数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案

一、选择题.

1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A. 3 2B. 

12C.

12D. 3 22. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．

31 C. 88ππ3. 函数y =sinxsinx 的周期为( )．

44A. B.

34D.

14A.

π 4B.

π 2C. π D. 2π

4. 函数y = 2sin x(sin x + cos x)的最大值是( )． A.12

ααcot22B.21 C.2 D. 2

5. 化简1cos2α，其结果是( )．

tanA.1sin 2α B.1sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α

226. 若sin(α + β)=1，sin(α - β)=1，则tanα为( )．

23tanβA. 5

π4 B. - 1

 C. 6

D.1

62

7. 设tan θ和tanθ是方程x + px + q = 0的两个根，则p，q之间的关系是( )．

A. p + q + 1 = 0 C. p + q - 1 = 0

B. p - q + 1 = 0 D. p - q - 1 = 0

8. 若不等式4≤3sin2 x - cos2 x + 4cos x + a2≤20对一切实数 x都成立，则a的取值范围是( )．

A. -5≤a≤-3，或3≤a≤5 C. -3≤a≤3

2B. -4≤a≤4

D. -4≤a≤-3，或3≤a≤4

3π1sinα1sinα等于( )． 9. 若α∈，则π, 1sinα1sinαA.tan 二、填空题.

α2B. sin

α2C. cot

α2D. cos

α21. 3tan15= ___________．

13tan15精炼检测1

2. y = 3sin(x + 20°) + 5sin(x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________． 3. 若tan(α + β)= 7，tan α tan β =，则4. 若θ为第二象限角，且sin1223 cos(α - β)= ___________．

θ23π11sinθ= __________． ＞，则θθ22cossin2215185. 若α，β，γ都是锐角，tan α=，tan β=，tan γ=，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n∈Z，且A，B，C 均不为 0，则 tantan= __________．

三、解答题．

1. 已知α，β为锐角，cos α =，tan(α - β)= -，求cos β的值．

2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-，cos α + cos β =sin(α - β)的值．

ππ3. 已知tan A与tanA是x2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tanA，求p和q的值．

4412A2BBCCAtantantantan 2222245137，求cos(α + β)， 2

4. 证明：cos8 α - sin8 α - cos 2α = -sin 4α sin 2α．

精炼检测2

14 精炼检测3

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参考答案 一、选择题．

1. B【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos(83° + 37°)= cos 120°= -． 2. C【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° =sin 150°sin 30°=．

ππ3. C【解析】y =sinxsinx442222sinxcosx sinxcosx 2222121218=sin2 x-cos2 x= -cos 2x. ∴ T =

1212122ππ． 24. A 【解析】y = 2sin x(sin x + cos x)

= 2sin2 x + 2sin xcos x = 1 - cos 2x + sin 2x

π= 1 +2sin2x．

4∴ ymax = 1 +2．

1cos2α2cos2αcos2αsinα15. A【解析】【解析】sin αcos β + cos sin2α6. A

ααααcosα2tancotsincos2222ααcossin22αsin β =，

sin αcos β - cos αsin β =． ∴ 2sin αcos β =， 2cos αsin β =．∴ 7. B

πtantanp4【解析】

πtantanq416tan= 5． tan121356----完整版学习资料分享----

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π1tanθ． tanθ41tanθ21tanθ1tanθtanθ∴ p，

1tanθ1tanθtanθtan2θ．∴ q - p = 1， q1tanθ∴ p - q + 1 = 0．

8. D【解析】设 f(x) = 3sin2x - cos2x + 4cosx + a2， 4≤3 - 4cos2 x + 4cos x + a2≤20， 4≤- 4cos2 x + 4cos x + a2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =时，

f(x)max =44+ a2 + 3≤20-4≤a≤4；

当 cos x = - 1时，

f(x)min = - 4 - 4 + a2 + 3≥4a≥3，或a≤-3.

