高中物理竞赛辅导讲义-第2篇-运动学汇编

高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v绝对 = v相对 + v牵连 或 v甲对乙 = v甲对丙 + v丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = an + aτ，其中an为法向加速度，大小为anv，方向指向圆r2v，方向指向切线方向。 心；aτ为切向加速度，大小为alimt0t六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为anv，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 2七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。 ―1― 2．刚体的平动 刚体的平动指刚体内所作的任一直线始终保持和自身平行，其特点为：刚体上任意两点A和B的运动轨迹相似，vA=vB，aA=aB。因此，刚体的平动可用其内任一质点的运动来代表。 3．刚体绕定轴的转动 刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动。其特点是刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的半径可不相等，但各点的半径转过的角度都相同，因而某一时刻刚体上所有各点的角位移φ、角速度ω和角加速度β（理解以上三概念可与直线运动中的位移、速度、加速度相类比）都相同，且有：limt0。 ，limt0tt当β为常量时，为匀加速转动，类似于匀加速直线运动。对这类运动有： 0t，0t1t2，2022。 22对于绕定轴转动的刚体上某点的运动情况，有：vR，aR，an2Rv。 R式中R为该点到轴的距离，aτ和an分别指切向加速度和法向加速度。 【例题选讲】 1．一物体沿长度为l1的斜面从静止开始作匀加速下滑，后又沿水平面作匀减速滑行了距离l2后静止。已知物体在整个滑行过程中所用的时间为t。求物体沿斜面及沿水平面运动的加速度a1和a2。 2．一固定的直线轨道上A、B两点间距s，将s分成n等分，令质点从A出发由静止开始以加速度a（常量）向B运动，当质点到达每一等分段末端时它的加速度增加a/n，试求质点到达B点时的速度vB。 ―2― 3．如图所示为某药厂自动生产流水线的部分装置，药片从漏斗口A经过光滑槽板到达传送带，若传送带和水平方向的夹角为，漏斗口A到传送带的竖直高度AB为h，若要使药片滑到传送带上的时间最短，则滑槽和竖直方向的夹角和滑槽的长度各为多少？（用h和表达） A β v h B α 4．自行车以速度为4m/s向东行驶，骑车人感到风从正南方向吹来，当速度增加到6m/s时，骑车人又感到风是从东南方向吹来，求风速的大小。 5．如图表示在一水平面上有A、B、C三点，AB=l，∠CBA=α，今有甲质点由A向B以速度v1作匀速运动，同时，另一质点乙由B向C以速度v2作匀速运动。试问运动过程中两质点间的最小距离为多少？ C v2 v1 α B A ―3― 6．如图所示，长为l的杆一端靠在竖直墙上，另一端搁在水平地板上。杆下端在水平面上以速度v0离墙运动。当杆与水平面成角α时，求：（1）杆上端的速度；（2）杆上哪一点运动速度最小？最小速度为多少？ B l v0 α A 7．如图所示，AB杆的A端以速度v匀速沿水平面向右运动，在运动时，杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R。当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C的速度和杆与圆柱接触点C′的速度大小。 B C R A v O θ 8．如图所示，一平面内有两根细杆l1和l2，夹角为θ，各自以垂直于自己的速度v1和v2在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。 v1 l1 θ l2 v2 ―4― 9．蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到距巢中心l1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。试问蚂蚁继续由A点爬到距巢中心l2=2m的B点需要多长时间？ 10．如图所示装置，在绳的C端以速率v匀速收绳，从而拉动低处的物体M水平前进，当绳BC段与水平恰成α角时，求物体M的速度。 v C B α M 11．已知一质点做变加速直线运动，初速度为v0，其加速度随位移呈线性减小的关系，即加速过程中加速度与位移之间满足关系a=a0−ks，式中a为加速度，s为位移，a0、k为常量，求当质点位移为s时的瞬时速度。 12．一个半径为半径为R的环（环心为O2）立在水平面上，另一个同样大小的环（环心为O1）以速度v从前一环的旁边经过。试求当两环环心相距为d（2R>d>0）时，两环上部交点A的运动速度。两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一个环擦过去的。 A O1 O2 ―5― 13．如图所示，两只小环O和O′分别套在静止不动的竖直杆AB和CD上，一根不可伸长的绳子一端系在C点上，穿过环O′，另一端系在环O上。若环以恒定速度v1向下运动，当∠AOO′=α时，求环O的速度。 A C O′ α O B D 14．如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h。轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接。