班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________
1、在美术字中，有些阿拉伯数字是轴对称，下面4个数字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2、新冠病毒的直径大小在60～140纳米左右，呈圆形或者椭圆形，主要通过呼吸道进行传播．已知140纳米=0.00000014米，0.00000014用科学记数法表示是（ ）
A. 1.4×10−6
3、若分式
B. 1.4×10−5 C. 1.4×10−7 D. 140×10−9
3𝑥−6
的值为0，则𝑥的值是（ ） 𝑥+1
A. 2 B. −1 C. 2或−1 D. −2
4、如图，有一池塘，要测池塘两端𝐴、𝐵的距离，可先在平地上取一个点𝐶，连接𝐴𝐶并延长到点𝐷，使𝐶𝐷=𝐶𝐴，连接𝐵𝐶并延长到点𝐸，使𝐶𝐸=𝐶𝐵，连接𝐷𝐸，那么量出𝐷𝐸的长就是𝐴、𝐵的距离，这里运用了全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的依据是（ ）
A. 𝑆𝑆𝑆 B. 𝑆𝐴𝑆 C. 𝐴𝑆𝐴 D. 𝐻𝐿
5、一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
6、下列运算正确的是（ ）
A. 3𝑎3·2𝑎2=6𝑎6 B. 𝑎6÷𝑎2=𝑎3 C. (−2𝑎3)4=8𝑎12 D. 2𝑎+2𝑎=2𝑎+1
7、下列各式从左到右的变形，不正确的是（ ）
A.
2𝑏𝑐𝑎𝑐
=𝑎
𝑥2−9
𝑥2+6𝑥+9
2𝑏
B. −
2−𝑥𝑥
=𝑥
𝑥+𝑦
𝑥−2
C. 𝑥−3=
𝑥+3
D. (𝑥−𝑦)2=−(𝑦−𝑥)2
𝑥+𝑦
8、计算(𝑥+2𝑦−3)(𝑥−2𝑦+3)的结果是（ ）
A. 𝑥2−4𝑦2+12𝑦−9 C. 𝑥2−4𝑦2+9
B. −𝑥2+4𝑦2−12𝑦+9 D. 𝑥2−4𝑦2−12𝑦−9
9、如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=2∠𝐶，𝐴𝐷、𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线，下列两个结论：①𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐷𝐶；②𝐴𝐵+𝐵𝐸=𝐴𝐶，其中正确的
是（ ）
A. 只有①对 B. 只有②对 C. ①②都对 D. ①②都不对
10、已知𝑥2−2𝑥−1=0，则2𝑥3−6𝑥2+2𝑥+1=（ ）
A. −1
𝑥
B. 5 C. −3 D. 1
11、使分式𝑥−1有意义的𝑥的取值范围是 ．
12、用一根长18𝑐𝑚的细绳围成一个边长为4𝑐𝑚的等腰三角形，则腰长是______𝑐𝑚． 13、若𝑥2+2(𝑚−3)𝑥+16是完全平方式，则𝑚的值为______．
𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵，𝑀𝑁14、如图，在△𝐴𝐵𝐶中，过点𝑂作𝑀𝑁//𝐵𝐶，分别与𝐴𝐵、𝐴𝐶相交于点𝑀、𝑁.若△𝐴𝐵𝐶的周长为18，△𝐴𝑀𝑁的周长为12，则𝐵𝐶=______．
15、如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为𝑎米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(𝑎−1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了𝑚千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多多少？多的这个值是______．
16、在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=𝛼(𝛼<60°)，点𝐸、𝐹分别为𝐴𝐶和𝐴𝐵上的动点，𝐵𝐸与𝐶𝐹相交于𝐺点，且𝐵𝐸+𝐸𝐹+𝐶𝐹的值最小．
(1)如图1，若𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝛼=40°，则∠𝐴𝐵𝐸=______°； (2)如图2，∠𝐵𝐺𝐶=______.(用含𝛼的式子表示) 17、解分式方程： (1)2𝑥=𝑥+3；
1
2
(2)
𝑥𝑥+1
=
2𝑥−1
+1． 3𝑥+3
18、如图，𝐴𝐶⊥𝐶𝐵，𝐷𝐵⊥𝐶𝐵，垂足分别为点𝐶、𝐵，𝐴𝐵=𝐷𝐶，求证：∠𝐴=∠𝐷．
19、因式分 (1)𝑥2𝑦−4𝑦；
(2)−2𝑥2+8𝑥𝑦−8𝑦2； (3)(𝑥−2)(𝑥+3)−6𝑥．
20、(1)计算：[6𝑥2·(−𝑥)2+(−2𝑥)3]÷(−2𝑥2)； (2)先化简，再求值：(𝑚+2+
53−𝑚
，其中𝑚)÷
2−𝑚3𝑚−6
=−．
2
3
21、如图是由小正方形组成的6×6网格．每个小正方形的顶点叫做格点，点𝐴，𝐵，𝐶均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线表示)． (1)在图1中，画一个以𝐴𝐵为腰的等腰△𝐴𝐵𝐶；
