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河南省 2018 年高考文科数学试卷
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的。
1．已知集合 A 0 ，2 ， B 2， 1，0 ，1 ，2 ，则 A B （ ） A． 0 ，2
1i
2．设 z
1i A． 0
B．
1
B． 1，2 C． 0
D． 2， 1，0 ，1，2
2i ，则 z （ ）
C．1
D． 2
2
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解
该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比 例．得到如下饼
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
22
4．已知椭圆 C ： 2 1的一个焦点为 （2 ，0） ，则 C 的离心率为（ ）
2
a 4
x
y
A．
C． 2
1
22 D．
3
O1 ， O2 ，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为
2
是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ A． 12 2π
B．12π
32
C． 8 2π D． 10π
y f x 在点 0 ，0 处的切 6．设函数 f x x a 1 x ax ．若 f x 为奇函数 ,则曲线线方程为
（ ）
C． y 2xD
． y x
（ ）
A ． y 2x E 7．在△ABC中， AD为BC边上的中线， 为 AD的中点，则 EB A． AB AC
3
1
1
3
B． AB AC
13
C． AB
31
4 4 4
22
4
44
D． AB
44
8．已知函数 f x 2cos2 x sin2 x 2 ，则（
A． f （x） 的最小正周期为 π，最大值为 3 B． f （x） 的最小正周期为 π，最大值为 4 C． f （x） 的最小正周期为 2π，最大值为 3 D． f （x） 的最小正周期为 2π，最大值为 4
9．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图．圆柱表面上的点 M 在 正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则
C．3 D．2 A ． 2 17 B ． 2 5
AB BC 2，AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30 ， 10．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，
则该长方体的体积为（ ） A．8
B ． 6 2
C． 8 2
D． 8 3
终边上有两点 A 1 ，a ， 11．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，
2
B 2 ，b ，且 cos2 ，则 a
3 5 B．
5 1
A．
（） C． 2 5
D．1
5
5
2 x ， x≤ 0
12．设函数 f x ，则满足
1 ， x 0 A ． ， 1
f x 1 f 2x 的 x的取值范围是（
C． 1，0
D．
B ． 0，
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 13．已知函数 f x log2 x2 a ，若 f 3 1 ，则
x 2y 2≤ 0
14．若 x，y满足约束条件 x y 1≥ 0 ，则 z 3x 2 y的最大值为 ___
y≤0
3
15．直线 y x 1与圆 x2 y2 2y 3 0交于 A，B 两点，则 AB _________ ．
16． △ ABC的内角 A，B ，C的对边分别为 a ，b，c ，已知 bsinC csinB 4asinBsinC ， b2
c2 a2 8 ，则△ABC 的面积为 ________ ． 三、解答题：共 70 分。 （一）必考题：共 60 分。 17．（ 12 分）
已知数列 an 满足 a1 1，nan 1 2 n 1 an，设 bn ．（1）求 b1，b2 ，b3 ；（2）判 n 断数列 bn 是否为等比数列，并说明理由；（ 3）求 an 的通项公式．
an
18．（ 12 分）
如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCM 中 ， AB AC3 ， ∠ ACM 90 ，以 AC 为折痕将 △ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥ DA．
（ 1）证明：平面 ACD ⊥平面 ABC ；
（2） Q为线段 AD 上一点， P为线段 BC 上一点，且
BP DQ DA ，求三棱锥 Q ABP 的体积．
3
2
19．（ 12 分）
某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位： m3）和使用了节水龙头 50
4
天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用 水量 频数
0.1 ，0，0.1 0.2 1 3 0.2 ，0.3 0.3 ，0.4 0.4 ，0.5 0.5 ，0.6 0.6 ，0.7 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用 0，0.1 水量 频数
