1995年试题 全国高考试题(高考数学试卷)

1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学

(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)

一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知I为全集,集合M, NI,若M∩N=N,则 A.MN B. MN C. MN D. MN [Key] C 2.函数

y1x1的图象是

[Key] B

y4sin(3x)3cos(3x)44的最小正周期是 3.函数A.6B.2C.2D.33

[Key] C

4.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是

a2A.3a2B.2C.2a2D.3a2

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[Key] B

5.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则

A.k16.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是 A.-297 B.-252 C.297 D.207 [Key] D

7.使arcsinx>arccosx成立的x的取值范围是

A.(0,222]B.(,1]C.[1,)D.[1,0)333

[Key] B

8.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是

13A.y3xB.yxC.y3xD.yx33

[Key] C

59.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=9,那第sin2θ等于

A.223B.223C.23D.23

[Key] A

10.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题: ①//lm②l//m③l//m④lm// 其中正确的两个命题是

A.①与② B.③与④ C.②与④ D.①与③ [Key] D

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11.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) [Key] B

Sna2nlimnnbn等于 12.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若Tn3n1，则

A.1B.63C.23D.49

[Key] C

13.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 A.24 B.30 C.40 D.60 [Key] A

14.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为e,则它的极坐标方程是

c(1e)A.1ecosc(1e2)B.1ecosc(1e)C.e(1ecos)c(1e2)D.e(1ecos)

[Key] D

15.如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成的角的余弦值是

A.3010B.12C.3015D.1510

[Key] A

12()x832x16.不等式3的解集是______________

[Key] (2,4)

17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为3，则圆台

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的体积与球体积之比为____________. [Key]

7332

ysin(x)cosx618.函数的最小值___________

[Key]

34

19.直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a= . [Key] 4

20.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_____种(用数字作答).

[Key] 144

21.(本小题满分7分)

在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O (其中O为原点),已知Z2对应复数经z2=1+3i,求Z1和Z3对应的复数。 [Key]

本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力. 解:设Z1,Z3对应的复数分别为z1,z3,依题设得

z1121z2[cos()]isin()]44222i)22(13i)(3131i,221z3z2(cosisin)44212(13i)(22i)221313i22

22.(本小题满分10分)

求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

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[Key]

本小题主要考查三角恒等式和运算能力. 解:

11原式(1cos40)(1cos100)sin20cos5022111(cos100cos40)(sin70sin30)2231sin70sin30sin704234

23.(本小题满分12分)

如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面的圆周上,AF⊥DE,F是垂足. (1)求证:AF⊥DB;

(2)如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积的比等于3π,求直线DE与平面ABCD所成的角. [Key]

本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力. (1)证明:根据圆柱性质,DA⊥平面ABE. ∵EB平面ABE ∴DA⊥EB.

∵AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上, ∴AE⊥EB,又AE∩AD=A, 故得EB⊥平面DAE. ∵AF平面DAE ∴EB⊥AF.

又AF⊥DE,且EB∩DE=E, 故得AF⊥平面DEB. ∵DB平面DEB ∴AF⊥DB.

(2)解:过点E作EH⊥AB,H是垂足,连结DH.根据圆柱性质,平面ABCD⊥平面ABE,AB是交线.且EH平面ABE,所以EH⊥平面ABCD.

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又DH平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影,从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角.

设圆柱的底面半径为R,则DA=AB=2R,于是 V圆柱=2πR3,

2R21VD-ABE=3AD·S△ABE=3·EH

由V圆柱:VD-ABE=3π,得EH=R,可知H是圆柱底面的圆心, AH=R,

DHDA2AH25R,DHEDHarcctgarcctg5EH

24.(本小题满分12分)

某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:

P1000(xt8)(x8,t0),Q50040(x8)2(8x14)

当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.

(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;

(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元? [Key]

本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法. 解:(1)依题设有

1000(xt8)50040(x8)2

化简得 5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0. 当判别式△=800-16t2≥0时,

x842t50t255

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可得

由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:

0t50(1)42288t50t14550t50(2)4288t50t21455

解不等式组①,得

x8,不等式组②无解.故所求的函数关系式为

42t50t255

函数的定义域为[0，10] (2)为使x≤10,应有

842t50t21055

化简得t2+4t-5≥0.

解得t≥1或t≤-5,由t≥0知t≥1.从而政府补贴至少为每千克1元.

25.(本小题满分12分)

设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和.

lgSnlgSn2lgSn12(1)证明；

(2)是否存在常数c>0,使得

lg(Snc)lg(Sn2c)lg(Sn1c)2

成立?并证明你的结论.