(2)①在图2中，画一个以𝐴𝐵为腰，以𝐴为直角顶点的等腰𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸； ②在图2中，画𝐴𝐵延长线上的点𝐹，使得∠𝐶𝐹𝐴=45°； (3)在图3中，画𝐴𝐵的垂直平分线．
22、在“乡村振兴”行动中，某村办企业以𝐴、𝐵两种农作物为原料开发了一种产品．已知𝐴原料每千克的费用是𝐵原料每千克费用的1.5倍，若用900元收购𝐴原料比用900元收购𝐵原料少100𝑘𝑔．
(1)求𝐴原料和𝐵原料每千克的费用；
(2)生产该产品每盒需要𝐴原料2𝑘𝑔和𝐵原料4𝑘𝑔，每盒还需其他成本9元．求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本)．
𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝑛𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐶𝐸，𝐴𝐸与𝐵𝐷23、在等腰△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷和点𝐸分别为𝐴𝐶和𝐵𝐶边上的点，相交于点𝐹． (1)当𝑛=1时，
①如图1，求证：𝐴𝐸=𝐵𝐷； ②如图1，求∠𝐴𝐹𝐷的度数；
③如图2，若𝐴𝐹=2𝐵𝐹，作𝐴𝐺⊥𝐵𝐷，垂足为𝐺点，连接𝐶𝐺，求证：𝐺𝐹=𝐺𝐶． (2)当𝑛=时，如图3，若𝐴𝐸+𝐵𝐷取得最小值，直接写出
3
2
𝐵𝐸
的值． 𝐸𝐶
24、在平面直角坐标系中，已知𝐴点坐标为(0,4)，𝐵点坐标为(𝑚,0)(−4<𝑚<0)，点𝐶为第四象限内一点，∠𝐵𝐴𝐶=45°，连接𝐵𝐶． (1)当𝐴𝐵⊥𝐵𝐶时，
①如图1，若𝑚=−2，请直接写出𝐶点坐标； ②如图2，𝐷为𝐴𝐶的中点，连接𝑂𝐷，求∠𝐴𝑂𝐷的度数； (2)如图3，𝐵𝐶与𝑦轴交于𝐸点．若𝐸𝐴=𝐸𝐶，求𝐶点的横坐标．
参考答案及解析
1.答案：𝐵
解析：此题主要考查了轴对称图形的定义，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．利用轴对称图形的定义进行判断即可．
“3”能找到这样的一条直线，使其沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，可以看作是轴对称图形，但是“2”、“4”、“5”不能找到这样的一条直线，使其沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不可以看作是轴对称图形． 所以选：𝐵．
2.答案：𝐶
解析：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 科学记数法一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10， 所以0.00000014=1.4×10−7． 所以选：𝐶．
3.答案：𝐴
解析：本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可． 由题意得：3𝑥−6=0且𝑥+1≠0， 解得：𝑥=2． 所以选：𝐴．
4.答案：𝐵
解析：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 在△𝐴𝐶𝐵与△𝐷𝐶𝐸中，
𝐶𝐴=𝐶𝐷,
{∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸, 𝐶𝐵=𝐶𝐸,
∴△𝐴𝐶𝐵≌△𝐷𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐵=𝐷𝐸． 所以选：𝐵．
5.答案：𝐵
解析：本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点作对角线有(𝑛−3)条．
设这个多边形的边数为𝑛，根据多边形的内角和定理得到(𝑛−2)×180°=1260°，然后解方程即可． 设这个多边形的边数为𝑛，根据多边形的内角和定理得到(𝑛−2)×180°=1260°， 解得𝑛=9，所以这个多边形为九边形．
从这个多边形的一个顶点出发作对角线共有：9−3=6(条)． 所以选：𝐵．
6.答案：𝐷
解析：此题主要考查了单项式乘单项式以及合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用单项式乘单项式以及合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别计算，进而得出答案．
𝐴.3𝑎3·2𝑎2=6𝑎5，故此选项不合题意； B.𝑎6÷𝑎2=𝑎4，故此选项不合题意； C.(−2𝑎3)4=16𝑎12，故此选项不合题意； D.2𝑎+2𝑎=2𝑎+1，故此选项符合题意． 所以选：𝐷．
7.答案：𝐷
解析：本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质判断即可． 𝐴.∵𝑐≠0，同时约掉𝑐，
∴𝑎𝑐=𝑎，故A正确，不符合题意； B.−
2−𝑥
𝑥2𝑏𝑐
2𝑏
=𝑥，将负号放到分子上，故B正确，不符合题意；
𝑥−2
C.∵𝑥+3≠0，分子分母同时乘𝑥+3， ∴𝑥+3=𝑥2+6𝑥+9，故C正确，不符合题意； D.
