河南省郑州外国语学校2021届高三上学期数学理科周测

河南省郑州外国语学校2021届高三上学期数学理科周测

一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

x121.已知全集为R,集合Ax1,Bx|x6x80,则ACRB（ ）

2A.x|x0 B.x|2x4 C. x|0x2或x4 D.x|0x2或x4 2.i是虚数单位，复数zA.

aia0，若z1，则a（ ） 12i

C.2

D.3

1 2 B.1

3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 4．已知圆C的方程为(x1)(y1)2，点P在直线y22x3上，线段AB为圆C的直径，则

PAPB的最小值为（ ） A．2 B．

57 C．3 D． 225.直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A.

1214341 B. 2 C. 30 D. 2 1052106.设a342，则a,b,c的大小关系是（ ）

,b,c433A. cab B.cba C. acb D. bca

7.我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距

080的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长

度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即lhtan．已知天顶距1时，晷影长l0.14．现测得午中晷影长度l0.42，则天顶距为（ ）

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（参考数据：tan10.0175，tan20.0349，tan30.0524，tan22.80.4204）

A.2

B.3

C．11

D．22.8

xy608.已知实数x、y满足xy0，若zaxy的最大值为3a9，最小值为3a3，则实数a的取

x3值范围为（ ）

A．(,2] B．(,4] C．[1,1] D．[1,)

9.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论错误的是（ ）

A．PAPBPC B．PBCPACPAB C. PABC11 D．PAPBPC 88PF1的垂直平10.已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1PF2，线段

分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则A．6

B．3

C．6

2e2的最小值为（ ） e12D．3 11.已知定义在R上的函数yfx13是奇函数，当x1,时，fxx式fx3lnx10的解集为（ ）

A．1,

B．1,0e, C．0,113，则不等x1e, D．1,01,

12.已知数列an满足an1A．当0an1nN112annN*，则（ ） an1ann1*时，则aan B．当an1nN*时，则an1an

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111a2n4a3n20 a2C．当a1时，则n1 D．当1时，则n1an1an12

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

1213.x2x的展开式中的常数项是__________.

x14.如图，在△ABC中，BAC＝63，AD＝2DB，P为CD上

一点，且

满足AP＝mAC＋1AB，若AC3,AB=4则APCD的值为_________. 23，若AB，AC与所

15.已知ABC的顶点A∈平面，点B，C在平面异侧，且AB2，AC成的角分别为16

，，则线段BC长度的取值范围为___________． 363x, 0x1，若存在实数x1,x2,x3满足0x1x2x33，且

2sinx,1x364x1的最大值为 ．

已知f(x)f(x1)f(x2)f(x3)，x2x3三、 解答题（大题请写出必要的答题过程，演算步骤和文字说明。） 17.（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知

c4bsinBcosC4asinB，且A为钝角. （1）求角B的大小；

（2）若b

18．（12分）药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的某药品的镇痛效果进行检测．若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定镇痛效果不明显．

62，csin3AB85，求的值

cos3C524（1）若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为，药监部

35第3页（共14页）

门要利用2只雌性和2只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检测．若在检测过程中，1只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，则记录积分为-1．用随机变量X表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量X的分布列和数学期望EX；

（2）若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为p，现对6只雌性小白鼠逐一进行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为

fp，求fp最大时p的值．

19．（12分）如图1，在ABC中，AB3，D为AC的中点， 4将△ABD沿BD折起，得到如图2所示的三棱锥PBCD，二面角PBDC为直二面角. (1)求证：BC平面PBD；

(2)设E E为PC的中点，CF3FB，求二面角CDEF的余弦值.

2BC22,ABC

图

x2y220.（12分）已知椭圆C:221(ab0)的两个焦点为F1，F2，焦距为22，直线l:yx1与椭

ab31圆C相交于A，B两点，P(,)为弦AB的中点． (1)求椭圆的标准方程；

44(2)若直线l:ykxm与椭圆C相交于不同的两点M，N，Q(0,m)，若OMON3OQ(O为坐标系原点)，求m的取值范围．

ex21.（12分）已知函数f(x)a(lnxx)，aR．

x（1）当a0时，讨论函数f(x)的单调性；

1x（2）当a1时，函数g(x)f(x)(x)emx满足：对任意x(0,)，都有g(x)1恒成

x立，求实数m的取值范围．

22．已知直线l过定点P1,1，且倾斜角为线C的极坐标方程为2cos3．

2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲4（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程：

第4页（共14页）

（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A、B，求AB及PAPB的值． 23．已知函数f(x)|x4||1x|，xR. （1）解不等式：f(x)5；

（2）记f(x)的最小值为M，若实数a,b满足a2b2M，试证明：

112 a22b213

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理数周练8答案

CCBBC ABCCC DC -25

13 991 7,13 121623x, 0x116已知f(x)，若存在实数x1,x2,x3满足0x1x2x33，且

2sinx,1x3f(x1)f(x2)f(x3)，x2x364x1的最大值为 ．

y316．解：f(x)的大致图像如图所示， 由图像知，x2[2,]，

且x2x35，3x12sinx2，

73Ox112x275x3332x22sinx25x2x22sinx2， 4432722x[2,]，则g(x)52x令g(x)5xx2，sinxcosx，

32272因为g(x)2sinx在[2,]上单调递增，

327768所以g(x)g()0，所以g(x)在[2,]上单调递减，

3349997又因为g()0，所以g(x)在在[2,]上单调递增，在[,]上单调递减，

44439991所以g(x)maxg()．

4162所以x2x36x1x2(5x2)6

17.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c4bsinBcosC4asinB，且A为钝角.

