方程 x  4 x  5  0 的根是 ；则函数 y  x  4 x  5 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ．

2x 2、方程  x 2  10 x  25  0 的根是 ；则函数 y   x  10 25 的图象与x轴的

交点有 个，其坐标是 ．

3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ） (A)yx22(C)yx26x9(D)yx2x2(B)yx2x

22 1

4、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.

5、已知抛物线的解析式为y=x2-(2m-1)x+m2-m ①求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点.

②若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值.

6、打高尔夫时 ，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）之间具有关系：y=-5x2+20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？想一想：球的飞行高度能否达到40m？

7、已知抛物线y1axbxc（a≠0,a≠c）过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。

（1）使用a、c表示b;

（2）判断点B所在象限，并说明理由；

（3）若直线y22xm经过点B，且与该抛物线交于另一点C(的取值范围。

2c,b8),求当x≥1时y1a

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初 三 数 学（5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1)）

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一、基础练习

1.判断下列函数图象与x轴的位置关系:

⑴y2xx2 (2)yx6x9 (3)yx22x2

2.下列函数图象与x轴有两个交点的是（ ）

A．y=7(x8)22 B．y=7(x8)22 C．y= 7(x8)22 D．y= 7(x8)22 3.（1）抛物线yx24x3与直线x3有 个交点； （2）抛物线y3x2x1与直线y2有 个交点； （3）抛物线y3x2x1与直线yk有1个交点，则k_____. 4. 已知抛物线yx22x3的部分图象如图所示， （1）若y0，则x的取值范围是 ； （2）若y3时, 则x的取值范围是 ； （3）不等式x2x30的解集是 . 5. 如图, 已知二次函数y1ax2bxc（a≠0，a，b，c为常数）与 一次函数y2kxm(k、m为常数,k0)的图像相交于点A(-2,4)、 B(8,2),能使y1>y2成立的x取值范围 .

6. 已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴，B在x轴的负半轴，

（1）若OA=3OB，求m的值。 （2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。

22-1 0 -3 1

3

7. 二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b有一个公共点（即相切），求出b的值.

二、拓展训练

8.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，-4）与x轴两交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x12+x22=10，求抛物线的解析式。

9.已知是x1、x2方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设∠PAB=α，∠PBA=β，问α、β能否相等？并说明理由.

10.已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.

(1)求证:不论m为何实数,抛物线与x轴都有两个不同的交点,且这两个交点都在x轴的正半轴上.

(2)设抛物线与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），求点A、B、C的坐标（用m的代数式表示）。

(3)若△ABC的面积为48平方单位，求m的值。

A O B X Y P 4

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一、知识点

根据函数图像提供的信息,借助计算器较精确的估算方程的近似根,感受和体验无限逼近的数学思想和方法. 二、典型例题

引例. 关于x的二次三项式x2pxq的值的情况,可列表如下:

初 三 数 学（5.3二次函数与一元二次方程和不等式(2)）

x x2pxq 20 0.5 1 1.1 1.2 1.3 15 8.75 2 0.59 0.84 2.29 则方程xpxq0的正数解满足 A．解的整数部分是0,十分位是5 B．解的整数部分是0,十分位是8 C．解的整数部分是1,十分位是2 D．解的整数部分是1,十分位是1 例1.你能根据右图中函数yx2x5的图象与x轴的位置关系，说出方程

2x22x50的根吗？

解：由图象知，抛物线与x轴有两个公共点， 它们分别位于x轴上表示1与2、-4与-3的 点之间，所以一元二次方程x2x50

有两个根，它们分别介于1与2、-4与-3之间. 这两个根分别是1.5和-3.5吗？ 通过观察并借助计算器计算，

我们可以进一步探索出介于1与2之间的方程的根的近似值. ∵当x=1时，y121520， 当x=2时，y2222530, 当x=1.5时，y1.5221.550.250,

∴使y0的x的值一定在1与1.5之间，即1x1.5； ∵当x=1.25时，y1.2521.2550.93750， ∴使y0的x的值一定在1.25与1.5之间，即1.25x1.5；

2又当x1.3751.40时，y1.4021.4050.240， 2当x1.45时，y1.4521.4550.00250，

222∴使y0的x的值一定在1.40与1.45之间,即1.40x1.45.

∴使y0的x的近似值(精确到0.1)为1.4，即方程x2x50介于1与2之间的根x1

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2

的近似值为1.4（精确到0.1）.

你能用同样的方法确定方程的另一个根x2的近似值（精确到0.1）吗？ 试试看.

三、适应练习

1.利用二次函数的图像求下列方程的近似根(精确到0.1) (1)x5x30 (2)

212xx10 2

2. 抛物线y=-x2+7x-10与轴的两个交点坐标是 ，这两个交点之间距离是 。 3. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0,a,b,c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：

x y -1 -2 -0.5 -0.25 0 1 0.5 1.75 1 2 1.5 1.75 2 1 2.5 -0.25 3 -2 (1) 判断二次函数图象的开口方向,并写出它的顶点坐标;

(2)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c是常数）两根x1,x2(x1＜x2)的取值范围是 .。

y2mx1相交于点P(3，4m)。 4. 已知抛物线 y12x28xk8和直线 （1）求这两个函数的关系式；

（2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。

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