第３６卷１期 ２０１ ３年１月 安徽师范大学学报（自然科学版） ｅｎｃｅ）Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｈｕｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉ Ｖ １．３６Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２ ０ １ ３ 一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性 陈文斌， 高 芳， 鲁世平 （安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖２４１０００） 摘要：对一类三次系统 ｆ，７２ ＝一 ＋娩一ｎｙ。＋Ｌｚ ＝Ｐ（３２，．ｙ）， 【 ＝ｚ＋ａ２７ｃ。＝Ｑ（３２， ）． 在（口＞０，咒＞４）情况下进行了定性分析，并得出系统极限环的存在性，唯一性及不存在性的一些 条件． 关键词：三次系统；奇点；极限环；存在性；唯一性 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—２４４３（２０１３）０１—００１２—０６ 引 言 众所周知，常微分方程直接研究和判断解的性质是常微分方程定性理论的基本思想．大量非线性振荡数 学模型、生态学中的种群竞争模型等都可归结到Ｌｉ６ｎａｒｄ方程的研究中，对此不少学者对其进行了不遗余力 的研究，同时也取得大量的研究成果，近年来，三次系统的研究工作日益增多，原因是生态系统中的 Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ系统、生化反应中的三分子模型等都可归结到三次系统的研究中来．此外，在机械振荡、化学反 应、无线电电子线路、人口动力学和非线性力学中三次多项式系统的数学模型随处可见．如文献［１］ ｆＩｚ ＝一 ＋８ｘ一口 ２Ｙ—ｂ２３ｙ—Ｌｚ３， ＜ｌ ＝ｚ＋ｂｘ２＋口ｚ３． 得到极限环的不存在性，存在性及唯一性的一些充分条件．文献［２］对系统 ｆｚ ＝一 ＋如＋００３２２ 一Ｌｚ３， ＜Ｉ ＝ 一口ｚ ． 进行了定性分析，得到极限环的不存在性，存在性及唯一性条件． 本文对一类三次系统 ｆｚ ＝一 ＋８ｘ—ｎｙ。＋Ｌｘ ＝Ｐ（３２， ）， Ｉ ＝ｚ＋ａｚ３＝Ｑ（ｚ， ）． （１） （２） （口＞０， ＞４）进行了定性分析，得到极限环的不存在性，存在性及唯一性的一些充分条件并用计算机 Ｍａｐｌｅ软件清晰画出系统轨线的走向，很好地佐证结论的正确性，并在最后给出了Ｌ＞０， ＞０（Ｏ为焦点） 情况下的全局结构． １ 奇点分析 １．１ 有限远奇点分析 由计算系统（１．１）一（１．２）知，系统只有一个平衡点ｏ（。，。）．它的线性变分矩阵为Ａ＝［ － １ｌ则它 的特征方程－ －Ａｌ＝ ２２－２８＋１＝。 收稿日期：２０１２—０８—１０ 基金项目：教育部科学技术重点基金项目（２０７０４７）；安徽省应用数学重点学科基金（２００９—２０１４）． 作者简介：陈文斌（１９８６一），男，安徽安庆人，硕士． 