合用标准文案
Matlab 实现多元回归实例
〔一〕一般多元回归
一般在生产实践和科学研究中， 人们获取了参数 x
数据，需要求出关系式
y
f
x1 , , xn 和因变量 y 的
若是只考虑
x ，这时就可以用到回归解析的方法。
x x1 , , xn
f 是线性函数的状况，当自变量只有一个时，即， x1 , , xn 中 n 1 时，称
中 n 2 时，称为多元
为一元线性回归，当自变量有多个时，即， 线性回归。
进行线性回归时，有 4 个根本假设：
① 因变量与自变量之间存在线性关系； ② 残差是独立的； ③ 残差满足方差奇性； ④ 残差满足正态分布。
x
在 Matlab 软件包中有一个做一般多元回归解析的命令 regeress ，调用格式 以下：
也许 [b, bint, r, rint, stats] = regress(y,X,alpha)
此时，默认 alpha ＝ 0.05. [b, bint, r, rint, stats] = regress(y,X) 这里， y 是一个 n 1 的列向量， X 是一个 n
m
1 的矩阵，其中第一列是全 1 向
1 列向量对应回归方程的常数项〕 ， 量〔这一点关于回回来说很重要，这一个全
一般状况下，需要人工造一个全 1 列向量。 回归方程拥有以下形式：
y
01 x1 m
x
m
其中， 是残差。
在返回项 [b,bint,r,rint,stats] ① b
0 1
中，
m 是回归方程的系数；
② b int 是一个 m 2 矩阵，它的第 i 行表示 i ③ r 是 n 1 的残差列向量； ④ r int 是 n
的 (1-alpha) 置信区间；
2 矩阵，它的第 i 行表示第 i 个残差 r i 的(1-alpha) 置信区间；
说明：残差与残差区间杠杆图， 最幸好 0 点线周边比较均匀的分布， 而不表现必然的规律性，若是是这样，就说明回归解析做得比较理想。
⑤ 一般的， stast返回 4 个值： R2 值、F_检验值、阈值 f ，与明显性概率相关的
p 值〔若是这个 p 值不存在，那么，只输出前
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3 项〕。说明：
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（ 1〕一般说来， R2 值越大越好。
（ 2〕人们一般用以下统计量对回归方程做明显性检验： F_检验、 t_ 检验、以及相关系数检验法。 Matlab 软件包输出 F_检验值和阈值 f 。一般说来， F_检验值
越大越好，特其余，应该有 F_检验值
f 。
alpha ，那么说明回归
〔 3〕与明显性概率相关的 p 值应该满足 p alpha 。若是 p
方程中有节余的自变量， 能够将这些节余的自变量从回归方程中剔除 〔见下面渐渐回归的内容〕。
这几个技术指标说明拟合程度的利害。 这几个指标都好， 就说明回归方程是有意义的。
例 1〔Hamilton ，1987〕数据以下：
序号
1 2 3 4
Y
X1
X2
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
第一步 解析数据
在 Matlab 软件 包中 解析 可否具 有线性关 系，并作图 观察， M— 文件 opt_hanmilton_1987 ：
x1=[2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16]; x2=[9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96];
y=[12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12 .63,12.46]; corrcoef(x1,y); corrcoef(x2,y); plot3(x1,x2,y,
'*' );
获取结果： ans =
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ans =
即，corrcoef(x1,y) ＝0.0025 ，corrcoef(x2,y) 单变量线性关系。图形以下：
＝ 0.4341 ，说明没有特别明显的
也看不出有线性关系，但是，旋转图形，能够看出所有点几乎在一个平面上。
这说明， y, x1, x2 在一个平面上，满足线性关系：
a1 x1 a2 x2 b y a
y a0 a1 x1 a2 x2
也许，换成一个常有的形式
其中， 是残差。于是，在 Matlab 软件包中做线性多元回归，写一个 M—文件 opt_regress_hamilton ：
x1=[2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16]'; x2=[9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96]';
y=[12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12 .63,12.46]'; e=ones(15,1); x=[e,x1,x2];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05) rcoplot(r,rint)
其中， rcoplot 〔Residual case order plot
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〕表示画出残差与残差区间的杠杆
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图。执行后获取： b =
bint =
r =
rint =
stats =
1.0e+004 *
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0
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即， y 4.515 3.097x 1 1.0319x 2 。
置信度 95％，且 R2 1.0, F _ 检验值 39222
0 ，与明显性概率 0.05 相关的
p 0.0000 0.05 ，这说明，回归方程中的每个自变量的采用，都是有意义的。
残差杠杆图：
从杠杆图看出，所有的残差都在 0 点周边均匀分布，区间几乎都位于
之间，即，没有发现高杠杆点，也就是说，数据中没有强影响点、异常观察点。
综合起来看，以上回概括果〔回归函数、拟合曲线或曲面〕近乎圆满。
〔二〕渐渐回归
假设已有数据 X 和 Y，在 Matlab 软件包中，使用 stepwise 命令进行渐渐回
归，获取回归方程 Y
a1 X1 a2 X2 an X n，其中 是随机误差。 stepwise
命令的使用格式以下： stepwise(X,Y)
注意：应用 stepwise 命令做渐渐回归，数据矩阵 X 的第一列不需要人工加
一个全 1 向量，程序会自动求出回归方程的常数项〔 intercept 〕。
在应用 stepwise 命令进行运算时，程序不断提示将某个变量参加 〔 Movein 〕
Move out 〕。 回归方程，也许提示将某个变量从回归方程中剔除〔
说明：①使用 stepwise 命令进行渐渐回归，既有剔除变量的运算，也有引