（1）求角B的大小； （2）若b解：（1）

62，csin3AB85，求的值

cos3C5c4bsinBcosC4asinB，由正弦定理可得，

sinC4sin2BcosC4sinAsinB4sinBCsinB4sin2BcosC4sinBcosBsinC即

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sinC4sinBcosBsinC2sin2BsinC，

在ABC中，由于角A为钝角，则B、C均为锐角，可得sinC0，sin2B1， 20B2，可得02B，∴2B6或2B55，因此，B或； 61212 ...............6分 （2）

b62，c85，则bc，BC，则0B，B，

4125sinBsin62，.......8分 sinsincoscossin1234344348562bccsinB25， 由正弦定理可得，所以，54sinCsinBsinCb562C为锐角，则cosC1sin2BsinC52，...........10分 ，tanCcosC54222tanC4tan3Ctan2CtanC3，则tan2C， 241tan2CtanC111tanC31231182sin3Csin3Csin3Csin3Csin3AB3331212cos3Ccos3Ccos3Ccos3Ccos3Csin3C1sin3C3cos3C13131132. 322tan3Ccos3Ccos3C2211222

.............................................12分

18.药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的某药品的镇痛效果进行检测．若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定镇痛效果不明显．

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（1）若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为

24，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为，药监部35门要利用2只雌性和2只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检测．若在检测过程中，1只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，则记录积分为-1．用随机变量X表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量X的分布列和数学期望EX；

（2）若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为p，现对6只雌性小白鼠逐一进行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为

fp，求fp最大时p的值．

解：（1）由题意，随机变量X的可能取值为4,2,0,2,4，

124其中PX411，

352254422412211， PX21C21C112355335225224424245211， PX0C21C111222533553535222222224422496211， PX2C21C123553352256424． PX435225所以随机变量X的分布列为：

2222X -4 -2 0 2 4 P 1 22512 22552 22596 22564 225所以EX4112529664282024． 22522522522522515 . ............一个概率1分，期望1分 （2）由题意知fpp1pp1ppp45460p1，....8分

第8页（共14页）

fp4p36p52p323p2，令fp0，即2p323p20，解得p6，

3当0p66时，fp0，fp单调递增；当p1时，fp0，fp单调递减， 336时，fp最大． . ............12分 3所以当p3，D为AC的中点，将△ABD沿BD折4起，得到如图2所示的三棱锥PBCD，二面角PBDC为直二面角.

19.如图1，在ABC中，AB2BC22,ABC(1)求证：BC平面PBD

；

(2)设E E为PC的中点，CF3FB，求二面角CDEF的余弦值.

图2

解：(1)在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC20，∴ AC25，

∵ D为AC中点，∴CD5，----------------(2分)

22211BA2BABCBC1，∴ BD1， 又∵ BD(BABC)，∴ BD24∴ BD2BC2CD2,BCBD.---------------------------------(4分) ∵ 二面角PBDC为直二面角，

∴平面BCD平面PBD，又∵ 平面BCD平面PBDBD，BC平面BCD，

∴ BC⊥平面PBD. ---------------------------------------------------------------(6分) (2)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，

过点B且垂直于平面BCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标---------(7分)

可求得B(0,0,0),C(2,0,0)，D(0,1,0),P(0,2,2)，因为E为PC的中点，

系.

CF3FB，所以E(1,1,1)，F1,0,0， 2第9页（共14页）

1CD(2,1,0),DE(1,0,1),DF∴ ,1,0----------(8分)

2设平面CDE的法向量为mx1,y1,z1，平面FDE的法向量为nx2,y2,z2，则

CDm0,2x1y10得，∴ 取m(1,2,1)， xz0DEm0,11DFn0,x22y201得，∴ 取n1,,1，-------------(10分) xz02DEn0,22 设二面角CDEF为，∴ 二面角的余弦值为

21．(本小题满分12分)

coscosm,n369463，

6.---(12分) 3x2y2已知椭圆C:221(ab0)的两个焦点为F1，F2，焦距为22，直线l:yx1与椭圆C相交于

ab31A，B两点，P(,)为弦AB的中点．

44(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线l:ykxm与椭圆C相交于不同的两点M，N，Q(0,m)， 若OMON3OQ(O为坐标系原点)，求m的取值范围． .解：

x12y121x12x22y12y22a2b2(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，两式相减可得0，-(2分) 222abx2y21a2b2y1y2x1x2b2yy2312，由题意可得1可得1，x1x22，y1y22()， x1x2y1y2ax1x244b21所以可得2，-----------------------------------------(4分)

a3而由题意可得2c22，b2a2c2，解得：a23，b21， x2所以椭圆的方程为：y21；--------------------------------(5分)

