试题
一、单选题 1．A． 【答案】B
【解析】运用诱导公式,结合特殊角的三角函数求解即可。 【详解】
，故本题选B。
【点睛】
本题考查了诱导公式，特殊角的三角函数，属于基础题. 2．若向量A． 【答案】C
【解析】利用向量共线的充要条件，可直接求解。 【详解】
因为向量与共线，所以有【点睛】
本题考查了共线向量的坐标表示，意在考查学生的计算能力，较为基础。 3．函数
是（ ）
B．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
，故本题选C。
，
B．
，向量与共线，则实数的值为（ ）
C．-3
D．3
（ ）
B．
C．
D．
A．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 【答案】A 【解析】运用公式的定义进行判断即可。 【详解】
，
数，因此本题选A。
，直接求出周期，判断之间的关系，结合函数奇偶性
，所以函数最小正周期为，是偶函
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【点睛】
本题考查了余弦型函数的最小正周期以及奇偶性，利用函数奇偶性的定义进行判断是解题的关键。 4．已知正六边形A． 【答案】B
【解析】利用向量加法的几何意义及共线向量的概念进行化简。 【详解】
【点睛】
本题考查了向量加法的几何意义及共线向量的概念，意在考查学生的计算、推理能力。5．已知函数A． 【答案】C 【解析】把点【详解】 因为函数
的图象关于点
，令
【点睛】
本题考查了正弦型函数的对称性，解题的关键是利用整体代入，考查学生分析、解决问题的能力。 6．已知向量A．
，B．
，则与
垂直的向量是（ ） C．
D．
对称，所以有
，故本题选C。
代入解析式，求出的表达式，结合选项，选出答案。
的图象关于点B．
对称，则可以是（ ） C．
D．
，故本题选B。
中，B．
（ ） C．
D．
【答案】A 【解析】计算出为零，就符合题意。 【详解】
=
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的坐标表示，然后分别与四个选项中的向量作数量积运算，结果
选项A：选项B:选项C: 选项D:A。 【点睛】
=，（）∙（）∙（）∙（）∙（
）=0，故选项A符合题意； ）））
，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意，因此本题选
=（1，-3），（=（3，1），（=（1，3），（
本题考查了向量垂直的判断，旨在考查学生的运算能力. 7．已知点
的
终边落在（ ） A．第一象限 【答案】C
【解析】根据点的位置，得到不等式组，进行判断角的终边落在的位置。 【详解】 点【点睛】
本题考查了通过角的正弦值和正切值的正负性，判断角的终边位置，利用三角函数的定义是解题的关键。 8．将函数
的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图像在第二象限
在第三象限，故本题选C。
在第二象限，角顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，则角
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
向右平移个单位长度，所得图像的函数解析式是（ ） A．C．【答案】D
【解析】按照伸缩变换、平移变换的规律求出解析式。 【详解】 函数
的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到 ，把图像向右平移个单位长度得到
【点睛】
本题考查了正弦函数的伸缩变换、平移变换。解题的关键是用函数解析式的改变，体现图象的变换特征。
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，故本题选D。
B．D．
9．已知A． 【答案】B
，则B．
的值为（ ）
C．
D．
【解析】用二角和的正弦公式把已知等式化简，然后平方，可求出【详解】
，
两边同时平方得：【点睛】 本题考查了10．已知函数析式可以是（ ）
之间的关系,重点考查了公式之间的联系.
，所以
的值。
，故本题选B。
，且此函数的图像如图所示，则此函数的解
A．C．【答案】A
B．D．
【解析】通过二个相邻零点，可以求出周期，利用最小正周期公式，可以求出的值，把其中一个零点代入解析式中，求出的值。 【详解】 由图象可知；
,又因为
，而
【点睛】
本题考查了通过图象求函数解析式,考查了数学结合，考查了学生分析、解决问题的能力。
11．已知平面向量，满足影为（ ）
第 4 页 共 12 页 ，
，
则向量在向量方向上的投
，函数图象通过点，所以
，所以
，故本题选A。
A．2 【答案】D 【解析】通过投影的大小。 【详解】
B． C． D．
，可以求出的值，也就可以求出向量在向量方向上的
向量在向量方向上的投影为【点睛】
本题考查了数量积的几何意义，旨在考查对公式的理解. 12．已知A．2 【答案】C
【解析】用二倍角的余弦公式，化简等式，得到【详解】
当
时，
，
；
或
或
B．3
，则
（ ） C．2或-1
，故本题选D。
，
D．3或1
，然后分类求值。
，
当时，，故本题选C。
【点睛】
本题考查了二倍角的余弦公式及两角和的正切公式，本题易错的是，把方程两边同时除以
，造成少解现象.
二、填空题 13．计算【答案】.
【解析】先用诱导公式，化简，再逆用两角差的正弦公式求解。 【详解】
第 5 页 共 12 页 的值等于__________.