引用格式：陈文斌，高芳，鲁世平一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性［Ｊ］．安徽师范大学学报：自然科学版，２０１３，３６（１）：１２—１７ ３６卷第１期 陈文斌，高 芳，鲁世平： 一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性 ｌ３ ±￣／ —４ ＾１２— ．我化 们为 令 Ａ ＝ 一 ９ 分两种情况讨论： （ｉ） ≠０，当０＜ ＜２时，Ｏ为不稳定的焦点，见图１； ≥２时０为不稳定的结点，见图２．当一２＜ ＜０时，Ｏ为稳定的焦点，见图３； ≤一２时０为稳定的结点，见图４． Ｓ ４ ｎ ∞ Ｓ ＋ Ｌ 寸们 ＋ 口 Ｓ ∞ ｎ ｃ￡） ∞ Ｂ ＝ 乜 ∞ ＋ Ｓ 寸ｃ 一 （１．２） Ｌ 当 ＝０时，系统（１），（２）可转化为 ∞ Ｓ ｆ３２ ＝一Ｙ—ｎｙ。＋Ｌｚ。＝Ｐ１（ｚ， ）， ＜【 Ｙ ＝－ｚ＋口ｌｚ。＝Ｑ（ｚ，Ｙ）． ｌ（３） ｎ ＦＣＯＳＯ， ＝ ｒｌｆ ｔ １ ， ，嬲 ＋ＹＮ ）＝ｒ。（一ｎｓｉｎ４０ｃｏｓＯ＋ＬＣＯＳ４０＋ａｓｉｎＯｃｏｓ３０）， ．Ⅲｎ （４） 方 程 组 ５ （５） ／Ｌ 、 ｌ ｄＯ＝丢（ 一 ｚ ）＝１十ｒ （ａｃｏｄ０＋ｎｓｉｎ４０一Ｌｃｏｓ３０ｓｉｎＯ）． （６） ／Ｌ、 一 ６ 转 ｌ ＝Ａｒ。， ｌ掌：１＋Ｂｒ２． 消去 ，得 ｄｙ＝ ＝Ａｒ３＋… （７） （８） 并设解为ｒ＝ｃ＋ｒ２ｃ ＋ ３ｃ ＋…，其中ｒ２（０）＝ｒ３（０）＝…＝０，将此解代入（７）一（８），比较ｃ３的系数得 ｄｒ３（Ｏ）：Ａ 焦点量＝焦点量 ｇ３ ｒｊ。ｒ ３（Ｏ）ｄＯ ＝ｉｆ＝ （： （ ｎ一，ｚｓｉ ｓｎ４０ｃｏ Ｌｓ ＋ ｃｏｓ４０ ０＋ａｓｉｎ０ＣｃＯｏＳｓ３０＝０）ｄＯ ＝ ： ｊ一 Ｌｃｏｓ４０ｄＯ ３＝ Ｌ３ Ｌ， 所以 （１）当Ｌ＞０，０为不稳定的焦点，见图５． （２）当Ｌ＝０时，０为稳定的焦点，见图６． （３）当Ｌ＝０时，方程组（３）一（４）转化为 １４ 安徽师范大学学报（自然科学版） ２０１３年 图５取Ｌ＝１ ｆ ｚ ＝一Ｙ～ｎｙ ， （９） ＜ ｌＹ ＝ｚ＋ｎｌｚ ． （１０） 对系统（９）一（１０）进行变量分离法有 二三 推出２（Ｘ２＋Ｙ。）＋ａＴ． ＋ｎｙ ＝ｃ．根据文献［３］知 奇点０是方程的中心充要条件是存在与￡无关的实的正则积分Ｆ（ＬＥ，Ｙ）＝Ｃ，所以Ｌ＝０，Ｏ为中心，见图７． １．２ 无限远奇点分析 对系统（１）一（２），作ｐｏｉｎｃａｒ６变换，令 ＝ ， ： ，即 ＝ ，ｚ＝ ，系统（１）一（２）化为 ｆ ｄｕ ２ ２ｚ一 娩２＋ ４一 Ｌ＋ｚ２ａ ——————— ————一Ｉ ｄｔ ， ．＜ ｉ ｄｚ ３ ２一３ｚ３＋ “３２一Ｌ 【ｄｔ 令出＝ ｄｔ，上面的系统化为 』 一 Ｌ ＋口 Ｐ２（…）， （１１） ｆＬ ｇ三＝ｚ 一３ ３＋ｎＵ３Ｚ—Ｌｚ＝Ｑ２（“，ｚ）． （１２） 设系统在 轴（ｚ＝０）上平衡点为Ａ（ ，Ｏ），兵中 满足“ 一 Ｌ＋ａ＝０，令Ｆ（“）＝“ 一 Ｌ＋ａ，则Ｆ （ ） ＝４“３一Ｌ， （ ）＝１２ｕ２，从而Ｆ（甜）只有一个驻点 ＝ Ｌ）｛且有最小 ｍｉｎＦ（ ）＝一３（ ）｛＋ｎ．