0.1，0.2 0.2 ，0.3 0.3 ，0.4 0.4 ，0.5 0.5，0.6 1 5 13 10 16 5 1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组 中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
20．（ 12 分）
设抛物线 C：y2 2x，点 A 2，0 ， B 2，0 ，过点 A的直线 l与C交于 M ， N两点．
5
1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；（ 2）证明： ∠ ABM ∠ ABN ．
21．（ 12 分）
已知函数 f x aex
ln x 1 ．
（1）设 x 2是 f x 的极值点． 求a，并求 f x 的单调区间；f x ≥ 0．
二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题计分。
22． ［选修 4—4：坐标系与参数方程 ］（10 分）
6
（2）证明：当a ≥ 1
e 时，
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y k x 2．以坐标原点为极点， x 轴正半轴 为极
2
轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 cos 3 0 ．
（1）求 C2的直角坐标方程； （2）若 C1与C2有且仅有三个公共C
1
的方程．
点，求
23． ［选修 4—5：不等式选讲 ］（10 分）
已知 f x x 1 ax 1 ．
（ 1）当 a 1时，求不等式 f x 1的解集；
（2）若 x∈ 0，1 时不等式 f x x 成立，求7
a的取值范围．
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河南省 2018 年高考文科数学试卷解析答案
、选择题 1．A 7．A
2．C 8．B
3．A 9．B
4．C 10．C
5．B 11．B
6．D 12．D
二、填空题
13．-7
14．6
15． 2 2
16．
23 3
三、解答题 2(n 1)
17．解：由条件可得 （1）
an+1
= an ．
将 n=1 代入得， 而 an
1=1 ，所
a2=4． a=4a将 n=2 ， 代入得， a以，
3=3a2 ，所以， a3=12．
从而
b
1=1， b2=2 ， b3=4．
（2）{bn} 是首项为 1，公比为 2的等比数列．
由条件可得 an 1 2ann
，即 bn+1=2 bn，又 b1=1，所以 {bn} 是首项为数列．
（ 3）由（ 2）可得n
an 2n 1，所以 an=n·2n-1．
18．解：（1）由已知可得， BAC =90°， BA⊥AC．
又 BA⊥ AD，所以 AB⊥平面 ACD ． 又 AB 平面 ABC ， 所以平面 ACD ⊥平面 ABC．
2）由已知可得， DC=CM=AB=3，DA=3 2 ．
8
，公比为的等比 1 2 n 1
又 BP DQ DA ，所以 BP 2 2 ．
3 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE 1DC ．
3
由已知及（ 1）可得 DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC， QE=1． 因此，三棱锥 Q ABP 的体积为
1 1 1
VQ ABP 3 QE S△ABP 3 1 2 3 2 2 sin 45 1
．
2
19．解：（ 1）
50 2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 天日用水量小于 0.35m 的频率为 0.2 ×0.1+1 ×0.1+2.6 0×.1+2 ×0.05=0.48 ， 因此该家庭使用
0.35m3 的概率的估计值为 0.48．
3
3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为
x1
1
(0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5) 0.48． 50
9
该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为
x2
1 (0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5) 0.35．
估计使用节水龙头后，一年可节省水 （0.48 0.35） 365 47.45（m 3） ． 20．解：（1）当 l与 x轴垂直时， l 的方程为 x=2，可得 M 的坐标为（ 2，2）或（ 2， –2）．
所以直线 BM
11
1 x 1 22
或 y 1 x 1 10
的方程为 y= ．
当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y k（x 2）（k 0），M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1>0， x2>0．
y k(x 2) 2 2 由 得 ky2–2y–4k=0，可知 y1+y2= ， y1y2=–4．
直线 BM ，BN 的斜率之和为
，
2
y1
kBM kBN
y1
y2
将
y2
x2y1 x1y2 2(y1 y2) (x1 2)(x2 2)