物体A在下面的轨道上以匀速率v运动。 在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离，设绳长BO远大于滑轮直径，求：（1）小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向；（2）小水滴P落地时速度的大小；（3）小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间。 B 30° h P A v O 15．A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为l的等边三角形顶点A、B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A。试问经多少时间三人相聚？每个演员运动的路程多少？ ―6― 16．从底角为θ的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力。若斜面足够长，如图所示。求：（1）小球抛出后经多长时间离开斜面的距离最大？（2）小球抛出后离开斜面的最大距离是多少？ v0 θ 17．从高H处的一点O先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板落到水平地面上的B点，球2则与地面A点碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板，然后也落到B点，如图所示。设球2与地面碰撞遵循类似光的反射定律，且反弹速度大小与碰撞前速度大小相等，求竖直挡板的高度h。 O v H h A B 18．从水平地面上将物体斜向上抛出，速度大小为v0，试求与水平面成多大角度抛出物体落回地面时与抛出点的距离最大？最大距离是多少？ ―7― 19．如图所示，从倾角为θ的斜面底端以初速度v0抛出一个小球，要使小球落在斜面上的落点与抛出点的距离最大，则应沿什么方向抛出？最大距离为多少？ v0 θ 20．如图所示，从倾角为θ的斜面底端以初速度v0抛出一个小球，小球与斜面发生完全弹性碰撞后从原路返回抛出点。试求抛出时的速度方向。 v0 θ 21．在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时的速度大小为v0，试求铅球的最大射程。 22．一仓库高20m、宽40m，在仓库前某处A点抛一石块过屋顶，试问A距仓库前多远时，所需初速度v0最小？最小为多少？ A ―8― 23．一只狐狸以不变速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=l，如图所示，试求此时猎犬加速度的大小。 F A B v1 l v2 D 24．一只狐狸沿半径为R的圆形岛边缘以速率v匀速率奔跑，一只猎犬以相同的速率v从圆形岛中心O出发追击狐狸。设猎犬在追击过程中狐狸、猎犬和圆心O三者始终在同一直线上。问猎犬应沿什么轨道追击？在何处可以追上狐狸？ 25．合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，如图所示。顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求：（1）当构件的所有角都为直角时，顶点A1、A2、B2的速度。（2）若最大的菱形边长为L，则当构件的所有角都为直角时，顶点B1的加速度。 B1 B2 B3 A0 A1 A2 A3 ―9― 26．四根同样硬杆长均为L，杆端用铰链相接，构成菱形，其对角线BD比对角线AC长，如图所示。菱形平放在桌面上，某一时刻，A和C两顶点以同样大小速度v沿直线AC朝相反方向开始运动。求当菱形变成正方形时顶点B相对桌面的加速度。 B v v A C D 27．如图所示，用四根长度均为L的同样细杆做成菱形构件，各杆的两端用铰链相连，铰链A固定，一开始A和C两铰链彼此靠近且静止。某时刻开始，铰链C以恒定的加速度a水平向右运动。求当杆AB和BC成2α角时，铰链B具有的加速度。 B a A C D 28．已知等距螺旋线在垂直轴方向的截面圆半径为R，螺距为h。求此等距螺旋线的曲率半径ρ。 ―10― 29．有一半径为R的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，圆环中心以不变速度v0在圆环平面内水平向前运动。求圆环上与圆心等高的P点的瞬时速度、切向加速度和法向加速度。 30．如图所示，一根细绳的一端连接于A点，绳上距A点为a处系有一重物B，绳的另一端通过C点处定滑轮，A和C位于同一水平线上。现拉住绳右端，以恒定速率v收绳，当绳收至图示位置时，重物B两边的绳与水平线的夹角分别为α和β，求这时B点的速度、B沿AB方向的加速度和B沿BC方向的加速度。 A α β C v B 31．如图所示，线轴沿水平面作无滑动的滚动，并且线端A点的速度为v，方向水平向右。以铰链固定于B点的木板靠在线轴上，线轴的内、外半径分别为r和R。试确定木板的角速度ω与角α的关系。 C A v B α ―11― 32．足球运动员在距球门正前方s处罚球点，准确地从球门正中央横梁下边缘踢进一球。横梁下边缘离地面的高度为h，不计空气阻力。求运动员给予足球的最小速度v0。 33．一只狐狸以不变速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在AB上的F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图所示。设v2>v1，试求猎犬追上狐狸还需多长时间。 F A B v1 L v2 D 34．A、B、C、D四个小孩分别站在正方形的四个顶点，以相同的不变速率v作追逐游戏，A追B、B追C、C追D、D追A，而且每个小孩始终对准自己追逐的目标运动。