指数函数及其性质
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课后练习
【基础过关】
1． 在同一坐标系内 , 函数 的图象关于
A. 原点对称 B. 轴对称 C. 轴对称 D.直线 对称
2． 已知 的图象经过点 , 则 的值域是
A. B. C. D.
3． 已知函数 则
的值为
为定义在 R上的奇函数 , 当 时 , ( 为常数 ),
D3
4． 函数 , 满足 的 的取值范围为
A. C.
B. D.
5． 函数 的定义域为 .
6． 已知 -1< a<0, 则三个数
是
由小到大的序次
.
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7． 已知函数 在[1,2] 上的最大值与最小值之和为 20, 记
.
(1) 求 a 的值；
(2) 证明 ；
(3) 求 的值.
8．已知 为定义在 上的奇函数 , 当 时 , 数 .
(1) 求 在 上的分析式；
(2) 求函数的值域 .
【能力提高】
已知 .
(1) 判断 的奇偶性；
(2) 证明 在其定义域上为减函数；
(3) 求 的值域 .
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答案
【基础过关】
1． C
【分析】作出函数
, 的图象以下列图 , 可知两个函数的图象
关于 y 轴对称 .
2． C
【分析】由题意得 ,
∴ 2－ b＝ 0, b＝ 2,
∴
, 由 2≤ x≤4得 0≤ x－2≤2,
因此 , 因此 f ( x) 的值域是 [1,9].
3． A
【分析】∵函数 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数 ,
又∵当 x≥0时 ,
,
∴ , ∴ m＝－ 1.
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∴当 x≥0时 ,
.
∴ f ( － 1) ＝－ f (1) ＝－ (2 ＋2×1－ 1) ＝－ 3. 4． D
【分析】本题观察指数函数的性质与求值
.当 时, ,即 ,解得
；当
时 ,
.选D.
, 解得 ；因此满足 的 的取值范围为
5．
6．
【分析】本题观察指数函数的性质与运算
.
. 由于 -1< a<0, 因此 , ；因此
7． (1) 函数 ( a＞ 0 且 a≠1) 在 [1,2] 上的最大值与最小值之和为 20,
∴ , 得 a＝ 4 或 a＝－ 5( 舍去 ).
(2) 由(1) 知 ,
∴
.
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(3) 由(2) 知 ,
, ,
,
∴
＝1＋ 1＋⋯＋ 1＝ 1006.
8．(1) 因 f ( x) 定 在 ( －1,1) 上的奇函数 , 因此 于任意的 x∈( － 1,1) 都有 f ( －x) ＝－ f ( x). 据此一方面可由 x∈ (0,1) 的函数分析式求 x∈ ( －1,0) 的函数分析式 , 另一方面可
以依据 f ( x) 奇函数求得
f (0) ＝ 0.(2) 求函数 f ( x) 的 域 , 可以用 元法 ,
的取 范 .
,
先求 t 的取 范 , 再求
(1) － 1＜x＜ 0, 0＜－ x＜1,
.
∵f ( x) 是定 在 (
1,1) 上的奇函数 ,
∴ f ( － x) ＝－ f ( x), f (0) ＝ 0,
∴
.
故
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(2)设 ,则 .
∵0＜ x＜ 1, ∴－ 1＜ t ＜ 0. ∴
.
∵f ( x) 是奇函数 , ∴－ 1＜ x＜0 时 ,
.
故函数 f ( x) 的值域为
.
【备注】方法技巧：关于指数型函数的最值的求法
指数型函数的最值问题常有种类有： 化为指数函数型 , 化为二次函数型
, 化为反比率函数型等 .
形如
型的最值问题 , 平时将 f ( x) 换元 , 化为指数型的最值问题 ( 求出 f ( x) 的范围后
) ；形如
型的最值问题平时将
).
换元 , 化为二次函
利用指数函数图象求解
数型最值问题 ( 求出
的范围后利用二次函数图象求解
【能力提高】
解： (1)
,
因此
是奇函数；
(2) 证明：令 ;
, 即 ;
因此
在其定义域上为减函数 .
(3) ;
由于 , 因此 , ；
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因此
, ,因此 .
因此 的值域是 .
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