．①
．①
2 ， x2 2 及 y1+y2，y1y2 的表达式代入①式分子，
可得 kk
2y1y2 4k(y1 y2) 8 8 1 2 1 2
x2 y1 x1y2 2(y1 y2)
1
x
k所以 所以∠ ABM +∠ ABN． BN BM+kBN=0 ，可知 BM ， 的倾斜角互补，
综上，∠ ABM =∠ ABN ．
=aex– （0， ） ， f （′）21．解：（ 1） f（ x）的定义域为x
x1
1
a= 由题设知， f （′2） =0，所以2e
1x
从而 f( x)= 2e2 e lnx 1，f (′x)=
1
2 e
1x
2e
当 0 1e (2)当 a≥ 时，f(x)≥ ln x 1． ee ee 1 xx 设 g(x)= ln x 1 ，则 g (x) e e x 当 0 因此，当 a 时， f（x） 0． e 1 e 22． ［选修 4-4：坐标系与参数方程 ］（10 分） 解：（ 1）由 x cos ， y sin 得 C2的直角坐标方程为 （x 1） y 4 ． 22 （2）由（ 1）知 C2是圆心为 A（ 1,0） ，半径为 2的圆． 由题设知， C1是过点 B（0,2） 且关于 y轴对称的两条射线． 记 y轴右边的射线为 l1， 11 y轴 左边的射线为 l2．由于 B在圆 C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于 l1与C2 只有一个公共点且 l2与C2有两个公共点， 或 l2与C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公 共点． | k 2| 4 当 l1与 C2只有一个公共点时， A到l1所在直线的距离为 2，所以 2 2，故 k k 1 3 或 k 0 ． 4 lCl 经检验，当 k 0 时， l1 与 C2 没有公共点；当 k 3 时， 1 与 2 只有一个公共点， 2 与 3 C2 有两个公共点． 点时， A到l2所在直线的距离为 2，所以 2 或 k 4 ． |k 2| 当l2与C2只有一个公共2 ，故 k 0 2 k 1 3 当 k 3 时， l2与C2没有公共点． 4 综上，所求 C1的方程为 y |x| 2 ． 3 23． [选修 4-5：不等式选讲 ](10 分) 2,x 1, 解：( 1)当 a 1时， f(x) |x 1| |x 1|，即 f (x) 2x, 1 x 1, 2,x 1. 故不等式 f(x) 1 4 4 经检验，当 k 0时， l1与C2没有公共点； 3 的解集为 {x|x 2} ． (2)当 x (0,1) 时|x 1| |ax 1| x成立等价于当 x (0,1) 时|ax 1| 1成立． 若 a 0 ，则当 x (0,1) 时 |ax 1| 1 ； 22 若 a 0， |ax 1| 1的解集为 0 x ，所以 aa 综上， a 的取值范围为 (0,2] ． 1，故 0 a 2 ． 12 绝密★启用前 河南省 2019 年高考文科数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1． 5 分）设 z＝ 则 |z|＝（ A．2 B． C． D．1 2． 5 分）已知集合U ＝｛1，2，3 ，4 ，5 ，6 ，7｝，A＝｛ 2，3，4， 5 ｝，B＝｛2，3，6，7｝则 B∩ ?UA＝（ A．{1 ，6} B．{ 1，7 } C．{ 6，7} D．｛1，6，7｝ 3． 5 分）已知 a＝ log 0.2 20.2b＝2 ，， c＝0.20.3 ，则 A ．a< b< c B． a 长度之比是 （ ≈ 0.618，称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外， 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长26cm，则其身高可能是 度为 13 ， ） A ． 1655．（5 分）函数B （＝x） 175cm 在［﹣C． 185cm D π］的图象大致为（14 190cm ．． f π， 5 分）某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号 ，⋯， 1000从这6． 1， 2， 些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验．若 46 号学生被抽到，则下 面 4 名学生中被抽到的是（ A．8 号学生 7． 5 分） tan255° A ．﹣ 2﹣ B ．200 号学生 C． 616 号学生 D．815 号学生 B．﹣ 2+ C．2﹣ D．2+ 8． 5 分）已知非零向量 ， 满足 | |＝ 2| |，且（ ﹣ ）⊥ ，则 与 的夹A． 角为（ B． C． D． 9． 5 分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ 15 A．A＝ B．A＝ 2+ A＝ C． D．A＝1+ 的一条渐近线的倾斜角为 °，则 C 10．（5 分）双曲线 ﹣ ＝1（ a>0，b>0） C：130 的离心率为（ A ． 2sin40 ° B ． 2cos40° C． 的内角A ，B，C 的对边分别为 ab，， c．已知 asinA﹣ bsinB＝ 4csinC，cosA 11．（5 分）△ ABC ，则 A．6 B．5 C． D．3 F 2的直线与 C交于 A，B 两 12．（5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（﹣1，0），0F），过2（1， 点．