南航矩阵论2013研究生试卷及答案

南京航空航天大学2012级硕士研究生

共 6 页 第 1 页 2012 ~ 2013学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷 考试日期：2013年1月15日 课程编号：A080001 命题教师： 阅卷教师： 学院 专业 学号 姓名 成绩 a11一、(20分) 设Va21a1222R|a11a22是R22的一个线性子空间，对a2201任意XV，定义：T(X)PXXP，其中P10. (1) 求V的一组基和维数； a11a12b11b12(2) 对任意A,BV，定义： aabb22222121(A,B)a11b112a12b12a21b21， 证明(A,B)是V的一个内积； (3) 求V在题（2）所定义的内积下的一组标准正交基; (4) 证明T是V的线性变换，并求T在题（1）所取基下的矩阵. 100100解答：(1) V的一组基为E1,E,E23,维数为3. 010010……………………………………(5分) (2) 直接验证内积定义的四个条件成立. …………………………… (4分) 1000101(3) 标准正交基E1,E2,E3. …………(5分) 2000110(4) 由于T(X)V,所以T是V的一个变换.又直接验证,知 T(XY)T(X)T(Y),T(kX)kT(X), 因此T是V的一个线性变换. ………………………………(3分) 100100线性变换T在基E1,E2,E3下的矩阵为 010010011. ……………………………………………(3分) T200200

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1103103a0二、(20分)设三阶矩阵A430，B031，C03a. 102003003(1) 求A的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形； (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵B和C是否相似，并说明理由. 解答: (1)A的行列式因子为D1()D2()1,D1()(2)(1)2;…(3分) 不变因子为d1()d2()1,d1()(2)(1)2; …………………(3分) 初等因子为2,(1)2;……………………(2分) 200Jordan标准形为J011. ……………………(2分) 001(2) a0,不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) a0, 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分)

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x41,x1x2三、(20分)已知线性方程组x1x2x32x41,不相容. x3x41(1) 求系数矩阵A的满秩分解； (2) 求广义逆矩阵A； (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵A11011112,A的满秩分解为 001110A111101. …………………(5分) 01001151-4(2) A151-415-527. ……………………(10分) 0332(3) 方程组的极小最小二乘解为x12154. …………(5分) 6

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四、(20分)已知幂级数1k11010kx的收敛半径为3,矩阵A1. k03120(1) 求A1,A,A2,AF； (2) 证明矩阵幂级数1Ak收敛； k03k(3) 求矩阵幂级数1Ak的和. k03k 解答：(1) A14,A3,A26,AF3. ………(10分) (2) 因为A2是相容范数，且A263，则(A)3在收敛半径内，因此级数收敛. ……………(5分) (3) 1kA2101kA(3)k3(3IA)120. ……………(5分) k03k0011 共 6 页第 6 页

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五、(20分)设A,B是两个n阶矩阵,其中A(aij)，证明: (1) 若对任意i1,2,,n，有|aij|1,则IA可逆； j1n(2) 若A,B都是Hermite正定矩阵，则AB的特征值均为正数； (3) 若A,B都是Hermite半正定矩阵，则tr(AB)0,并且当等号成立时,必有AB0. 解答： (1) 由|aij|1可得，A1，由于A是相容范数，则(A)1，IA的j1n特征值都不为零，因此IA可逆. ………………………(6分) (2) A0AS2SSH,这里S是可逆的Hermite矩阵,从而ABSSHB.由于SSHB与SHBS有相同的特征值，且SHBS0，所以AB的特征值均为正数. ………………(8分) (3) A0AS2SHS,ABSHSB，这里S是Hermite矩阵.由于SHSB与SBSH有相同的特征值，且SBSH0,所以AB的特征值均为非负数,从而tr(AB)tr(SBSH)0. …………………(4分) 当tr(AB)0时,有tr(SBSH)0,从而SBSH0.设BQ2QQH,这里Q也是Hermite矩阵,则 SBSHSQQHSH(SQ)(SQ)H. 于是SQ0,由此得到AB0. …………(2分) .