𝑥+𝑦
2
𝑥−3
𝑥2−9
(𝑥−𝑦)
=
𝑥+𝑦
(𝑦−𝑥)
2，无法变形，故D不正确，符合题意．
所以选：𝐷．
8.答案：𝐴
解析：
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
将各多项式分组，利用平方差公式计算，再用完全平方公式计算即可．
(𝑥+2𝑦−3)(𝑥−2𝑦+3) =[𝑥+(2𝑦−3)][𝑥−(2𝑦−3)]
=𝑥2−(2𝑦−3)2
=𝑥2−4𝑦2+12𝑦−9． 所以选：𝐴．
9.答案：𝐶
解析：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
在𝐴𝐶上截取𝐴𝐹=𝐴𝐵，连接𝐸𝐹，由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐸，可得𝐵𝐸=𝐸𝐹，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐹𝐸，由外角的性质可得∠𝐶=∠𝐹𝐸𝐶，可得𝐸𝐹=𝐶𝐹=𝐵𝐸，可得𝐴𝐵+𝐵𝐸=𝐴𝐶，故②正确；在𝐷𝐶上截取𝐷𝑀=𝐵𝐷，连接𝐴𝑀，由线段的垂直平分线的性质可得𝐴𝐵=𝐴𝑀，由等腰三角形的性质和外角的性质可得∠𝐶=∠𝑀𝐴𝐶，可得𝐴𝑀=𝑀𝐶=𝐴𝐵，可得𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐷𝐶，故①正确，即可求解． 如图，在𝐴𝐶上截取𝐴𝐹=𝐴𝐵，连接𝐸𝐹，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸． 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐹𝐸中，
𝐴𝐵=𝐴𝐹,
{∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸, 𝐴𝐸=𝐴𝐸,
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐹𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐸=𝐸𝐹，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐹𝐸． ∵∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐸=2∠𝐶=∠𝐶+∠𝐹𝐸𝐶， ∴∠𝐶=∠𝐹𝐸𝐶， ∴𝐸𝐹=𝐶𝐹=𝐵𝐸，
∴𝐴𝐶=𝐴𝐹+𝐹𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐸，故②正确； 在𝐷𝐶上截取𝐷𝑀=𝐵𝐷，连接𝐴𝑀． ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐷=𝐷𝑀， ∴𝐴𝐷垂直平分𝐵𝑀， ∴𝐴𝐵=𝐴𝑀， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝑀𝐵． ∵∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐶，
∴∠𝐴𝑀𝐵=2∠𝐶=∠𝐶+∠𝑀𝐴𝐶， ∴∠𝐶=∠𝑀𝐴𝐶， ∴𝐴𝑀=𝑀𝐶=𝐴𝐵，
∴𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝑀+𝐷𝑀=𝐶𝑀+𝐷𝑀=𝐷𝐶，故①正确． 所以选：𝐶．
10.答案：𝐴
解析：此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式变形后，分解因式，把已知等式变形后代入计算即可求出值． ∵𝑥2−2𝑥−1=0， ∴𝑥2−2𝑥=1，
∴2𝑥3−6𝑥2+2𝑥+1 =2𝑥3−4𝑥2−2𝑥2+2𝑥+1 =2𝑥(𝑥2−2𝑥)−2𝑥2+2𝑥+1
=2𝑥−2𝑥2+2𝑥+1
=−2𝑥2+4𝑥+1 =−2(𝑥2−2𝑥)+1 =−2×1+1
=−1． 所以选：𝐴．
11.答案：𝑥≠1
解析：本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0． 先根据分式有意义的条件列出关于𝑥的不等式，求出𝑥的取值范围即可． ∵分式𝑥−1有意义， ∴𝑥−1≠0，解得𝑥≠1． 所以答案为：𝑥≠1．
𝑥
12.答案：7
解析：本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 分两种情况：4𝑐𝑚为腰长和底边长计算可求解． 分情况讨论：
