使用留数定理计算实积分

一：教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二：教学目标或要求：

真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法

三、教学手段与方法： 讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习：5－7 用留数定理计算实积分

留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时

计算积分

在热学中将遇到积分

，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分

(

.

，b为任意实数)如用实函数分析

中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来.

把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分间

的积分区

可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的

变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线

左端可应用留数定理，如果介绍几个类型的实变定积分. 一 计算R(cos,sin)d型积分

02π，使和合成回路l,l包围着区域B，这样

容易求出，则问题就解决了，下面具体

令zei，则cos与sin均可用复变量z表示出来，从而实现将

R(cos,sin)变形为复变量z的函数的愿望，此时有

z21z21 cos ,sin2z2iz同时，由于zei，所以z1，且当由0变到2π时，z恰好在圆周c:z1上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有

2π0z21z211R(cos,sin)dR(,)dz

2z2izizz12π0于是，计算积分R(cos,sin)d的方法找到了，只需令zei即可。 例 求

。

解 当 时， ；当 时，令 ，

当 在

时，在

内，

仅以

为一级极点，

上无奇点，故由留数定理

当

时,在

内

仅以

为一级极点,在

上无奇点，

例 计算积分 .

解：令得：

先求

令其分母为零得： 这就是单极点

的奇点及其留数.

的两个单极点. 的模为：

所以极点

在单位圆内.而单极点

的模为:

所以

在单位圆外，在极点

处.

此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积分：

之值.

为此，在前例中，用

代

得：

两也对a求导得：

令a=1得，即：

例 求

。

解 为偶函数，故 ，

令 ，则

在 内部 仅有 为一级极点，

故

，

，比较实部得

，故

。

例 计算积分解：若直接作

.

变换，则积分复杂，若先考虑积分:

作变换：

，则:

因所以：

为

的

阶极点.

故：

比较两边的实部和虚部得：一 计算

。

P(x)dx型积分 Q(x)由于是区间

构成围线

，考虑添加辅助曲线，则

，

与实轴上

其中为落在内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出

的值，再取极限即得。

引理6.1 设

在

在圆弧

上一致成立(即与

。

证

，由于

在

上一致成立，故

充分大)上连续,且中的

无关)，则

，

定理6.7 设

为有理分式，其中

，

多项式,且（1）

；（2）在实轴上

为互质

，

则 。

证 由,

。作

,

,与线段

存在,且

一起构成

围线,取足够大，使的内部包含知,

在

在上半平面内的一切孤立奇 点,上没有奇点,由留数定理得

由在实轴上

，又

由于

。

当

时,

，由引理6.1，

，

于是 。

例 设解：

，计算

为偶函数，所以

函数

的奇点为

故在上半平面的奇点为：而：

，

x2dx。 例 计算积分x4x21P(z)z24解 经验证，此积分可用（7.11）式计算．首先，求出在2Q(z)zz1上半平面的全部奇点．令

z4z210 即z4z21(z42z21)z2(z21)2z2 (z2z1)(z2z1)0

于是，

P(z)在上半平面的全部奇点只有两个： Q(z)1313P(z)i 与 i且知道，与均为的一级极点． 2222Q(z)其次，算留数，有

13iP(z)z2Res(,)lim(z) zQ(z)(z)(z)(z)(z)43i13iP(z)z2Res(,)lim(z)

zQ(z)(z)(z)(z)(z)43i最后，将所得留数代入（7.11）式得

x2P(z)P(z)πdx2πi[Res(,)Res(,)]. x4x21Q(z)Q(z)3二 积分

的计算

引理6.2(Jordan) 设

在

证

在半圆周充分大)上连续,且 。

上一致成立，故

上一致成立，则

在

，由于

,

Jordan不等式

。由于

，

故 ，于是 。

定理6.8 设比

,其中及为互质多项式,且（1） ；（3）

，

的次数

的次数高；（2）在实轴上

则 ，特别地分开实、虚部就可以得到

证 略。 例 计算积分

与 的积分。

。

解：为偶函数，有两个单极点 ，其中

在上半平面，其留数为：

eixdx,a0． 例 计算积分x2a2

解 经验证，该积分可用（6.14）式计算．

eiz首先，求出辅助函数f(z)2在上半平面的全部奇点． 2za由z2a20解得zai与zai为f(z)的奇点，而a0，所以，f(z)在上半平面只有一个奇点 ai， 且ai为f(z)的一级极点． 其次，计算留数．有

eizeizea Res(2,ai)lim(zai)2zai(zai)(zai)2aiza最后，由（6.14）式得

eixeizπdx2πiRes(,ai)。 22x2a2azaae例 计算积分

解 若令

Eππcosxx24x5dx

cosxx24x5dx

eixdx Hπx24x5则EReH，即H的实部为E。因此，为了计算H，只需求出积分

eixdx x24x5 即可，而该积分可用（6.11）式计算。为用（6.11）式，先求出辅助函数

P(z)iz1e2eiz Q(z)z4z5在上半平面的奇点只有点2i（另一个奇点为2i），于是，由（6.14）式得

eixeizdx2πiRes(2,2i) x24x5z4z5而

eizeize12i,2i)lim(z) Res(2 z(z)(z)z4z52i故

eixπ2idxe x24x5eπ2(cos2isin2) 从而有 Heπ2cos2 于是 EReHe即

πcosxπ2dxcos2 x24x5e这里要指出的是，由所求积分的特征，计算所给积分也可直接利用（6.14）式进行。

复变函数论 课程教案

授课题目（教学章节或主题）： 授课类型 理论课 第二节 续 教学目标或要求： 授课时间 第 15 周第1－2 节 掌握 积分路径上有奇点的积分的计算 典型例题 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：积分路径上有奇点的积分的计算 典型例题 重点：积分路径上有奇点的积分的计算 难点： 典型例题 教学手段与方法： 讲授、练习 思考题、讨论题、作业与练习： 265 页1－5 参考资料（含参考书、文献等）： 《单复变函数》 J.B. 康威 著 吕以辇 张南岳 译 上海科学技术出版社 1985 注：1、每项页面大小可自行添减；2一次课为一个教案；3、“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4、授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课等。

4.计算积分路径上有奇点的积分

前面所讲的三种类型都是

在实轴上没有奇点的情况，如果

在

实轴上有奇点。那么前述计算方法不完全适用。例如

(为实数)，要计算法是在上半平面，作一个以然后令

取极限(如图所示)

在实轴上有一个奇点

，具体办进行，

，在作辅助线时，应绕过奇点为心，半径为的半圆周

，积分沿

令，上式左端用留数定理计算，再令

若满足引理条件，主要的就是求积分.如果实轴上有n

个奇点，那么分别以各奇点为心，为半径作上半平面的半圆，经过奇点即可， 例 计算狄利克雷积分 解：先将积分变换为

对于第二个积分，作变换

，则：

故

由于为的极点，实际上上式应写成：

这样我们作如图所示的辅助线，使组成一个复围线

，

那

么

：

令 在上半平面并无奇点，所以.而：

有

所以 因此：

(

为解析函数)因为解析函数在

上必有界(当

得：

而

在边界上达最大值， 时：

由此可

即

故

由此还可得出推论：