∴ -4≤a≤-3，或3≤a≤4． 9. C

【解析】1sinα1sinα

1sinα1sinααcos22αsin2cos22sin2αααα2sincossin2cos22222αααα2sincossin2cos22222ααα2sincos222ααα2sincos222121412

ααααcossincos2222．

ααααsincossincos2222sin ∵ α∈π，3παπ3π， ． ，∴ ∈2242ααααcossincos2222cotα． ∴ 原式 =αααα2sincossincos2222sin

二、填空题． 1. 1．

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【解析】3tan15tan60tan15= tan(60º- 15º)= tan 45º= 1． 1tan60tan1513tan152. 7；-7． 【解析】y = 3sin(x + 20°)+ 5sin(x + 80°) = 3sin(x + 50° - 30°)+ 5sin(x + 50° + 30°) = 3sin(x + 50°)cos 30° - 3cos(x + 50°)sin 30° + 5sin(x + 50°) cos 30° + 5cos(x + 50°)sin 30° = 43sin(x + 50°)+ cos(x + 50°) = 7sin(x + 50° + )（ 为常数）． ∴ ymax = 7，ymin = - 7． 3. 2． 2【解析】∵ tan(α + β)= 7， ∴ 根据同角三角函数关系，得 cos(α + β)=∴ cos αcos β- sin αsin β =∵ tan αtan β =， ∴ 3sin αsin β = 2cos αcos β．. cosαcosβ=∴sinαsin=252152． 152． 23352或cosαcosβ=-352sinαsin=-252 ∴ cos(α - β)=3522522322，或cos(α - β)= . 2252524. 1．【解析】∵ 2kπ+＜θ＜2kπ+π， ππθθ2242θ1θ1θ3π∵ sin = - cos＞，∴ cos＜-． 222222π2∴ kπ+＜＜kπ+．∴在第一、三象限． ∴ 5πθ3π在第三象限，且2 kπ+＜θ＜2kπ+，k∈Z. 224θ2θ2∴ cos＞sin．所以 ----完整版学习资料分享---- 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

θθθθcossincos1sinθ2222 == 1．

θθθθθθcossincossincossin222222sin5. 45º．

7tanαtanβ107【解析】tan(α + β)=，且α，β为锐角，

91tanαtanβ910∴α + β为锐角，又γ为锐角，

71tan(αβ)tanγ98= 1． 且tan(α + β + γ)=

711tan(αβ)tanγ1 98∴ α + β + γ = 45º． 6. 1．

【解析】原式 = tan

= tan

ACBCAtantan+ tantan

22222ACBtan222ACCA1-tantan+ tantan

2222= tan

ACBBCAcot1-tantan+ tantan 222222= 1．

三、解答题．

1. 【解】∵ cos α =4，

5∴ sin α =3．

5∵ α，β 为锐角， ∴ -ππ＜α - β＜． 223∵ tan(α - β)=1，

∴ cos(α - β)=310，sin(α - β)=10

1010cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos(α - β)+ sin αsin(α - β)=910．

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2. 【解】

1sinsin ①2coscos7 ②2

① + ②，得 sin2 α - 2sin α sin β + sin2 β + cos2 α + 2cos α cos β + cos2 β = 2. ∴ cos(α + β)= 0． 又 α，β 均为锐角， ∴ α + β =

π， 21222

∴ sin α – sin β = sin α- cos α= -． sin2α + cos2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =

1． 4又sin2α + cos2α = 1，且sin α＜cos α，α，β 均为锐角， ∴ sin α =

71． 4π27． 42

∴ sin(α - β)= sinαα= - cos 2α = 2 sinα -1 = 1tanA3. 【解】∵ tan， A=

1tanAπ4∴ 3tan A =22tanA，

1tanA∴ tan A =1，或 tan A = - 2．

3当tan A =1时，tanA =，

3π412115p = - = -，

236q =1×1=1．

236当tan A = - 2时，tanA = -3，

π4p = -(-2 - 3) = 5， q = (-2)×(-3) = 6．

4. 【证明】cos8 α - sin8 α - cos 2α

= (cos4 α + sin4 α)(cos2 α + sin2 α)(cos2 α - sin2 α)- cos 2α = (cos4 α + sin4 α)cos 2α - cos 2α =(cos4 α + sin4 α - 1)cos 2α

= [cos4 α +(sin2 α - 1)(sin2 α + 1)] cos 2α

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= [cos4 α - cos2 α(sin2 α + 1)]cos 2α = - 2cos2 αsin2 αcos 2α = -sin 4αsin 2α．

14

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