①当4𝑐𝑚为腰长时，则底边长为18−4−4=10(𝑐𝑚)， 4+4<10， ∴此三角形不存在；
②当4𝑐𝑚为底边长时，则腰长为2∵4+7>7， ∴此三角形存在．
∴等腰三角形的腰长为7𝑐𝑚． 所以答案为：7．
18−4
=7(𝑐𝑚)，
13.答案：7或−1
解析：本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 根据完全平方公式即可求出答案．
𝑥2+2(𝑚−3)𝑥+16=(𝑥±4)2=𝑥2±8𝑥+16， ∴2(𝑚−3)=±8， ∴𝑚=7或−1．
所以答案为：7或−1．
14.答案：6
解析：本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据角平分线的定义及平行线的性质证得𝑀𝑂=𝑀𝐵，𝑁𝑂=𝑁𝐶是解决问题的关键．
𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵，𝑁𝑂=𝑁𝐶，根据𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，且𝑀𝑁//𝐵𝐶，结合等腰三角形的判定可证得𝑀𝑂=𝑀𝐵，得到三角形𝐴𝑀𝑁的周长=𝐴𝐵+𝐴𝐶，根据△𝐴𝐵𝐶的周长即可求得𝐵𝐶． ∵𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑀𝐵𝑂=∠𝑂𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝑁=∠𝑂𝐶𝐵， ∵𝑀𝑁//𝐵𝐶，
∴∠𝑀𝑂𝐵=∠𝑂𝐵𝐶，∠𝑁𝑂𝐶=∠𝑂𝐶𝐵， ∴∠𝑀𝐵𝑂=∠𝑀𝑂𝐵，∠𝑁𝑂𝐶=∠𝑁𝐶𝑂， ∴𝑀𝑂=𝑀𝐵，𝑁𝑂=𝑁𝐶， ∵△𝐴𝐵𝐶的周长为18， ∴𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶=18， ∵△𝐴𝑀𝑁的周长为12，
∴𝐴𝑀+𝑀𝑁+𝐴𝑁=𝐴𝑀+𝑀𝑂+𝑂𝑁+𝐴𝑁=𝐴𝑀+𝑀𝐵+𝑁𝐶+𝐴𝑁=𝐴𝐵+𝐴𝐶=12， ∴𝐵𝐶=18−(𝐴𝐵+𝐴𝐶)=18−12=6． 所以答案为：6．
15.答案：(𝑎−1)2(𝑎+1)
解析：本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意列出正确的式子求解． 先用含𝑎的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解． 由题意得：
“丰收1号”的单位面积产量为：
𝑚𝑚𝑎2−122𝑚
=𝑎2−1，
𝑚
“丰收2号”的单位面积产量为：(𝑎−1)2， ∵𝑎2−1>(𝑎−1)2， ∴𝑎2−1<∴
𝑚(𝑎−1)
211𝑚
(𝑎−1)
2，
−𝑎2−1>0，
∴
=
− 22
(𝑎−1)(𝑎+1)(𝑎−1)(𝑎+1)
𝑎𝑚+𝑚−(𝑎𝑚−𝑚)= 2
(𝑎−1)(𝑎+1)𝑎𝑚+𝑚−𝑎𝑚+𝑚= 2
(𝑎−1)(𝑎+1)
(𝑎+1)𝑚
−2 2
(𝑎−1)𝑎−1
𝑚𝑚
(𝑎−1)𝑚
=
2𝑚
2
(𝑎−1)(𝑎+1)
，
2𝑚
即高的单位面积产量比低的单位面积产量多(𝑎−1)2(𝑎+1)． 所以答案为：
2𝑚
2
(𝑎−1)(𝑎+1)
．
16.答案：(1)50
(2)180°−𝛼
解析：本题考查了轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是将𝐵𝐸+𝐸𝐹+𝐶𝐹的值最小的隐藏条件找出．
(1)先找到𝐵𝐸+𝐸𝐹+𝐶𝐹的值最小的隐藏条件，𝐸𝐹的长受𝐵𝐸，𝐶𝐹长度的影响，𝐵𝐸，𝐶𝐹最短时，𝐸𝐺，𝐹𝐺最短，在△𝐸𝐹𝐺中，𝐸𝐹<𝐸𝐺+𝐹𝐺，所以𝐸𝐺，𝐹𝐺最短时，𝐸𝐹也最短，根据垂线段最短即可解决问题；
(2)结合(1)的思想，即可解决问题．
(1)如图，过点𝐵，𝐶分别作𝐵𝑀⊥𝐴𝐶，𝐶𝑁⊥𝐴𝐵于点𝑀，𝑁，
∵点𝐸、𝐹分别为𝐴𝐶和𝐴𝐵上的动点， 当𝐸与𝑀重合时，即𝐵𝐸⊥𝐴𝐶时，𝐵𝐸最短， 同理当𝐹与𝑁重合时，即𝐶𝐹⊥𝐴𝐵时，𝐶𝐹最短， 此时，𝐵𝐸+𝐸𝐹+𝐶𝐹的值最小． ∵∠𝐴=𝛼=40°，∠𝐴𝐸𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐵𝐸=90°−40°=50°， 所以答案为：50；
(2)∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐵𝐹𝐶=90°， ∴∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐸=90°， ∴∠𝐴𝐵𝐸=90°−𝛼，