入变量的运算，它 是目前应 用较为广 泛的一种多 元回归 方法。 ②在 运行 stepwise(X,Y) 命令时，默认明显性概率 0.05 。 例 2〔Hald,1960 〕Hald 数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量 Y 〔单位：卡／克〕与水泥中 4 种化学成分所占的百分比相关：
x1 : 3 Cao Al2 o3 x2 :3 Cao Sio2
x3 : 4 Cao Al 2 o3 Fe2 o3
x4 : 2 Cao Sio2
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在生产中测得 13 组数据：
序号 X1 1 7 2 1 3 11 4 11 5 7 6 11 7 3 8 1
9 10 11 12 13
X2 26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68
X3 6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8
X4 60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12
Y
2 21 1 11 10 f X 。
求出关系式 Y
解：〔 1〕本问题涉及的数据是 5 维的，不能够画图观察。先做异常值解析。 X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3, 71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12;10,68, 8,12];
Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3,1 09.4]'; A=[X,Y];
mahal(A,A)
程序执行后获取结果： ans =
能够认为数据都是正常的。 〔 2〕一般多元回归。
在 Matlab 软件包中写一个 M—文件 opt_cement_1:
X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47; 7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;
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2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12; 10,68,8,12];
Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,
93.1,115.9,83.8,113.3,109.4]'; a1=ones(13,1); A=[a1,X];
[b,bint,r,rint,stat]=regress(Y,A) rcoplot(r,rint)
程序执行后获取： b =
bint =
r =
rint =
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stat =
以及残差杠杆图：
于是，我们获取：
Y 62 .4054 1 .5511 x1
0 .5102 x2 0 .1019 x3 0.1441 x4
并且，残差杠杆图显示， 残差均匀分布在 0 点线周边，在 stat 返回的 4 个值中，
R2 ＝ ，说明模型拟合的很好。 F_检验值＝ 111.4792>0.000 ，吻合要求。
但是，与明显性概率相关的 p 值＝ ，这说明，回归方程中有些变量能够剔除。
（ 3〕渐渐回归
在 Matlab 软件包中写一个 M—文件 opt_cement_2: X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47; 7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44; 2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12; 10,68,8,12];
Y=[78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5, 93.1,115.9,83.8,113.3,109.4]'; stepwise(X,Y)
程序执行后获取以下渐渐回归的画面：
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X1
Coefficients with Error Bars
Coeff. t-stat p-val
X2
Move x4
X3
in
X4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Model History
17 E 16 S M R
15
14
1
程序提示：将变量 x4 加进回归方程〔 Move x4 in 〕，点击 Next Step 按钮，即，进行下一步运算，将第 4 列数据对应的变量 x4 参加回归方程。点击 Next Step 按健后，又获取提示：将变量 x1 加进回归方程〔 Move x1 in 〕，点击 Next Step
按钮，即，进行下一步运算，将第
1 列数据对应的变量 x1 参加回归方程。点击
Next Step 按健后，又获取提示： Move No terms ，即，没有需要参加〔也没有需要剔除〕的变量了。
注意：在 Matlab7.0 软件包中，能够直接点击“ All Steps 〞按钮，直接求出结果〔省略中间过程〕 。
X1
Coefficients with Error Bars
2
Coeff. t-stat p-val
-1
0
1
X2
X3
intercept
X4
E S
M 10 R
0
Model History
20
1 2 3
最后获取回归方程〔蓝色行是被保存的有效行，红色行表示被剔除的变量〕
：
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Y
103 097
. 1 43996
x1 . 0 613954
x4 .
回归方程中录取了原始变量 x1 和 x4 。模型评估参数分别为：
2
，修正的
2
值 R2
R 0 .972471
R
， 检验值＝
0 964212 F_ .
，与明显性
概率相关的 p 值＝ 1 .58106
10 8
0 .05 ，残差均方 RMSE＝ 〔这个值越
小越好〕。以上指标值都很好，说明回归收效比较理想。
别的，截距 intercept=103.097 〔Intercept = the estimated value of the constant term 〕，这就是回归方程的常数项。
我们将 x1 , x4 , y 的数据放在一起画图观察：
X=[7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,2 2,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12;10,68,8,12];
10 0 -10 -20 -30 60 50 40 30 20 10
;
plot3(X(:,1),X(:,4),Y)
程序执行后获取图形：
20
15
10
5
0
不断旋转画面观察，图形大体是一个平面。
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