数学学业水平考试常用公式及结论
一、集合与函数：
集合
1、集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 2、 集合相等：若： A 3. 元素与集合的关系：属于 ．集合 4
B,B A,则 A B
不属于：
n
空集：
n个；真子集有 2 – 个；非空子集有 2 – 个；
n
{ a1 , a2 , , an } 的子集个数共有 2
N 正整数集： N
1
有理数集： Q
1
实数集： R
5. 常用数集：自然数集：
*
整数集： Z
函数的奇偶性 1、定义： 奇函数
<=> f (–x ) = –f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（ 2）偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形；
（ 3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （ 4）如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．函数的单调性
1、定义：对于定义域为
① ②
D 的函数 f ( x )，若任意的 <=> <=>
f ( x1 ) –f ( x2 ) < 0 f ( x1 ) –f ( x2 ) > 0
x1, x2∈ D，且 x1 < x 2 <=> f ( x )是增函数 <=> f ( x )是减函数
f ( x 1 ) < f ( x 2 ) f ( x 1 ) > f ( x 2 )
2
二次函数 y = ax +bx + c（ a 0 ）的性质
， 对称轴： x
b
1、顶点坐标公式：
, 2a
4a
4ac b
2a
2
b
4ac b 2
4a
，最大（小）值：
2. 二次函数的解析式的三种形式
(1) 一般式 (3) 两根式
指数与指数函数
f ( x) ax
2
bx c(a 0) ; (2) 顶点式 f (x) a( x h)
2
k(a 0) ;
f ( x) a( x x1 )( x x2 )( a 0) .
1、幂的运算法则：
1
（1） a ? a = a
n
mnm + n
，（ 2） a 0
m
a
n
a
m n ，（ 3） ( a ) = a n
mnm n （ 4）( ab ) = a nn
? b
n
（5）
a b
a bn
（ 6）a = 1 ( a≠0)（7） a
x
1 （8） a a
m
n
m
a （ 9） a
n
n
m
m 1
n
n
2、指数函数 y = a
(a > 0 且 a≠ 1) 的性质： 值域： (0,+∞)
a n
（1）定义域： R ；
（ 2）图象过定点（ 0，1）
Y
a > 1
Y
0 < a < 1 1
1
X
0
0
X
3. 指数式与对数式的互化：loga N b 对数与对数函数 1.对数的运算法则：
a
b
N (a 0, a 1, N 0) .
（ 1） a = N <=> b = log a N（ 2）log a 1 = 0（ 3） log a a = 1（ 4） log a a = b （ 5） a log N = N
bba
（6） log a (MN) = log
a M + log a N
（ 7） log a () = log a M -- log a N
M N
（8） log a N = b log a N
b（9）换底公式： log a N =
log b N logb a
1, N
（10）推论 loga m b
（11）log a N =
nn
log a b ( a 0 , 且 a 1, m, n
0 , 且 m 1, n 0 ).
m
1
（ 12）常用对数： lg N = log
10 N （ 13）自然对数： ln A = log e A
log N a
（其中 e = 2.71828, ） （1）定义域： ( 0 , +∞)
Y
2、对数函数 y = log a ； 值域：R a >1
x (a > 0 且 a≠ 1) 的性质：
（ 2）图象过定点（ 1，0）
Y
0 < a < 1 1
0
X
0
1
X
2. 图象平移： 若将函数
y f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位， 得到函数 y f ( x a)
b
的图象； 规律： 左加右减，上加下减
2
平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为
N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有
y N
1(
p
x ) .