∴∠𝐵𝐺𝐶=∠𝐹𝐵𝐺+∠𝐵𝐹𝐺=90°−𝛼+90°=180°−𝛼． 所以答案为：180°−𝛼．
17.答案：(1)2𝑥=𝑥+3，
去分母得：𝑥+3=4𝑥， 解得：𝑥=1，
检验：把𝑥=1代入得：2𝑥(𝑥+3)≠0， ∴分式方程的解为𝑥=1； (2)
𝑥𝑥+1
12
=
2𝑥−1
+1， 3𝑥+3
去分母得：3𝑥=2𝑥−1+3𝑥+3， 解得：𝑥=−1，
检验：把𝑥=−1代入得：3(𝑥+1)=0， ∴𝑥=−1是增根，分式方程无解．
解析：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥的值，经检验即可得到分式方程的解．
18.答案：证明：∵𝐴𝐶⊥𝐶𝐵，𝐷𝐵⊥𝐶𝐵，
∴△𝐴𝐶𝐵与△𝐷𝐵𝐶均为直角三角形． 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵与𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐶中，
𝐴𝐵=𝐷𝐶,
{ 𝐶𝐵=𝐵𝐶,
∴𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵≌𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐶(𝐻𝐿)， ∴∠𝐴=∠𝐷．
解析：本题考查全等三角形的判定与性质．注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉“𝐻𝐿”定理是解答的关键．
只需证明△𝐴𝐶𝐵与△𝐷𝐵𝐶全等即可．
19.答案：(1)原式=𝑦(𝑥2−4)
=𝑦(𝑥+2)(𝑥−2)；
(2)原式=−2(𝑥2−4𝑥𝑦+4𝑦2) =−2(𝑥−2𝑦)2； (3)原式=𝑥2+𝑥−6−6𝑥
=𝑥2−5𝑥−6
=(𝑥−6)(𝑥+1)．
解析：此题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决此题关键． (1)先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； (2)先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可； (3)先计算多项式的乘法，再利用十字相乘法因式分解即可．
20.答案：(1)原式=(6𝑥2·𝑥2−8𝑥3)÷(−2𝑥2)
=(6𝑥4−8𝑥3)÷(−2𝑥2)
=−3𝑥2+4𝑥； (2)原式=
𝑚2−453(𝑚−2)(𝑚−2−𝑚−2)·−(𝑚−3)
=
(𝑚+3)(𝑚−3)3(𝑚−2)
·
𝑚−2−(𝑚−3)=−3(𝑚+3)
=−3𝑚−9， 当𝑚=−时， 原式=−3×(−)−9 3
=2−9
=−7．
解析：本题主要考查整式的混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
(1)先计算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后计算多项式除以单项式即可； (2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将𝑚的值代入计算即可．
2
2
321.答案：(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶即为所求；(答案不唯一)
(2)①如图2，△𝐴𝐵𝐸即为所求； ②如图2，∠𝐴𝐹𝐶即为所求； (3)如图3，直线𝑃𝑄即为所求．
解析：本题考查作图−应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． (1)根据等腰三角形的定义画出图形即可； (2)①根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
②取格点𝑇，连接𝐶𝑇交𝐴𝐵的延长线于点𝐹，∠𝐴𝐹𝐶即为所求；
(3)取格点𝑀，𝑁，连接𝑀𝑁，交格线于点𝑃，取𝐴𝐵的中点𝑄，作直线𝑃𝑄即可．
22.答案：(1)设𝐵原料每千克的费用为𝑥元，则𝐴原料每千克的费用为1.5𝑥元，
依题意列出方程得：解得：𝑥=3．
经检验，𝑥=3是原方程的解，且符合题意， ∴1.5𝑥=1.5×3=4.5．
答：𝐴原料每千克的费用为4.5元，𝐵原料每千克的费用为3元． (2)4.5×2+3×4+9=9+12+9=30(元)． 答：每盒产品的成本为30元．
解析：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；利用成本=原料费+其他成本，求出每盒产品的成本．