[Key]

本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力.

(1)证明:设{an}的公比为q,由题设a1>0,q>0. (i)当q=1时,Sn=na1,从而

SnSn2S2n12na1(n2)a1(n1)2a12a10

a1(1qn)Sn1q从而 (ii) 当q≠1时，

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SnSn2S2n122a1(1qn)(1qn2)a1(1qn1)22(1q)(1q)22n a1q0

由(i)和(ii)得Sn·Sn+2lg(SnSn2)lgS2n1lgSnlgSn2lgSn12即

(2)解:不存在.

证明一:要使

lg(Snc)lg(Sn2c)lg(Sn1c)2

成立,则有

(Snc)(Sn2c)(Sn1c)2(1)(2)(Snc)0

分两种情况讨论:

(i)当q=1时,

(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2 =(na1-c)[(n+2)a1-c]-[(n+1)a1-c]2 =-a12<0.

可知,不满足条件①,即不存在常数c>0,使结论成立. (ii)当q≠1时,若条件①成立,因为 (Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2

a1(1qn)a1(1qn2)a1(1qn1)[c][c][c]21q1q1q

=-a1qn[a1-c(1-q)],

且a1qn≠0,故只能有a1-c(1-q)=0即c=a1/(1-q) 此时,因为c>0,a1>0,所以0a1a1qnSn0,1q1q但00,使结论成立。

综合(i)、(ii),同时满足条件①、②的常数c>0不存在,即不存在常数c>0,使

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lg(Snc)lg(Sn2c)lg(Sn1c)2

证法二:用反证法,假设存在常数c>0,使

lg(Snc)lg(Sn2c)lg(Sn1c)2

则有

Snc0(1)Sn1c0(2)Sn2c0(3)2(Snc)(Sn2c)(Sn1c)(4)

由④得

SnSn+2-S2n+1=c(Sn+Sn+2-2Sn+1).⑤ 根据平均值不等式及①、②、③、④知 Sn+Sn+2-2Sn+1

=(Sn-c)+(Sn+2-c)-2(Sn+1-c)

2(Snc)(Sn2c)2(Sn1c)0

因为c>0,故⑤式右端非负,而由(1)知,⑤式左端小于零,矛盾.故不存在常数c>0,使

26.(本小题满分12分)

x2y2xy111282416已知椭圆，直线l:,P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且

满足│OQ│·│OP│=│OR│2.当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

[Key]

本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质,曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法,利用方程判

定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力. 解法一:由题设知点Q不在原点.设P、R、Q的坐标分别为(xP,yP), (xR,yR),(x,y),其中x,y不同时为零.

当点P不在y轴上时,由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线,得方程组

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x2y2RR12416yRyxRx

解得

48x2x22x3y22R(1)(2)

由于点P在直线l上及点O、Q、P共线,得方程组

xp12yp8yxpxyp148y2y22x3y22R

解得

xp24x2x3y24yyp2x3y(3)(4)

当点P在y轴上时,经验证①—④式也成立. 由题设│OQ│·│OP│=│OR│2,得

2222x2y2x2pyp(xRyR)

将①—④代入上式,化简整理得

242(x2y2)248(x2y2)2(2x3y)2x23y2

因x与xp同号或y与yp同号,以及③、④知2x+3y>0,故点Q的轨迹方程为

(x1)2(y1)21(其中x、y不同时为零) 55231015所以点Q的轨迹是以(1,1)为中心，长、短半轴分别为2和3且长轴与x轴平行的椭圆、

去掉坐标原点.

解法二:由题设知点Q不在原点.设P,R,Q的坐标分别为(xp,yp),(xR,yR),(x,y),其中x,y不同时为零.

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设OP与x轴正方向的夹角为α,则有 xp=│OP│cosα,yp=│OP│sinα; xR=│OR│cosα,yR=│OR│sinα; x=│OQ│cosα,y=│OQ│sinα; 由上式及题设条件|OQ|·|OP|=|OR|2，得

|OP|xx(1)p|OQ||OP|ypy(2)|OQ|2|OP|2xx(3)R|OQ||OP|2y2y(4)R|OQ|

由点P在直线l上,点R在椭圆上,得方程组

xpyp112822xyRR12416(5)(6)

将①,②,③,④代入⑤,⑥,整理得点Q的轨迹方程为

(x1)2(y1)21(其中x、y不同时为零) 5523与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点.

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