系 统（１１）一（１２）的线性变分矩阵的行列式在Ａ点为： Ｄ ｌ Ｑ Ｑ： ｌ ｌ０ Ｌ 。＝ ｆｌｕ３Ｏ＿一Ｌ Ｉ令Ｔ＝（４－Ｉ－，２）ｋ。一２Ｌ，△＝Ｔ 一４Ｄ， （ｉ）若０≤Ｌ＜４ ａ －ｉｆ ，则系统（１）一（２）在无限远处无奇点，即ｍｉｎＦ（“）＞０．若Ｌ＞４（号） ，即 ｍｉｎＦ（“）＜０，Ｆ（ ）＝０有两个正根分别为 １，“２，因为Ｔ＞０，Ｄ＞０，△＞０，此时Ａ２（“２，０）为不稳定的 结点；因为参数 ，Ｌ的任意性，当０＜“１＜（ ）｛，Ｔ＜０，Ｄ＞０，△＞０，此时Ａ１（甜ｌ，０）为稳定的结点，当 （ ）｛＜ ＜（ ）｛，Ｄ＜０，Ａ （ 。，０）为鞍点． （ｉｉ）同理可证，若一４（号）；＜Ｌ＜０，系统（１）一（２）在无限远处无奇点，即ｍｉｎＦ（ ）＞０．若Ｌ＜ ４（号） ，Ｆ（ ）＝０有两个负根分别为“３， ４，因为Ｔ＜０，Ｄ＞０，△＞０，此时Ａ３（“３，０）为稳定的结点； 因为参数 ，Ｌ的任意性，当（ ）｛＜“４＜０，Ｔ＞０，Ｄ＞Ｏ，△＞０，此时Ａ４（ ４，０）为不稳定的结点，ｍ（７ ）｛ ＜甜 ＜（ ）｛，Ｄ＜０，Ａ４（“ ，０）为鞍点． （ｉｉｉ）Ｌ＝４（３）３时，Ｒ［Ｊ ｍｉｎＦ（ ）＝０，“＝（ ）｛，Ａ（ ，０）为系统的高阶奇点，即李雅普洛夫型奇点，参 ３６卷第１期 陈文斌，高 芳，鲁世平： 一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性 １５ 照文献［４］作变换，令 ＝Ｕ一 ，ｙ＝ｚ，把（１１）一（１２）转化为 ｛ｌ 粤篓＝６ ２ ２＋ ２（１＋ ２一 ）＋ｘ２ｙ２＋２ｕｘｙ２—３ｘｙ２＋ ４＋４Ｉｚ３ ， ＝Ｊ ３ｚ＋ ３ ＋ ３＋３ｎｘ２ ２＋３ｎｘｙ３＋ ４一 ． 由３Ｉ３ｚ＋３，３乱＋ ＋ｌｚ ＋４ ｚ。，。＋３觚 ＋３ 。＋ｎｙ 一 ）＝０，利用隐函数定理知Ｙ：０，则 （ｚ，０）＝６ｘ 即 ＝２，ｇ＝６ｕ ，所以Ａ为鞍结点． （ｉ、，）同理可证，Ｌ＝一４（詈） 时，Ａ（ ，０）为系统的高阶奇点，即李雅普洛夫型奇点，其结果Ａ为鞍结点． 我们再做ｐＯｉｎｃａｒ６变换，ｚ＝詈， ＝ １，即 ： ，ｚ＝ １，系统（１）一（２）化为 ｆ ｄ — ２＋ ２８７Ｊ一 ＋ ２ｚ 二 ｌｄｔ— ｚ２ ’ １ｄ 一＿ｚ２ 一 ３ ｌｄｔ— ｚ２ ’ 令出： ｄｔ，上面的系统化为 ｆ ｄｖ：一 ２＋ｚ 一 ＋Ｖ２Ｚ２一Ｗ４Ｚ２￣ （１３） ｌ窘一Ｚ２Ｖ— （１４） 很明显，ｏ（ｏ，０）不是系统（１３）一（１４）上的平衡点，ｙ轴上无奇点． ２ 极限环的分析 定理１ 当系统（１）一（２）中， ≥０，Ｌ ＋ ≠Ｏ，则系统在全平面也无闭轨． 证明：用ＢｅｎｄｉｘＳＯｎ来判断 ＋ ａＱ＝ ＋３Ｌｚ 不变号，所以无闭轨． 定理２ 当系统（１）一（２）中，Ｌ＝ ＝０，则系统（１）一（２）存在一族围绕奇点ｏ（０，０）的闭轨线． 证明：由前面有限奇点的讨论（ｉｉ），知Ｌ＝ ：０，ｏ（ｏ，０）为中心，则系统（１）一（２）存在一族围绕奇点 ｏ（ｏ，０）的闭轨线． 