(1)设𝐵原料每千克的费用为𝑥元，则𝐴原料每千克的费用为1.5𝑥元，利用数量=总价÷单价，结合用900元收购𝐴原料比用900元收购𝐵原料少100𝑘𝑔，即可得出关于𝑥的分式方程，解之经检验后即可得出𝐵原料的单价，再将其代入1.5𝑥中即可求出𝐴原料的单价； (2)利用成本=原料费+其他成本，即可求出每盒产品的成本．
900900
−𝑥1.5𝑥=100，
23.答案：(1)①证明：当𝑛=1时，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐷=60°． 在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐴𝐷中，
𝐶𝐸=𝐴𝐷,{∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐷, 𝐴𝐶=𝐵𝐴,
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐴𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐷； ②∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐸𝐴．
∵∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐴𝐹𝐷+∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐶+∠𝐶𝐸𝐴=180°， 又∠𝐶=60°， ∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐶=60°；
③证明：∵∠𝐴𝐹𝐷=60°，𝐴𝐺⊥𝐵𝐷， ∴∠𝐹𝐴𝐺=30°， ∴𝐹𝐺=𝐴𝐹． ∵𝐴𝐹=2𝐵𝐹， ∴𝐵𝐹=𝐹𝐺，
∴𝐵𝐺=𝐵𝐹+𝐹𝐺=𝐴𝐹．
∵∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷=60°，
∠𝐶𝐵𝐺+∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐶𝐵𝐴=60°，∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐺， ∴∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐶𝐵𝐺． 在△𝐴𝐹𝐵和△𝐵𝐺𝐶中，
𝐴𝐵=𝐵𝐶
{∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐶𝐵𝐺, 𝐴𝐹=𝐵𝐺
∴△𝐴𝐹𝐵≌△𝐵𝐺𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐺𝐶=𝐹𝐵， ∵𝐹𝐺=𝐹𝐵， ∴𝐺𝐹=𝐺𝐶；
12(2)如图3，𝐵𝐺=过点𝐵作𝐵𝑃⊥𝐴𝐶于点𝑃，过点𝐴作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于点𝐺，则∠𝐴𝐺𝐶=∠𝐵𝑃𝐶=∠𝐵𝑃𝐴=90°，𝐶𝐺． ∵𝑛=，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=2𝐵𝐶．
令𝐴𝐵=𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=2，则𝐵𝐺=𝐶𝐺=1， 设𝐴𝑃=𝑥，则𝐶𝑃=𝐴𝐶−𝐴𝑃=3−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑃中，𝐵𝑃2=𝐴𝐵2−𝐴𝑃2， 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝑃中，𝐵𝑃2=𝐵𝐶2−𝐶𝑃2，
∴𝐴𝐵2−𝐴𝑃2=𝐵𝐶2−𝐶𝑃2，即32−𝑥2=22−(3−𝑥)2， 解得：𝑥=，
3
∴𝐴𝑃=3，𝐶𝑃=3−3=3，
74√2
∴𝐵𝑃=√𝐴𝐵2−𝐴𝑃2=√32−(3)2=3，
7
7
2
73
32
𝐴𝐺=√𝐴𝐶2−𝐶𝐺2=√32−12=2√2． ∵𝐴𝐷=𝐶𝐸，0≤𝐶𝐸≤2， ∴点𝐷始终在线段𝐴𝑃上， 设𝐶𝐸=𝐴𝐷=𝑚(0≤𝑚≤2)， 则𝐺𝐸=|𝑚−1|，𝐷𝑃=−𝑚，
3
∴𝐴𝐸=√𝐴𝐺2+𝐸𝐺2=√8+(𝑚−1)2，𝐵𝐷=√𝐵𝑃2+𝐷𝑃2=√∴𝐴𝐸+𝐵𝐷=√(𝑚−1)2+(0−2√2)2+√(𝑚−7)2+(0−4√2)2，
3
3
327
+(−𝑚)2， 93