若 |AF2|＝2|F2B|，|AB|＝则 C 的方程为 |BF1|， B． 2 ＝1 2 A ． +y＝1 D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。 2x 曲线 y＝3（x+x） e在点 0，0）处的切线方程为 13（ 5 ． 14 分）（ 5 ，则＝ 记 Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和．若 a1＝ 1，S3 S＝4 ． 分） 15（ 5 函数 f（x）＝sin（2x+ ）﹣ 3cosx 的最小值为 ． 分） 16（ 5 已知∠ ACB＝90°， P 为平面 ABC 外一点， PC＝2，点 P 到∠ACB 两边 ． 分） AC， BC 的距离均为 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为 ． ） ＝1 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17~21 题为必考题， 16 每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对 该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 男顾客 女顾客 不满意 10 20 40 30 1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； 2）能否有 95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： K2＝ 附：K＝ 2 P（K ≥ k） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 k 18．（12 分）记 Sn为等差数列 ｛an｝的前 n 项和．已知 S9＝﹣ a5． （1）若 a3＝4，求｛ an｝的通项公式； （2）若 a1>0，求使得 Sn≥an的 n 的取值范围． 19．（12 分）如图，直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形， AA1＝4，AB＝2，∠ BAD＝ 60°， E， M，N分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （ 1）证明： MN∥平面 C1DE； 20．（ 12 分）已知函数 f（x）＝ 2sinx﹣ xcosx﹣ x， f′（ x）为 f（ x）的 17 导数． （ 1）证明： f′（ x）在区间（ 0，π）存在唯一零点； 18 2）若 x∈［0，π］时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． 21．（12 分）已知点 A，B关于坐标原点 O 对称，|AB|＝4，⊙M 过点 A，B且与直线 x+2＝0 相切． 1）若 A在直线 x+y＝ 0上，求 ⊙M 的半径； 2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时， |MA|﹣|MP|为定值？并说明理由． 二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 ［选修 4-4：坐标系与参数方程 ］（10 分） 22．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数）．以坐 标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝ 0． 1）求 C 和 l 的直角坐标方程； 2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． ［选修 4-5：不等式选讲 ］（10 分） 23．已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝ 1．证明： 2 2 2 （ 1） + + ≤ a +b +c ； 333 （2）（a+b）+（b+c）+（ c+a）≥24． 333 19 河南省 2019 年高考文科数学试卷解析答案 、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．【分析】 直接利用复数商的模等于模的商求解． 解答】解 ：由 z＝ ，得 |z|＝| |＝ 故选： C ． 【点评】 本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题． 2．【分析】 先求出 ?UA，然后再求 B∩ ?UA 即可求解 【解答】 解：∵ U＝{1，2，3，4，5，6，7} ，A＝{2，3，4，5} ， B＝ {2 ， 3， 6，7} ， ∴?UA＝{1 ，6，7}， 则 B∩?UA＝{6 ，7} 故选： C ． 【点评】 本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题． 0.2 0.3 3．【分析】 由指数函数和对数函数的单调性易得 log20.2<0，2 > 1，0<0.2 < 1，从而得 出 a， b， c 的大小关系． 【解答】 解： a＝log20.2 0.3 ∴c＝0.2 0.3 0.3 0 ∈（0，1）， ∴ a < c< b ， 故选： B ． 【点评】 本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题． 