下面我们讨论Ｌ和 异号时的情况，在讨论之前首先给出引理１，参照文献［５］． 引理１ 考虑系统 Ｉ．ｚ ＝一 （ ）一Ｆ（ｘ）， ｌ Ｙ ＝ｇ（ｘ）． ． 假设下面条件成立： （１）ｘｇ（ｘ）＞０，当ｚ≠０时； （２） （ ）＞０，当Ｙ≠０时，且ｃｐ（ｙ）单调增加； （３）厂（０）＜０（＞０），且存在实数ａ， ，使得厂１（ｚ）＝厂（ｚ）＋ｇ（ｘ）［ａ十 （－ｚ）］有单零点ｏＺ＇１＜０＜ ２， 且ｌｚ Ｃ－［ｚｌ，Ｘ２］时，ｆｌ（，２７）≤０（≥０）； （４）在［ １，－ｚ２］之外，函数 不减少（不增加）； （５）所有闭轨线都包含－ｚ轴上的区间［ｏＺ＇１，ｚ２］． 则系统至多有一个极限环，若存在必稳定（不稳定）． 定理３ 当Ｌ＜０， ＞０，若系统（１）一（２）满足０＜ａ＜６， ＜一Ｌ，２ｄ３＜３Ｌａ一３Ｌ时，系统至多 有一个极限环，若存在必稳定． 证明：在系统（１）一（２）中，我们令 （ ）：Ｙ＋ｎｙ。，ｇ（ｘ）＝ｚ＋ａ．Ｔｃ ，Ｖ（ｘ）＝一 一Ｌｘ。， （ｚ）＝ 一 一３ｋ ，根据引理ｌ可得，（１）ｘｇ（ｘ）＝Ｉｚ ＋ ＞０，当－ｚ≠０时；（２） （ ）＝Ｙ ＋ｎｙ ＞０，当 ≠ ０时，且 （ ）＝１十３ｎｙ ＞０，贝０ （ ）单调增加；（３）ｆ（Ｏ）＝一 ＜０，厂ｌ（ｚ）＝一 一３Ｌｘ ＋（Ｉｚ＋ 。）［口 １６ 安徽师范大学学报（自然科学版） ２０１３仨 ＋ （一 一Ｌｘ ）］，令ａ＝０，卢＝１，贝０ ｆｌ（ ）＝一 一３Ｌｘ ＋（Ｘ＋ａｉｒ。）［卢（一８ｘ—Ｌｚ ）］，由条件可推出 ｆｌ（１）＞０，ｆｌ（一１）＞０，则根据介值定理，必存在单零点ｚ１＜０＜ｚ２，又由于ｆｌ（ｚ）连续，则Ｘ∈［ １，ｚ２］ 时，ｆｌ（ｚ）≤０； （ ） ＝（ ） ＋（一３Ｌ—ｍ ＋（３Ｌ口一２ａ８—３Ｌ） ＋（一６Ｌａ 由条件知（鲁 ） ＞０，所以函数鲁 不减少，所以所有闭轨线包含ｚ轴上的区间［３２１￣Ｚ２］至多有一个极 限环，若存在必稳定． 定理４ 当Ｌ＞０， ＜０，若系统（１）一（２）满足０＜ａ＜６， ＞一Ｌ，２ａ８＞３Ｌａ一３Ｌ时，系统至多 有一个极限环，若存在必不稳定． 证明：在系统（１），（２）中，我们令 （ ）＝ ＋ｎｙ。，ｇ（ｘ）＝ｚ＋船。，Ｆ（ｚ）＝一鼢一Ｌｘ ，ｆ（ｘ）＝一 一３Ｌｘ ，根据引理１可得，（１）ｘｇ（ｘ）＝ｚ ＋ａｘ ＞０，当ｚ≠０时；（２） （ ）＝Ｙ ＋ｎｙ ＞０，当Ｙ≠０时， 且 （ ）＝１＋３ ７＇ ＞０，贝０ （ ）单调增加；（３ ｆ（ｏ）＝一 ＞０，ｆＩ（ｚ）＝一 一３Ｌｘ。＋（ｘ＋口ｚ。）『ａ＋ 卢（一３ｘ—Ｌｘ。）］，令ａ＝０，卢＝１，则，ｌ（ｚ）＝一 一３Ｌｚ ＋（ 十ａＴ，。）［ （一 一Ｌｘ。）］，由条件可推出－厂ｌ（１） ＜０，ｆ１（一１）＜０，则根据介值定理，必存在单零点ｚ１＜０＜ｚ２，又由于ｆｌ（．ｚ）连续，则－ｚ∈［Ｘ１，ｚ２］时， ＾（ｚ）≥０； （ ），＝（ ｇ（ｚ） 一３ｚ—Ｌｘ。） ＝ ＋（一３Ｌ一 ）ｚ ＋（３Ｌａ一２ａ３—３Ｌ）ｚ ＋（一６Ｌａ—ａ２ ）ｚ 由条件知（尝 ） ＜０，所以函数鲁 不增加，所以所有闭轨线包含ｚ轴上的区间［３：１，５Ｃ２］至多有一个极 限环，若存在必不稳定． 