7
∴𝐴𝐸+𝐵𝐷的长为点(𝑚,0)到点𝑀(1,2√2)和点𝑁(,
74√2
)的距离之和． 33
3
3
如图4，建立平面直角坐标系，作点𝑁关于𝑥轴对称的点𝑁′(7,−4√2)，连接𝑀𝑁′，此时𝑀𝑁′=(𝐴𝐸+𝐵𝐷)最小值．
设直线𝑀𝑁′的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则
𝑘+𝑏=2√2,{74√2 𝑘+𝑏=−,
33𝑘=−,
2解得：{ 9√2𝑏=2,
∴直线𝑀𝑁′的解析式为𝑦=−5√2𝑥+9√2．
2
2
5√2当𝑦=0时，−
9
5√2𝑥2+2=0，
9√2解得：𝑥=， 5∴𝑚=5，即𝐶𝐸=5， ∴𝐵𝐸=2−𝐶𝐸=2−=， ∴
𝐵𝐸𝐶𝐸95159
9
=
1595=9．
1
解析：本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形三边关系、轴对称的性质、勾股定理，解题的关键是熟练应用两点之间的距离公式建立平面直角坐标系结合轴对称的性质求得𝐴𝐸+𝐵𝐷的最小值．
△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸=60°，得到𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶，然后结合𝐴𝐷=(1)①当𝑛=1时，
𝐶𝐸得证△𝐵𝐴𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，进而得到𝐵𝐷=𝐴𝐸；
②由△𝐵𝐴𝐷≌△𝐴𝐶𝐸得到∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶，结合∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐴𝐹𝐷+∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐶+∠𝐶𝐸𝐴=180°，从而得到∠𝐴𝐹𝐷=60°；
∠𝐴𝐺𝐹=90°得到∠𝐹𝐴𝐺=30°，进而得到𝐴𝐹=2𝐹𝐺，再结合𝐴𝐹=2𝐵𝐹得到𝐵𝐹=③先由∠𝐴𝐹𝐺=60°，
𝐹𝐺，即可得到𝐴𝐹=𝐵𝐺，再结合△𝐵𝐴𝐷≌△𝐴𝐶𝐸得到∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，进而得到∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐵𝐴𝐹，最后结合𝐴𝐵=𝐵𝐶得证△𝐴𝐵𝐹≌△𝐵𝐶𝐺，从而得到𝐵𝐹=𝐶𝐺，进而得证𝐹𝐺=𝐶𝐺；
(2)过点𝐵作𝐵𝑃⊥𝐴𝐶于点𝑃，𝐴𝐺的长，过点𝐴作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于点𝐺，然后通过勾股定理求得𝐵𝑃、再设𝐶𝐸=𝐴𝐷=𝑚，用含有𝑚的式子表示𝐴𝐸+𝐵𝐷的长，然后利用两点间的距离公式和轴对称的性质求得𝐴𝐸+𝐵𝐷的最小值，最后求得
𝐵𝐸
的值． 𝐸𝐶24.答案：(1)①𝐶点坐标为(2,−2)；
②如图2，过点𝐶作𝐶𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，过𝐷作𝐷𝑁⊥𝑂𝐴于点𝑁， 则∠𝐵𝑀𝐶=∠𝐷𝑁𝑂=90°．
∵𝐴点坐标为(0,4)，𝐵点坐标为(𝑚,0)，−4<𝑚<0， ∴𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=|𝑚|=−𝑚． ∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=90°，
即∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐶𝐵𝑀=90°． ∵∠𝐴𝑂𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐵𝐴𝑂=90°， ∴∠𝐶𝐵𝑀=∠𝐵𝐴𝑂． ∵∠𝐵𝐴𝐶=45°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶．
在△𝐶𝐵𝑀和△𝐵𝐴𝑂中，
∠𝐶𝐵𝑀=∠𝐵𝐴𝑂,{∠𝐵𝑀𝐶=∠𝐴𝑂𝐵, 𝐵𝐶=𝐴𝐵,
∴△𝐶𝐵𝑀≌△𝐵𝐴𝑂(𝐴𝐴𝑆)，
∴𝐵𝑀=𝐴𝑂=4，𝐶𝑀=𝐵𝑂=−𝑚， ∴𝑂𝑀=𝐵𝑀−𝐵𝑂=4+𝑚， ∴𝐶点坐标为(4+𝑚,𝑚)．
∵𝐴点坐标为(0,4)，𝐷为𝐴𝐶的中点， ∴𝐷的坐标为(
4+𝑚4+𝑚
,2)， 2
∴𝐷𝑁=𝑂𝑁，