4．【分析】 充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高． 【解答】 解：头顶至脖子下端的长度为 26cm， 说明头顶到咽喉的长度小于 26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 ≈ 0.618， 可得咽喉至肚脐的长度小于 ≈42cm， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ， 20 可得肚脐至足底的长度小于 ＝110， 即有该人的身高小于 110+68 ＝178cm， 又肚脐至足底的长度大于 105cm， 可得头顶至肚脐的长度大于 105× 0.618≈ 65cm， 即该人的身高大于 65+105＝ 170cm， 故选： B ． 【点评】 本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 5．【分析】 由 f（x）的解析式知 f（x）为奇函数可排除 A，然后计算 f（ π），判断正负即可 排除 B， C． 【解答】 解：∵ f（x）＝ ∴f（﹣ x）＝ ＝﹣ ， x∈[﹣π，π]， ＝﹣ f （x）， ∴f（x）为 [﹣π，π]上的奇函数，因此排除 A； 又 f（ ）＝ ，因此排除 B， C； 故选： D ． 【点评】 本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题． 6．【分析】 根据系统抽样的特征，从 1000 名学生从中抽取一个容量为 100 的样本，抽样的 分段间隔为 10，结合从第 4 组抽取的号码为 46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码． 【解答】 解：：∵从 1000 名学生从中抽取一个容量为 100 的样本， ∴系统抽样的分段间隔为 ∵ 46 号学生被抽到， 则根据系统抽样的性质可知， 第一组随机抽取一个号码为 6，以后每个号码都比前一个号 码增加 10，所有号码数是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列， 设其数列为 {an} ，则 an＝ 6+10 （ n﹣ 1）＝ 10n﹣ 4， 当 n＝ 62 时， a62＝ 616 ，即在第 62 组抽到 616． 故选： C ． 【点评】 本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔． 7．【分析】 利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解． ＝ 10， 21 解答】 解： tan255°＝ tan(180° +75°)＝ tan75°＝ tan(45°+30°) ＝ 故选： D ． 【点评】 本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题． 8．【分析】由（ ﹣ ）⊥ ，可得 ，进一步得到 ， 然后求出夹角即可． 解答】 解：∵（ ﹣ ）⊥ ， ＝， ＝， 故选： B ． 点评】 本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题． 9．【分析】 模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的 A 的值，观察规律即可得解． 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： A＝ ，k＝ 1； 满足条件 k≤ 2，执行循环体， A＝ ，k＝2； 满足条件 k≤ 2，执行循环体，A＝ ， k＝3； 22 此时，不满足条件 k≤2，退出循环，输出 A 的值为 ， 观察 A 的取值规律可知图中空白框中应填入 A＝ 故选： A ． 点评】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题． 10．【分析】 由已知求得 率． ，化为弦函数，然后两边平方即可求得 C 的离心 解答】 解：双曲线 C： ﹣ ＝1（a>0，b>0）的渐近线方程为 y＝ 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为 130°，得 则 ＝ ， ， 得， 得， ∴e＝ 故选： D ． 点评】 本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 11．【分析】 利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果． 【解答】 解：∵△ ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c， asinA﹣bsinB＝4csinC， cosA＝ ． 2 解得 3c＝ ， 2 23 故选： A ． 24 【点评】 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 12．【分析】 根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得 a＝ ，b＝ ，可得椭圆的方程． 