设在追逐过程中某一时刻，正方形的边长为l，如图所示。求：（1）四个小孩再经过多少时间追到自己的目标？（2）每个小孩自那时刻起跑了多长路程？（3）每个小孩在那一时刻跑动的加速度多大？ A D v l v l v v B C ―12― 35．如图所示，五个质点A、B、C、D、E，某一时刻正好位于一个半径为R的圆上五个等分的位置。今让各质点均以速率v运动，而且在运动中质点A始终指着C，质点B始终指着D，质点C始终指着E，质点D始终指着A，质点E始终指着B。试求：（1）从开始直至五个质点会聚一点经历的时间为多长？（2）质点A在运动中将沿一条曲线运动，初始时此曲线的曲率半径为多大？ A B E C D 36．如图所示，有一半径为R的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，圆环中心以不变速度v0在圆环平面内向前运动。求圆环上与圆心等高的P点的瞬时速度、切向（沿速度方向）加速度和法向（垂直速度方向）加速度。 ω v0 O R D 37．一质点在平面上作匀变速运动，在时刻t=1s、3s、5s时，质点分别位于平面上的A、B、C三点，已知AB=8m，BC=6m，且AB⊥BC。试求此质点运动的加速度。 ―13― 38．磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带，绕好后带卷的末半径r末为初半径r0的3倍，绕带的时间为t1。要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的（等长）薄磁带，问需要多少时间t2。 39．在听磁带录音机的录音时发觉，经过时间t1=20min，带轴上带卷的半径减小一半。问此后半径又减小一半需要多少时间t2。 40．小球从高h0=120m处自由落下，着地后跳起，又落下，每与地面相碰一次，速度减少一半。（1）作出小球的v−t图象（向上为正）；（2）求小球从下落到停止的总时间和总路程。（g取10m/s2） 41．有两把齿距不同的梳子，其中一把每厘米有4个齿，另一把每厘米有5个齿。今将其重叠起来，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以看到亮段和暗段交替出现。如果把其中的一把梳子以1cm/s的速度移动，问亮的部位将以多大的速度移动？ ―14― 42．半径为R的自行车轮在平地上滚动，轮心速度为vC，在轮缘A处有一质点M，在如图所示的位置处（A、C连线和水平线平行）质点M脱离A点飞出，则质点M飞越的水平距离L为多少？ C M vC A 43．如图所示，一人作射靶游戏，为使每次枪弹都击中在靶面的同一条水平线上，则每次射击的瞄准点必须在靶面同一圆周上，试加以证明。已知水平线离地面高度为h，枪与靶相距为d，子弹发射速率为v0。 h d v0 O 44．如图所示，从O点以初速度v0射出一颗子弹，同时从距地面为h的A点自由落下一物体，若两者在B点相遇（B点离O点的水平距离为L），求子弹的初速度v0与水平方向的夹角θ。 A B v0 O θ ―15― 45．一水枪需将水射到离喷口水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m，若不计空气阻力，取g=10m/s2，求所需的最小初速度及发射仰角。 46．钢球沿着光滑的长梯弹跳，在每一级台阶上仅弹跳一次，如图所示。每次与台阶碰撞时，球要损失α=50%的动能。试求小球抛出时的初速度v及其与竖直线的夹角φ。（梯子台阶的高度h=10cm，宽l=20cm。） φ v h l 47．炮从掩蔽所下向外射击，掩蔽所与水平面倾斜成角α，如图所示。炮位于离掩蔽所的地基（B点）相距l的A点处。炮弹的初速度为v0，炮弹飞行的轨道位于图面上。求炮弹飞行的最远射程Xmax。 v0 α B A l ―16― 48．半径为R的车轮在地面上作无滑动的滚动，轮心速度为常量v0，试求轮边一质点的轨迹方程。 49．已知抛物线方程y=Ax2，试采用物理方法确定任意x处抛物线的曲率半径。 50．如图所示，一个直径为D的圆柱体侧面刻有螺距为h的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由落下，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？ 绳子 凹槽 h ―17― 51．如图所示，缠在线轴上的线绕过滑轮B后，以恒定速度v0被拉出，这时线轴沿水平面无滑动地滚动，线轴的内、外半径分别为r和R。求线轴中心点O的速度随线与水平方向的夹角α的变化关系。 v0 A α B O 52．如图所示，半径为R的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度v1、v2反向运动，圆柱与板之间无相对滑动。求圆柱上与板接触的A点处的加速度。 v1 A v2 53．如图所示，在xOy平面上有两半径均为R的圆，左圆圆心固定在坐标原点O，右圆圆心O′沿x轴以速度v0作匀速直线运动，t=0时两圆心重合，试求两圆交点之一P点的速率vP和加速度a各与时间t的关系。 y P x O O′ ―18― 54．如图所示，顶杆AB可在竖直槽K内滑动，其下端由凸轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速度ω转动。在图示瞬间，OA=r，凸轮轮缘与A接触处，法线n与OA之间夹角为α，试求此瞬时顶杆AB的速度。 B K A α O n M ω 55．当人在电影屏幕上看到汽车向前行驶时，如图所示的车轮并没有转动时，则汽车运动可能的最小速度为多少？已知电影每秒钟放映24个画面，转子半径为0.5m。 56．