巴楚县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法确定
，则S2015的值是（ ）
2． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+A．
B．
C．2015 D．
3． 若{an}为等差数列，Sn为其前项和，若a10，d0，S4S8，则Sn0成立的最大自 然数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14 4． 下列函数中，为偶函数的是（ ） A．y=x+1
5． 已知双曲线A．
6． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ） A．
B．
，
B．
﹣ C．
B．y=
C．y=x4
D．y=x5
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（ ） D．
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精选高中模拟试卷
C． D．
11237． 设a，b为正实数，22，(ab)4(ab)，则logab=（ ）
abA.0
B.1 C.1 D.1或0
''【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 8． 函数f(x)在定义域R上的导函数是f(x)，若f(x)f(2x)，且当x(,1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf(2)，cf(log28)，则（ ）
A．abc B．abc C．cab D．acb 9． 下列结论正确的是（ ）
A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β． B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β． C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2
D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α
10．函数f（x）=﹣x的图象关于（ ） A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称
C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．
12．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( A3 B4
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)。
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C5 D6 二、填空题
13．在平面直角坐标系中，a(1,1)，b(1,2)，记(,)M|OMab，其中O为坐标原点，给出结论如下：
①若(1,4)(,)，则1；
②对平面任意一点M，都存在,使得M(,)； ③若1，则(,)表示一条直线； ④(1,)(,2)(1,5)；
⑤若0，0，且2，则(,)表示的一条线段且长度为22． 其中所有正确结论的序号是 ．
14．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．
15．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t= ． 16．不等式
的解集为 ．
22
17．0）3）已知点A（2，，点B（0，，点C在圆x+y=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为 ．
18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB= ．
三、解答题
19．（本题满分12分） 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．
20．已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b，a、b为实数． （1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；
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（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．
21．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为
22．已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣12=0． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求f（x）的单调区间和极值．
23．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．
，求直线l的方程．
x＝1＋3cos α
在直角坐标系中，曲线C1：（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
y＝2＋3sin α
标系，C2的极坐标方程为ρ＝
2πsin（θ＋）
4
.
（1）求C1，C2的普通方程；
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3π
（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C3与C1交于点M，N，P是C2上一点，求△PMN的面
4积．
24．已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，满足4Sn=（an+1）2． （Ⅰ）求数列{an}通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足bn=
*
（n∈N），求证：b1+b2+…+bn＜．
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巴楚县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定， 而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中， ∴甲地的方差较小． 故选：A．
【点评】本题 考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．
2． 【答案】D 【解析】解：∵2Sn=an+当n=2时，2（1+a2）=同理可得猜想验证：2Sn==
因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选：D．
【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
3． 【答案】A 【解析】
．
．
， ．
=
，
． ．
…+
=
，
，∴
，化为
，解得a1=1．
=0，又a2＞0，解得
，
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考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“a10，d0”判断前项和的符号问题是解答的关键．
4． 【答案】C
【解析】解：对于A，既不是奇函数，也不是偶函数， 对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，
对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数， 对于D，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数， 故选：C．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．
5． 【答案】D 【解析】解：双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0．
22
根据圆（x﹣2）+y=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，
可得，1=，∴ =，
，可得e=
故此双曲线的离心率为：故选D．
． ．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．
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6． 【答案】 A
【解析】
进行简单的合情推理． 【专题】规律型；探究型．
【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的ai，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案． 【解答】因为
=
32
（a1×10+a2×10+a3×10+a4），
括号内表示的10进制数，其最大值为 9999； 从大到小排列，第2013个数为 9999﹣2013+1=7987
所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7 则第2013个数是故选A．
【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可． 7． 【答案】B.
【解析】(ab)4(ab)(ab)4ab4(ab)，故
232311ab2222 abab(ab)24ab4(ab)3111184(ab)8ab2，而事实上ab2ab2， 22(ab)(ab)abababab∴ab1，∴logab1，故选B.