【点睛】
本题考查了诱导公式及逆用两角差的正弦公式,考查了学生分析、解决问题的能力。 14．已知与均为单位向量，它们的夹角为120°，那么【答案】
.
__________.
【解析】先将所求向量的模平方，然后求算术平方根。 【详解】
【点睛】
本题考查了求向量模的方法。遇到本题的关型就是遇模则平方，然后开算术平方。 15．已知【答案】2.
【解析】利用二角和的正切公式，可以直接求解。 【详解】
=
【点睛】
本题考查了二角和的正切公式，以及整体代换思想,掌握公式的特征是解题的关键.考查了学生分析、解决问题的能力. 16．给出下列四个语句： ①函数
在区间
上为增函数
=2.
，则
的值是__________.
②正弦函数在第一象限为增函数. ③函数④若
【答案】①③. 【解析】语句①：求出
的取值范围，然后进行判断；
的图象关于点
，则
对称
，其中
.
以上四个语句中正确的有__________（填写正确语句前面的序号）.
语句②：举特例加以判断；
语句③：结合正切函数的图象进行判断；
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语句④：由两个角的正弦值相等，得出式子，进行判断。 【详解】 语句①：语句②；
，显然正确；
，显然正弦函数在第一象限为增函数，是错误的。正弦函数是以
为最小正周期的函数，故这种说法是不正确的。 语句③：结合正切函数的图象，可以判断语句③说法正确； 语句④：
或
语句④说法不正确。综上：四个语句中正确的有①③。 【点睛】
本题考查了正弦函数、正切函数的图象和性质,结合三角函数的图像和性质进行判断是解题的关键。
三、解答题 17．如图，
中，，分别是
、
.
，
的中点，为
，交点，若
，
，因此
，试以，为基底表示
【答案】见解析.
【解析】根据向量的加减法的几何意义、重心的性质、用，为基底表示【详解】
是【点睛】
本题考查了平面向量的加减法的几何意义和平面向量基本定理。重点考查了重心性质。18．已知
. 的重心，
、
。
（1）求（2）求
的值；
的值
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【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）利用诱导公式对式子进行化简，根据同角的三角函数的关系，进行弦化切；（2）把所求的式子写成分母为1的形式，然后用三角函数关系，进行弦化切。 【详解】
代换，再根据同角的
（1）
（2）【点睛】
本题考查了同角的三角函数的关系。本题是关于的转化方法。
19．已知、、是同一平面内的三个向量，其中（1）若（2）若【答案】（1）（2）
.
，且
，且，且
，求的坐标； 与，或
垂直，求与的夹角.
；
的双齐次式子，一般是弦化切
.
【解析】（1）设出的坐标，根据可；
，列出二个方程，解这个方程组，即
（2）根据两个向量垂直，它们的数量积为零，列出等式。最后求出与的夹角。 【详解】 （1）设∵∴∴（2）∵
，∴或，或
，∴
，∵
，
，∴
，∴
，
，∴
，
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，∴
∵∴
，
，代入上式， ∴
∵∵
，∴
，∴
【点睛】
本题考查了向量共线、垂直、数量积的运算，记准公式正确计算是解题的关键. 20．已知函数
（1）求实数的值；
（2）在答题卡上列表并作出【答案】（1）
在
的最大值为2. 上的简图
；（2）见解析.
【解析】（1）运用二角和的正弦公式及辅助角公式对函数解析式进行化简，根据函数的最大值求出的值； （2）在【详解】 （1）
因为最大值为（2）列表如下：
，∴
.
，
中求出让
等于
时，的值，在给定的坐标系内，画出图象。
画图如下：
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【点睛】
本题考查了已知函数最小值，求参数的问题。重点考查了给定区间画出正弦型函数的图象。 21．已知向量（1）求·及（2）若
【答案】（1）见解析； （2）
.
；
，求
的最小值 ，
，且
【解析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出·； 运用平面向量的坐标运算公式求出（2）根据上（1）求出函数【详解】 （1）
∵（2）∵【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式。重点是二次函数求最小值问题。 22．已知函数
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的最小正周期为.
∴∴
∴
∴
，然后求出模。
的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值。
（1）求的值及（2）若关于方程【答案】（1）（2）
.
的单调递增区间；
，在区间
，
上有两个实数解，试求的取值范围。
；
的单调递增区间为
【解析】（1）运用二倍角的降幂公式，诱导公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式对函数的解析式进行化简，根据最小正周期公式求出的值，根据正弦函数的单调性写出增区间。 （2）求出【详解】 （1）
因为函数所以所以函数由所以
的最小正周期为，且，解得
.
的单调递增区间为
，得
的单调递增区间为
.
，
，
内有两解，
.
.
.
，
在区间
上的取值范围，利用数形结合，求出的取值范围。
（2）由（1）得方程化为因为所以
由正弦函数图像可知因此
，解得
∴的取值范围为【点睛】
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本题考查了正弦型函数的单调性、值域。解决本题的关键是正确进行三角恒等变换及数形结合的运用。
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