【解答】 解：∵ |AF2|＝2|BF2|，∴ |AB|＝3|BF2|， 又 |AB|＝|BF1|，∴ |BF1|＝3|BF2|， 又|BF1|+|BF2|＝2a，∴ |BF2|＝ ， ∴ |AF2|＝a，|BF1|＝ a， 在 Rt△AF 2O中， cos∠AF2O＝ ， 在△ BF1F2中，由余弦定理可得 cos∠ BF2F 1＝ ， 根据 cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得 + 2 2 2 ＝0，解得 a2＝ 3，∴ a＝ ． b ＝a ﹣c ＝3﹣ 1＝2． 所以椭圆 C 的方程为： + ＝ 1． 故选： B ． 【点评】 本题考查了椭圆的性质，属中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。 13．【分析】 对 y＝3（x+x）e求导， 可将 x＝0 代入导函数， 求得斜率， 即可 得到切线方程． 【解答】 解：∵ y＝3（ x2+x） ex， ∴y'＝3ex（x2+3x+1）， ∴当 x＝0 时， y'＝3， ∴ y＝ 3（ x+x） e在点（ 0，0）处的切线斜率 k＝3， ∴切线方程为： y＝ 3x． 故答案为： y＝ 3x． 【点评】 本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解 题关键，属基础题． 2 x 2 x 25 14．【分析】 利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数 列的求和公式即可求解 解答】 解：∵等比数列 {an}的前 n项和，a1＝1，S3＝ ， ∴q≠1， 解可得， q＝﹣ ， 故答案为： 点评】 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 15．【分析】 线利用诱导公式， 二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 性即可去求解最小值 【解答】 解：∵ f（x）＝ sin（ 2x+ ）﹣ 3cosx， ＝﹣ cos2x﹣3cosx＝﹣ 2cosx ﹣3cosx+1， 令 t＝ cosx，则﹣ 1≤ t≤1， ∵f（t）＝﹣ 2t2﹣3t+1 的开口向下，对称轴 t＝ ，在［﹣1，1］上先增后减， 故当 t＝ 1 即 cosx＝ 1 时，函数有最小值﹣ 4． 故答案为：﹣ 4 【点评】 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用 及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题 16．【分析】 过点 P作 PD⊥AC，交 AC于 D，作 PE⊥ BC，交 BC 于E，过 P作 PO⊥平面 ABC，交平面 ABC 于 O，连结 OD ， OC ，则 PD ＝ PE＝ ，从而 CD＝ CE＝OD ＝ OE ＝ ＝1， 由此能求出 P 到平面 ABC 的距离． 【解答】 解：∠ ACB＝90°， P 为平面 ABC 外一点， PC＝2，点 P 到∠ACB 两边 AC， BC 的距离均为 ， 2 单调 26 过点 P作 PD⊥ AC，交 AC于 D，作 PE⊥BC，交 BC 于 E，过 P作 PO⊥平面 ABC，交 平面 ABC 于 O， 连结 OD，OC，则 PD ＝ PE＝ ， 27 ∴CD＝CE＝OD ＝OE＝ ∴ PO＝ ＝ ＝ ． ． ＝1， ∴P 到平面 ABC 的距离为 故答案为： ． 点评】 本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解； （2）代入计算公式： K＝ 比 较即可判断． 解答】 解：（ 1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率 女顾客对该商场服务满意的概率 P＝ ＝ ； （2）由题意可知， K2＝ ＝ ≈4.762>3.841， P＝ ＝ ， 2 ，然后把所求数据与 3.841 进行 故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 点评】 本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于 28 基础试题． 18．【分析】（ 1）根据题意，等差数列 {an} 中，设其公差为 d，由 S9＝﹣ a5，即可得 S9＝ ＝9a5＝﹣ a5，变形可得 a5＝0，结合 a3＝4，计算可得 d的值，结 合等差 数列的通项公式计算可得答案； （2）若 Sn≥an，则 na1+ 论，求 出 n 的取值范围，综合即可得答案． 【解答】 解：（1）根据题意，等差数列 { an}中，设其公差为 d， 若 S9＝﹣ a5，则 S9＝ 0， 若 a3＝ 4，则 d＝ 则 d≥a1+（n﹣1） d，分 n＝1 与 n≥ 2 两种情况讨 ＝9a5＝﹣ a5，变形可得 a5＝ 0，即 a1+4 d＝ ＝﹣ 2， a n3+（n﹣3） d＝﹣ 2n+10， ＝ a （ 2）若 Sn≥ an，则 na1+ d≥ a1+（ n﹣1）d， n n 1 1 当 n＝ 1 时，不等式成立， 当 n≥2 时，有 ≥d﹣a1，变形可得（ n﹣2）d≥﹣ 2a1， 又由 S9＝﹣ a5，即 S9＝ （ n ﹣ 2） ≥﹣ 2a1， 又由 a1> 0，则有 n≤ 10， 则有 2≤n≤ 10， 综合可得： n 的取值范围是 {n|1≤n≤10，n∈N} ． 【点评】 本题考查等差数列的性质以及等差数列的前 n 项和公式，涉及数列与不等式的 综合应用，属于基础题． 19．