函数的零点 ： 1. 定义：对于 y
f ( x) ，把使 f (x) 0 的 X 叫 y f ( x) 的零点。即
y f (x) 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函数y 曲线，并有 f (a) f (b) 0 ，那么 y
f (x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条
f ( x) 在区间 a, b 内有零点， 即存在 c
a, b ，
使得 f (c)
0 ，这个 C 就是零点。
二、圆：
1、斜率的计算公式：
k = tan α =
y2 y1 x2 x1
（ α≠90 °， x 1≠ x2）
2、直线的方程 （ 1）斜截式 y = k x + b(k 存在 ) ；（ 2）点斜式 y –y 0 = k ( x –x 0 ) (k 存在）；
x（3）两点式
y y2
y1 y1
x x2
1 （
x1 x2
, y1 y2 ） ；4）截距式
x a
y b
（ a
1
0,b 0 ）
x1
（ 5）一般式 Ax By c 0(A, B不同时为 0）
3、两条直线的位置关系：
l1： y = k 1 x + b 1 l2： y = k 2 x + b2
重合
k1= k 2 且 b1= b 2
l1： A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 l2： A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
A1 A2 A1 A2
B1 B2 B1 B2
C1 C 2 C1 C2
平行
k1= k 2 且 b1≠ b2
k1 k 2 = –1
垂直 A1 A2+B1B2=0
2
2
4、两点间距离公式： 设 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 5、点 P ( x 0 , y 0 )到直线 l ： A x + B y + C = 0
2 , y 2 )，则 | P1 P2 | =
x1 x2 y1 y2
的距离： d
Ax0
By0
2
2
C
A B
6、圆的方程
3
圆的方程
2
2
2
圆心 （0， 0）
2
2
半径 r r
2
标准方程
x + y = r
2
(x –a ) + ( y –b ) = r
22（ a， b）
一般方程
x + y +D x + E y + F = 0
D , E 2 2
1 D 2
E
2
4F
7. 点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 则 d r
2
( y b) ( x a)
2
2
r 的位置关系有三种若 d ( y b)
2
2
(a x0 )
2
(b y0 ) ，
2点P在圆外 点 P在圆上 点 P在圆内
2
2
r
2
2
d d
r r
( x a) ( x a) ( y b) ( y b) r r
2
2
2
8. 直线与圆的位置关系 ( 圆心到直线的距离为 d)
直线 Ax ① d r
By C
0 与圆 ( x a)
2
( y b) 2 r 的位置关系有三种 : 相切
0 ③ d r相交
2
相离 0② d r 0 .
9. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为
O， O，半径分别为
1
2
r ， r ， O1O2 d
1
2
d d
r1 r2 r1 r2
d
外离 外切 r1 r2
4条公切线 ; 3条公切线 ; 相交
r1 r2 d
2条公切线 ;
r1 r2
r1 r 2
内切 1条公切线 ;
内含
无公切线 .
0 d
三、立体几何：
（一）、线线平行判定定理 ：
1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和
4
交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
四、三角函数：
1、同角三角函数公式
sin α + cos α= 1tan
22
sin cos
2
tanα cot α=1
2、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cosα
2-1 = 1-2 sin
α t a n2
1
2 t an
2
t an
3、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sin αcosβ土 cosαsinβ
tan
cos (α±β) = cosαcosβ干 sinαsinβ
tan 1 tan
tan tan
。”
4、三角函数的诱导公式
“ 奇变偶不变，符号看象限
5、三角函数的周期公式
函数 y sin( x
ω＞ 0) 的周期 T
) ，x∈ R 及函数 y cos( x
2
) ，x∈ R(A, ω , 为常数， 且 A≠ 0，
；函数 y tan( x
) ， x
k
, k Z (A, ω , 为常数，且 A 2
≠0， ω ＞ 0) 的周期 T
.
5
五、平面向量 ：
2
1、向量的模计算公式
：（1）向量法： | a | = a a
a ；
（ 2）坐标法：设 a =（ x， y），则 | a | = x
2
y
2
2、平行向量
规定：零向量与任一向量平行。设 a =（ x1，y1）， b =（ x2， y2）， λ 为实数 向量法： a ∥ b （ b ≠ 0 ） <=>
a =λ b
x坐标法： a ∥ b （ b ≠ 0 ） <=> x 1 y2 –x2 y1 = 0
<=>2
x1 （ y1 ≠ 0 ， y 2 ≠ 0）
y1
y2
3、垂直向量
规定：零向量与任一向量垂直。设 a =（ x1，y1）， b =（ x2， y2）
向量法： a ⊥ b <=>
a · b = 0
坐标法： a ⊥ b <=> x 1 x 2 + y1 y 2 = 0
4、平面两点间的距离公式
dA ,B =| AB |
AB AB
( x2 x1)
2
( y2 y1) 2 (A ( x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ).