∴△𝑂𝐷𝑁是等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝑂𝐷=45°；
(2)如图3，过𝐶作𝐶𝐺⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵延长线于点𝐺，交𝑦轴于点𝑃，𝐶𝐻⊥𝑦轴于点𝐻， 则∠𝐴𝐺𝐶=90°．
∵∠𝐵𝐴𝐶=45°，
∴△𝐴𝐺𝐶是等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝐶𝐺=45°=∠𝐵𝐴𝐶． ∵𝐸𝐴=𝐸𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐸𝐶𝐴，
∴∠𝐴𝐶𝐺−∠𝐸𝐶𝐴=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐶， 即∠𝑃𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐸． 又∵∠𝐶𝐸𝑃=∠𝐴𝐸𝐵， 在△𝑃𝐶𝐸和△𝐵𝐴𝐸中，
∠𝐶𝐸𝑃=∠𝐴𝐸𝐵,{𝐸𝐶=𝐸𝐴, ∠𝑃𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐸,
∴△𝑃𝐶𝐸≌△𝐵𝐴𝐸(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐶𝑃=𝐴𝐵． ∵𝐴𝐻⊥𝑦轴，
∴∠𝐶𝐻𝑃=∠𝐴𝐺𝐶=90°，
∴∠𝑃𝐶𝐻+∠𝐶𝑃𝐻=∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐴𝑃𝐺=90°，∠𝐶𝑃𝐻=∠𝐴𝑃𝐺， ∴∠𝑃𝐶𝐻=∠𝐵𝐴𝑂． 在△𝐶𝐻𝑃和△𝐴𝑂𝐵中，
∠𝑃𝐶𝐻=∠𝐵𝐴𝑂,{∠𝐶𝐻𝑃=∠𝐴𝑂𝐵, 𝐶𝑃=𝐴𝐵,
∴△𝐶𝐻𝑃≌△𝐴𝑂𝐵(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐻=𝐴𝑂=4， 即𝐶点的横坐标为4．
解析：本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
𝐶𝑀=𝐵𝑂=2，证△𝐶𝐵𝑀≌△𝐵𝐴𝑂(𝐴𝐴𝑆)，得𝐵𝑀=𝐴𝑂=4，则𝑂𝑀=(1)①过点𝐶作𝐶𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，𝐵𝑀−𝑂𝐵=2，即可得出答案；
过𝐷作𝐷𝑁⊥𝑂𝐴于点𝑁，同①得△𝐶𝐵𝑀≌△𝐵𝐴𝑂(𝐴𝐴𝑆)，则𝐵𝑀=𝐴𝑂=4，②过点𝐶作𝐶𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，
𝐶𝑀=𝐵𝑂=|𝑚|=−𝑚，得𝑂𝑀=𝐵𝑀−𝐵𝑂=4+𝑚，再求出𝐷(是等腰直角三角形，即可得出结论；
(2)过𝐶作𝐶𝐺⊥𝐴𝐵交𝐴𝐵延长线于点𝐺，交𝑦轴于点𝑃，𝐶𝐻⊥𝑦轴于点𝐻，证△𝑃𝐶𝐸≌△𝐵𝐴𝐸(𝐴𝑆𝐴)，得𝐶𝑃=𝐴𝐵，再证△𝐶𝐻𝑃≌△𝐴𝑂𝐵(𝐴𝐴𝑆)，得𝐶𝐻=𝐴𝑂=4，即可得出答案． (1)①如图1，过点𝐶作𝐶𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，则∠𝐵𝑀𝐶=90°．
4+𝑚4+𝑚
,)，则𝐷𝑁22
=𝑂𝑁，得△𝑂𝐷𝑁
∵𝐴点坐标为(0,4)，𝐵点坐标为(𝑚,0)，𝑚=−2， ∴𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=2， ∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=90°，
即∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐶𝐵𝑀=90°， ∵∠𝐴𝑂𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐵𝐴𝑂=90°， ∴∠𝐶𝐵𝑀=∠𝐵𝐴𝑂， ∵∠𝐵𝐴𝐶=45°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，
在△𝐶𝐵𝑀和△𝐵𝐴𝑂中，
∠𝐶𝐵𝑀=∠𝐵𝐴𝑂,
{∠𝐵𝑀𝐶=∠𝐴𝑂𝐵, 𝐵𝐶=𝐴𝐵,
∴△𝐶𝐵𝑀≌△𝐵𝐴𝑂(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝑀=𝐴𝑂=4，𝐶𝑀=𝐵𝑂=2， ∴𝑂𝑀=𝐵𝑀−𝑂𝐵=2， ∵点𝐶在第四象限内， ∴𝐶点坐标为(2,−2)； ②见答案； (2)见答案．
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