【分析】 法一： （1）连结 B1C，ME，推导出四边形 MNDE 是平行四边形，从而 MN ∥ED ，由此能证明 MN∥平面 C1DE ． ＝9a5＝﹣ a5，则有 a5＝0，即 a1+4d＝0，则有 29 （2）过 C作 C1E的垂线，垂足为 H，推导出 DE⊥BC，DE⊥C1C，从而 DE⊥平面 C1CE， DE⊥CH ，进而 CH⊥平面 C1DE，故 CH 的长即为 C 到时平面 C1DE 的距离，由此能求 出点 C 到平面 C1DE 的距离． 法二：（1）以 D为原点， DA为 x轴，DE 为 y轴，DD1为 z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明 MN ∥平面 C1DE． （2）求出 ＝（﹣ 1， ，0），平面 C1DE 的法向量 ＝（ 4，0，1），利用向量法能求 出点 C 到平面 C1DE 的距离． 解答】 解法 证明：（ 1）连结 B1C，ME，∵ M，E分别是 BB1，BC 的中点， ∴ ME ∥B1C，又 N为 A1D 的中点，∴ ND＝ A1D， ∴四边形 MNDE 是平行四边形， MN∥ED， 又 MN? 平面 C1DE，∴ MN∥平面 C1DE． 解：（ 2）过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H ， 由已知可得 DE⊥ BC，DE⊥C1C， ∴ DE ⊥平面 C1CE，故 DE⊥CH ， ∴ CH ⊥平面 C1DE ，故 CH的长即为 C到时平面 C1DE 的距离， 由已知可得 CE＝1，CC1＝ 4， ∴C1E＝ ，故 CH＝ ∴点 C 到平面 解法二： 证明：（ 1）∵直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是 BC，BB1，A1D 的中点． ∴DD 1⊥平面 ABCD，DE⊥AD， 以 D为原点， DA 为 x轴，DE 为 y轴，DD1为 z轴，建立空间直角坐标系， M（1， ，2），N（ 1，0，2），D（0，0，0），E（0， ， 0），C1（﹣ 1， ，4）， ＝（ 0，﹣ ， 0）， ＝（﹣ 1， ）， ＝（ 0， ）， 设平面 C1DE 的法向量 ＝（x，y， z）， 30 取 z＝1，得 ＝（ 4， 0， 1）， ＝0，MN? 平面 C1DE， ∴ MN∥平面 C1DE． 解：（2）C（﹣1， ，0）， ＝（﹣ 1， ，0）， 平面 C1DE 的法向量 ＝（ 4，0， 1）， ∴点 C 到平面 C1DE 的距离： d＝ d＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ． ． 【点评】 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 20．【分析】（1）令 g（ x）＝ f′（ x），对 g（ x）再求导，研究其在（ 0， 31 π）上的单调性， 结合极值点和端点值不难证明； （2）利用（ 1）的结论，可设 f′（ x）的零点为 x0，并结合 f′（ x）的正负分析得到 f （x）的情况，作出图示，得出结论． 解答】 解： （1） 证明：∵ f （x）＝ 2sinx﹣ xcosx﹣ x， ∴ f′（ x）＝ 2cosx﹣ cosx+xsinx﹣ 1 ＝ cosx+xsinx﹣ 1， 令 g（x）＝ cosx+xsinx﹣ 1， 则 g′（ x）＝﹣ sinx+sinx+xcosx ＝ xcosx， 当 x∈（ 0， ）时， xcosx> 0， 当 x 时， xcosx< 0， > 0， ∴当 x＝ 时，极大值为 g（ ）＝ 又 g（0）＝ 0， g（ π）＝﹣ 2， ∴ g（ x）在（ 0，π）上有唯一零点， 即 f′（ x）在（ 0， π）上有唯一零点； （2） 由（ 1）知， f′（ x）在（ 0，π）上有唯一零点 x0， 使得 f ′（ x0）＝ 0， 且 f ′（ x）在（ 0， x0）为正， 在（ x0，π）为负， ∴f（x）在 ［0，x0］递增，在 ［x0，π］递减， 结合 f（0）＝ 0，f（π）＝ 0， 可知 f（x）在 ［0，π］上非负， 令 h（ x）＝ ax， 作出图示， ∵f（x）≥ h（x）， ∴ a ≤ 0， ∴ a 的取值范围是（﹣∞， 0］． 32 【点评】 此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法， 难度较大． 21．【分析】（1）由条件知点 M 在线段 AB的中垂线 x﹣y＝0上，设圆的方程为 ⊙M 的方程 为（ x﹣a）2+ya2＝R2（R>0），然后根据圆与直线 x+2＝ 0 相切和圆 （﹣） 心到直线 x+y ＝0 的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可； （ 2）设 M 的坐标为（ x，y），然后根据条件的到圆心 M 的轨迹方程为 y＝4x，然后根据 抛物线的定义即可得到定点． 