如图所示，一个圆台上底半径为r1，下底半径为r2，其母线AB长为l，放置在水平地面上，推动它之后，它自身以角速度ω旋转，整体绕O点作匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径OA及旋转一周所需的时间。 r2 r1 O A B ―19― 57．如图所示，直杆AB以匀速v搁在半径为r的固定圆环上作平动，试求图示位置时，杆与环的交点M的速度和加速度。 A B φ 58．如图所示，长度l=10cm的棒在光滑水平面上转动，同时以速度v=10cm/s朝着左侧墙滑动。某时刻棒与墙平行，且两者相距L=50cm，要使棒与墙平行相撞，则棒的角速度应A 该多大？ ω v l L 59．在水平地面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m，后轮直径为1.25m，两轮的轴的水平距离为2m。在行驶过程中，从前轮边缘的最高点A处水平飞出一小石块，0.2s后轮边缘的最高点B处也水平飞出一小石块，这两块石块先后落在地面上同一处，g取10m/s2，求拖拉机行驶时的速度大小。 ―20― 60．如图所示，由两个圆环组成的滚珠轴承，内环半径为R2，外球半径为R1，在两环之间分布着小圆球（滚珠）。外环以线速度v1顺时针方向转动，而内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心围绕圆环中心顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω。设小球与圆环之间无滑动发生。 v ω R1 R2 61．一木板板从空中下落，发现在某时刻，板上a点速度和b点速度相同，va=vb=v，且均位于板面上；同时还发现板上c点速度比速度v大一倍，c点到a和b两点距离等于a和b两点之间距离（为l），则板上哪些点的速度等于3v？ 62．如图所示，一半径为R的半圆柱体沿垂直于柱轴的水平方向作加速度为a的匀加速运动。在圆柱面上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向上下运动。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点为P，OP与竖直方向夹角为θ。求此时竖直杆运动的速度和加速度。 P R θ O ―21― 63．超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速，再通过流速来确定流量的仪器。一种超声波流量计的原理示意图如图所示。在充满流动液体（管道横截面上各点流速相同）管道两侧外表面上P1和P2处（与管道轴线在同一平面内），各置一超声波脉冲发射器T1、T2和接收器R1、R2。位于P1处的超声波脉冲发射器T1向被测液体发射超声脉冲，当位于P2处的接收器R2接收到超声脉冲时，发射器T2立即向被测液体发射超声脉冲。如果知道了超声脉冲从P1传播到P2所经历的时间t1和超声脉冲从P2传播到P1所经历的时间t2，又知道了P1、P2两点的距离l以及l沿管道轴线的投影b，管道中液体的流速u便可求得。试求u。 P1、T1、R1 u P2、T2、R2 64．如图所示，试在水平放置的半径为R的圆管内寻找一点C（指出其位置），C点不在竖直直径AB上，并具有如下性质：从C点无初速放下一小球，球与管壁经三次弹性碰撞后返回到C点。求小球所经历的时间t。 A C B 65．为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环境。在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态。现要求一架飞机在速率为v1=500m/s时进入失重状态试验，在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验。重力加速度g=10m/s2。试问： （1）在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何种运动，方可在一定范围内任意选择失重时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素。 （2）飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？ ―22― 66．细杆ABC在一竖直平面上靠着一个台阶放置，A端可沿着水平地面朝台阶运动，细杆不离开台阶拐角。当ABC杆与水平地面夹角为如图所示的φ时，杆的B点恰好位于台阶拐角处，而且C端运动速度值恰为A端运动速度值的2倍。试求杆BC长与AB长的比值α。 C B A φ 67．质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0。在运动过程中，质点的切向加速度与法向加速度的大小恒相等。求经过时间T后质点的速度v。 68．在竖直墙旁边立着一根长为L的小棍AB，甲虫停在棍的下端B，如图所示。当B端以恒定速度v开始沿地板向右运动时，甲虫相对棍以恒定速率u沿棍爬行。如果甲虫在棍最高点都没有脱离棍，求在甲虫沿棍运动的时间内它上升的最大高度。 A B ―23― 69．河水流速u在岸边等于零，从河岸到河中心流速和离岸的距离成正比例增大，河中心流速等于uL，河宽为2L。一艘船以对水的速度v从岸边出发，要使其到达出发点正对面河中心的浮标处，问船头必须和水流方向成多大角度？ 70．设湖岸MN为一直线，有一小船由岸边A点沿与湖岸成α=15°角匀速向湖中行驶，另有一人同时由A点出发，他先沿湖岸奔跑一段距离后再入水中游泳去追船，已知人在岸上奔跑的速度v1=4m/s，在水中游泳的速度v2=2m/s，问为了能追上船，船的最大速度值不能超过多少？ ―24―