3(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

ykxm222(13k)x6kmx3m30， 联立直线与椭圆的方程：x2，整理可得：2y13△36k2m24(13k2)(3m23)0，可得m23k21①，

第10页（共14页）

3m236km且x1x2，x1x2，--------------------------------(7分) 2213k13k1因为OMON3OQ，可得M，N，Q三点共线，所以OQOMON，

33112所以1，解得：2，且x1x20，可得x12x2，--------------------(9分)

33333m236km2将x12x2，代入两根之和及两根之积可得：x2，2x2，

13k213k26km23m231m22所以2(，整理可得3k)0②，------------------------(10分)

13k213k29m211m2①②联立可得21m20，整理可得m2(1m2)(9m21)0，

9m1111解得m21，解得：m1或1m

33911所以m的取值范围：{m|m1或1m}．--------------------------------(12分)

33

ex22.已知函数f(x)a(lnxx)，aR．

x（1）当a0时，讨论函数f(x)的单调性；

1x（2）当a1时，函数g(x)f(x)(x)emx满足：对任意x(0,)，都有g(x)1恒成

x立，求实数m的取值范围．

axexex(axex)(1x)解：（1）f(x)a， …………………2分 22xxxa0，x0，axex0，令f(x)0，得x1，

所以0x1时，f(x)0，f(x)单调递增，x1时，f(x)0，f(x)单调递减，

所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减． …………………5分 （2）解法一：当a1时，g(x)f(x)(x)emxxelnx(1m)x，

xx1x1lnxxe1， …………………6分 x1lnxxlnxxx2exlnxe1，则h(x)2e设h(x)，…………………7分

xx2x12x2x设(x)xelnx，则x0时，(x)(x2x)e0，

x1eln20，所以函数(x)在(0,)上有所以(x)在(0,)上单调递增，且(1)e0，()241唯一的零点x0(,1)， …………………9分

2由g(x)1对x(0,)恒成立，得m第11页（共14页）

当0xx0时，(x)0，h(x)0，h(x)单调递增，xx0时，(x)0，h(x)0，h(x)单调递减，所以x0时，h(x)maxh(x0)所以m1lnx0ex01， x01lnx0ex01， …………………10分 x01111(x0)x02ex0lnx00，x0ex0ln，即x0lnx0lnln(ln)，

x0x0x0x01lnx0， 因为yxlnx是增函数，所以x0lnx01lnx01x0mex01ex01ex0ex022，

x0x0即m的取值范围为[2,)． …………………12分

1xxx1lnxxex1lnxexlnx11，…7分 由g(x)1对x(0,)恒成立，得mxxxx设F(x)ex1，则F(x)e1，所以x0时，F(x)0，F(x)单调递减，x0时，F(x)0，F(x)单调递增，所以F(x)F(0)0，即exx1（当且仅当x0时等号成

解法二：当a1时，g(x)f(x)(x)emxxelnx(1m)x， 立）， ………9分 所以exlnx1（当且仅当xlnx0时等号成立），

111因为G(x)xlnx是增函数，且G()10，G(1)10，所以x0(,1)使得xlnx0成

eee立， ………10分

xlnx1lnxexlnx1lnx(xlnx1)112（当且仅当xx0时等号成立）所以，

xx所以m2，即m的取值范围为[2,)． …………………12分

22．已知直线l过定点P1,1，且倾斜角为线C的极坐标方程为2cos3．

2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲4（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程：

（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A、B，求AB及PAPB的值．

2x2y22222解：（1）由可得出曲线C的直角坐标方程为xy2x3，即x1y4.

cosx第12页（共14页）

x1由于直线l过定点P1,1，且倾斜角为，则直线l的参数方程为4y1（2）设点A、B对应的参数分别为t1、t2，

2t2（t为参数）； 2t2将直线l的参数方程与曲线C的直角方程联立可得t22t30，140， 由韦达定理可得t1t22，t1t23， 所以，ABt1t2

23.已知函数f(x)|x4||1x|，xR. （1）解不等式：f(x)5；

（2）记f(x)的最小值为M，若实数a,b满足a2b2M，试证明：

t1t224t1t214，PAPBt1t23.

112 a22b2132x5,x4f(x)x41x解（1）解：3,1x4

2x5,x12x552x55f(x)5因为，所以，或1x4，或

x4x1所以4x5，或1x4，或0x1，所以0x5， 所以不等式的解集为x0x5

（2）因为f(x)|x4||1x|(x4)(1x)3，当且仅当1x4时取等号， 所以f(x)的最小值为M3，所以a2b23，

第13页（共14页）

所以

1112112[(a2)(b1)] a22b21a22b216b21a221222

a2b16b21a22122222， a2b163b21a22当且仅当2，即a21，b22时取等号 2a2b1

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