解答】 解：∵ ⊙M 过点 A，B 且 A 在直线 x+y＝ 0上， ∴点 M 在线段 AB 的中垂线 x﹣y＝0 上， 2 2 2 2 设⊙M 的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a） 2＝R2（R>0），则 圆心 M（a，a）到直线 x+y＝0 的距离 d＝ ， 又 |AB|＝4，∴在 Rt△OMB 中， d2+（ |AB|）2 ＝R2 即 又∵ ⊙ M 与 x＝﹣ 2 相切，∴ |a+2|＝ R② 由 ①② 解得 ∴⊙M 的半径为 2 或 6； （ 2）∵线段 AB 为⊙M 的一条弦 O 是弦 AB 的中点，∴圆心 M 在线段 AB 的中垂线上， 设点 M 的坐标为（ x，y），则 |OM|2+|OA|2＝|MA|2， ∵⊙M 与直线 x+2＝0 相切，∴ |MA|＝ |x+2|， 2 2 2 2 2 ∴|x+2|＝|OM|+|OA|＝x+y+4， 22222 33 ∴y2＝4x， ∴M 的轨迹是以 F（1，0）为焦点 x＝﹣1 为准线的抛物线， ∴ |MA |﹣ |MP |＝ |x+2|﹣ |MP | ＝ |x+1|﹣ |MP |+1＝ |MF |﹣ |MP |+1， ∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点 P与点 F重合，即 P 的坐标为（ 1，0）， ∴存在定点 P（ 1， 0）使得当 A 运动时， |MA|﹣ |MP |为定值． 【点评】 本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方 程的求法，属难题． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 ［选修 4-4：坐标系与参数方程 ］（10 分） 22．【分析】（1）把曲线 C的参数方程变形， 平方相加可得普通方程， 把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝ 0，可得直线 l 的直角坐标方程； （ 2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式） ，再由点到直线的距离公式写出距离， 利用三角函数求最值； 法二、写出与直线 l 平行的直线方程为 ，与曲线 C 联立，化为关于 x 的一 元二次方程，利用判别式大于 0 求得 m，转化为两平行线间的距离求 C 上的点到 l 距离 的最小值． 解答】 解：（ 1） （t 为参数），得 （x≠﹣ 1）， 两式平方相加，得 ∴C 的直角坐标方程为 （x≠﹣ 1）， 由 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝ 0，得 即直线 l 的直角坐标方程为得 ； （ 2）法一、设 C 上的点 P（ cosθ， 2sinθ）（ θ≠ π）， 则 P 到直线得 的距离为： d＝ ＝ 34 ． d＝ ＝ ∴当 sin（ θ+φ）＝﹣ 1 时， d 有最小值为 ． 35 法二、设与直线 平行的直线方程为 ， 联立 得 16x2+4mx+m2﹣12＝ 0． 22 由△＝ 16m2﹣64（ m2﹣ 12）＝ 0，得 m＝± 4． ∴当 m＝ 4 时，直线 与曲线 C 的切点到直线 的距离最小， 【点评】 本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆 位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题． ［选修 4-5：不等式选讲 ］（10 分） 23．【分析】（1）利用基本不等式和 1 的运用可证， （2）分析法和综合法的证明方法可证． 解答】 证明：（1）分析法：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝ 1． 要证（ 1） + + ≤ a 222+b+c ；因为 abc＝ 1． 就要222 + + ≤a+b+c； 证： 222 即 证： bc+ac+ab≤a +b 222 即： 2bc+2ac+2ab≤ 2a +2b +2c ； 222 2a +2b +2c ﹣2bc﹣2ac﹣ 2ab≥0 222 a﹣b） +（ a﹣c） +（b﹣c） ≥0； ∵ a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． ∴（a﹣b）≥0；（a﹣c）≥0；（b﹣c）≥0 恒成立；当且仅当： a＝b＝c＝1 时取等号． 即（ a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0 得证． 故 + + ≤ a2+b2+c2得证． 333 2 2 2 （2）证（ a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24 成立； 即：已知 a， b，c 为正数，且满足 abc＝ 1． （a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数； 333 （a+b） 3 +（b+c）+（c+a）≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）； 33 当且仅当（ a+b）＝（ b+c）＝（ c+a）时取等号；即： a＝b＝ c＝ 1 时取等号； ∵ a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． 36 （a+b）≥2 ；（ b+c）≥ 2 ；（c+a）≥ 2 ； 当且仅当 a＝b，b＝c；c＝a 时取等号；即： a＝ b＝ c＝ 1时取等号； 3 3 3 ∴（ a+b） +（ b+c）+（ c+a）≥ 3（a+b）?（b+c）?（ c+a）≥ 3×8 ? ? ＝333 24abc ＝24； 当且仅当 a＝b＝c＝1 时取等号； 故（ a+b） 3+（b+c）3+（ c+a）3≥ 24．得证． 故得证． 【点评】 本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．37 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容