定理５ 当Ｌ＝一４（导） ， ＞０，若系统（１）一（２）满足０＜口＜６， ＜一Ｌ，２ａ８＜３Ｌａ一３Ｌ时，则 系统有唯一的极限环，见图８． 证明：首先由定理３知系统（１）一（２）满足０＜ａ＜６， ＜一Ｌ，２ａ３＜３Ｌａ一３Ｌ时，系统最多有一个 极限环，若存在必稳定；由无限远奇点分析中的（ｉｖ），知无限远点为鞍结点，是远离型的，此外系统在有限远 奇点由 ＜０知ｏ（０，０）是不稳定的焦点或结点，也是远离型的，我们可以把赤道相当于Ｐｏｉｎｃａｒ６一Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ 环域的外境接线，根据Ｐｏｉｎｃａｒｇ－Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ环域定理知道系统，故至少有一个稳定的极限环；综上所述系统有 唯一的极限环． ３ 全局结构 图７取Ｌ＝０ 下面仅给出Ｌ＜０， ＞０（Ｏ为焦点）情况下的全局结构．其他情况可根据综上所述可得． 定理６（１）若一４（号）；＜Ｌ＜０，ｏ点为不稳定的焦点，则系统在无限远处没有奇点，全局结构如图 ９；（２）若Ｌ＜一４（号） ，（ ）｛＜“ ＜０，ｏ点为不稳定的焦点，则Ａ３为系统的稳定结点，Ａ 为不稳定的结 点，全局结构如图１０；（３）若Ｌ＜一４（号）；，（ ） ＜ ＜（ ）｛．０点为不稳定的焦点，则Ａ３为系统的稳定 结点，Ａ４为鞍点，全局结构如图１１；（４）若Ｌ＝一４（号）ｉ，ｏ点为不稳定的焦点，则系统有唯一的极限环，且 ３６卷第１期 陈文斌，高 芳，鲁世平： 一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性 在Ａ点为鞍结点，全局结构如图１２ 图９ —４（号）｛＜Ｌ＜０ 图１０ Ｌ＜一４ 了ａ ２４．，（寺）｛＜“４＜ｏ 图１１ Ｌ＜一４（号）丢，（寺）｛＜“ ＜（寺）｛ 图１２ Ｌ＝一４‘了ａ ２－ 参考文献： ［１］张瑞海，陈海波．一类平面三次微分系统极限环的存在性与唯一性［Ｊ］．数学理论与应用，２００４，２４：３２—３５． ［２］陈文灯，一类三次系统的定性分析．系统科学与数学，１９９４，１４（４）：１９９９：１６—１８． ［３］张芷芬．微分方程定性理论．科学出版社，１９９７：１９６—３７５． ［４］罗定军．动力系统的定性与分支理论．科学出版社，２００１：３０—１１７． ［５］张锦炎，冯贝叶．常微分方程几何理论与分支问题．北京大学出版社，１９８５：２０—１０１． ［６］马知恩．一类三次系统极限环的存在唯一性［Ｊ］．数学年刊，１９８６，７Ａ：１—６． 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ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ；ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ；ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