5、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连） ，平行四边形法则（起点相同连对角）
（2）坐标法：设 a =（x1 ，y1）， b =（ x2， y2），则 a + b =（x1+ x 2 ， y1+ y 2） 6、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法：设 a =（x1 ，y1）， b =（ x2， y2），则 a - b =（x1 - x2 ， y1- y2）
7、两个向量的夹角计算公式： （ 1）向量法： cos =a b
| a || b |
（2）坐标法：设 a =（x1
x1 x2 y1 y2
，y1）， b =（ x2， y2），则 cos =
x12
y12
x22
y22
8、平面向量的数量积计算公式：
（ 1）向量法： a · b = | a | |b | cos
（ 2）坐标法：设 a =（x1， y1）， b =（x2，y2），则 a · b = x 1 x2 + y 1 y2
（ 3） a· b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cosθ
6
的
乘积．
六、解三角形：
ABC 的六个元素 A, B, C, a , b, c 满足下列关系： 1、角的关系： A+B+C=
特殊地，若
π ，
ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列，则∠ B = 60 o，∠ A + ∠ C = 120o
2、诱导公式的应用： sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,
3、边的关系： a + b > c , a –b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
）
4、边角关系：（ 1）正弦定理：
a sin A
b c
2R （R为 ABC 外接圆半径）
sin B sin C
2
2
2
a : b : c = sinA : sinB : sinC分体型 a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,
（2）余弦定理： a = b + c –2bc?cosA ,
222
b = a + c –2a c?cosB ,
c = a + b –2 a b?cosC
222
b
cos A
2
c
2
a 2
a
, cos B
2
c
2
b
2
a
,
2
b c 2ab
22
2bc
1
2ac 1
cosC 1 2
ac sinB
5、面积公式： S =
a h =
1 2
ab sinC = bc sinA =
2 2
七、不等式：
（一）、均值定理及其变式： （ 1） a , b ∈ R ,
a + b ≥ 2 a b
22
2
（2） a , b ∈ R , a + b ≥ 2 ab
+
（ 3） a , b ∈ R , a b ≤
+
a b 2
以上当且仅当 a = b 时取“ = ”号。 （二） . 一 元二次 不等式 ax
2
bx c 0(或 0) (a a 与 ax
2
0, b
2
4ac 0) ， 如 果 a 与
ax
2
bx c 同号，则其解集在两根之外；如果
bx c 异号，则其解集在两根之
间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间.
设 x
1
x
2
(x x1)( x x2 ) 0 x1 x x2 ；
(x x1)( x x2 ) 0 x x1 , 或x x2
7
八、数列 ：
（一）、等差数列 { a n }
1、通项公式 ： a n = a 1 + ( n –1 ) d ，推广： a n = a m + ( n –m ) d
( m , n ∈ N )
2、前 n 项和公式： S n = n a 1 + n ( n –1 ) d =
1 2
n(a1 an )
2
3、等差数列的主要性质：
① 若 m + n = 2 p ，则 a m + a n = 2 a p（等差中项） ( m , n∈ N ) ② 若 m + n = p + q ，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q ∈ N )
（二）、等比数列 { a n }1、通项公式 ： a n = a 1 q n –1 ，推广： a n = a m q n –m
( m , n∈ N )
2、等比数列的前 n 项和公式：
当 q≠ 1 时， S n = a
1 (1 q n
) =a
1 an q
， 当 q = 1 时， Sn = n a 1
1 q
1 q
3、等比数列的主要性质
① 若 m + n = 2 p ，则 a p 2
= a m ? a n（等比中项） ( m , n∈ N ) ② 若 m + n = p + q ，则 a m ? a n = a p ? a q ( m , n , p , q ∈ N )
（三） 、一般数列
{ a
n
} 的通项公式：记S n = a 1 + a 2 + ,
+ a n ，则恒有aS1
n 1 n
SS
nn 1
n
2, n
N
8
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