8． 【答案】C 【解析】
考点：函数的对称性，导数与单调性．
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【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数f(x)满足：
f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则其图象关于直线xa对称，如满足f(2mx)2nf(x)，
则其图象关于点(m,n)对称． 9． 【答案】B
【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确； B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确； D中选项也可能相交． 故选：B．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．【答案】C
【解析】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x） ∴
是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称
故选C．
11．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则
，
，0），B（1，0，0），C（0，
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角P（0，﹣，2），A（0，﹣ 所以=（1，，﹣2），
，0）
，设
，
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则
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设平面PBC的法向量=（x，y，z） 则所以
=0， 令
， ，
平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=
=0，即﹣6+．
=0，解得t=
，
，因为平面PBC⊥平面PDC，
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
12．【答案】B
【解析】由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B
二、填空题
13．【答案】②③④
【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力． 由ab(1,4)得12，∴，①错误；
124a与b不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；
记aOA，由OMab得AMb，∴点M在过A点与b平行的直线上，③正确； 由aba2b得，(1)a(2)b0，∵a与b不共线，∴∴④正确；
1
，∴aba2b(1,5)，
2
21xyx33，∴2xy0且x2y60，∴(,)表示的一
设M(x,y)，则有，∴y211xy0xy33条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)，其长度为25，∴⑤错误．
14．【答案】 75
【解析】计数原理的应用．
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【专题】应用题；排列组合． 根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，
13
第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C3C6=60， 4
第二类，若从其他六门中选4门有C6=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法． 故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
15．【答案】 0或1 ．
22
【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t﹣t+1=﹣3①t﹣t+4=0，①无解
2
或t﹣t+1=0②，②无解
或t﹣t+1=1，t﹣t=0，解得 t=0或t=1．
2
2
故答案为0或1．
【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．
16．【答案】 （0，1] ．
【解析】解：不等式故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
17．【答案】 （
，
） ．
，即
，求得0＜x≤1，
22
【解析】解：设C（a，b）．则a+b=1，① ∵点A（2，0），点B（0，3）， ∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．
如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短． 则CF=∴a=
，②
≥
，当且仅当2a=3b时，取“=”，
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联立①②求得：a=故点C的坐标为（故答案是：（
，
，b=，
， ）．
）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】
．
=
=
．
【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c ∴b=
，c=2a，
由余弦定理可得cosB=故答案为：
．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】解：（1）∵an+1=2an+1， ∴an+1+1=2（an+1）， 又∵a1=1，
∴数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列， ∴an+1=2n，
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∴an=﹣1+2n； 6分
nn1
（2）由（1）可知bn=n（an+1）=n•2=n•2﹣，
∴Tn=1•20+2•2+…+n•2n﹣1，
2Tn=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
2n1n
错位相减得：﹣Tn=1+2+2…+2﹣﹣n•2
=
n
﹣n•2
=﹣1﹣（n﹣1）•2n， 于是Tn=1+（n﹣1）•2n．
n则所求和为12n 6分
20．【答案】
【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12
2
∴3（a+1）﹣3a（a+1）=12 ∴3a=9∴a=3
2
（2）∵f′（x）=3x﹣3ax，f（0）=b
∴
由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a ∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2
∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减． ∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0） ∵f（0）=b， ∴b=1 ∵
∴f（﹣1）＜f（1）
∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值， ∴∴
，
32
∴f（x）=x﹣2x+1
【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．
21．【答案】
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22
【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x+（y+7）=25，
所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．… 因为直线l被圆所截得的弦长是所以，弦心距为
即圆心到所求直线l的距离为所以圆心到直线l的距离为因此，
．…
，… ，
，
因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．
解得b=﹣2，或b=﹣12．… 即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．… 与弦长一半的平方的和的灵活运用．
22．【答案】
所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．
【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方
【解析】解：（1）求导f′（x）=+2x+b，由题意得： f′（1）=4，f（1）=﹣8， 则
，解得
，
2
所以f（x）=12lnx+x﹣10x+1；
（2）f（x）定义域为（0，+∞）， f′（x）=
，
令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，
所以f（x）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增， 故f（x）极大值=f（2）=12ln2﹣15， f（x）极小值=f（3）=12ln3﹣20．
23．【答案】
x＝1＋3cos α
【解析】解：（1）由C1：（α为参数）
y＝2＋3sin α
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得（x－1）2＋（y－2）2＝9（cos2α＋sin2α）＝9. 即C1的普通方程为（x－1）2＋（y－2）2＝9， 由C2：ρ＝
2π
sin（θ＋）
4
得
ρ（sin θ＋cos θ）＝2， 即x＋y－2＝0，
即C2的普通方程为x＋y－2＝0.
（2）由C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9得 x2＋y2－2x－4y－4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0， 3π
将θ＝代入上式得
4ρ2－2ρ－4＝0， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，
∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝32. 3
C3：θ＝π（ρ∈R）的直角坐标方程为x＋y＝0，
4
2
∴C2与C3是两平行直线，其距离d＝＝2. 2
11
∴△PMN的面积为S＝|MN|×d＝×32×2＝3.
22即△PMN的面积为3. 24．【答案】
2
【解析】（Ⅰ）解：由4Sn=（an+1），
令n=1，得
2
又4Sn+1=（an+1+1），
，即a1=1，
，整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0．
∴
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，bn=则b1+b2+…+bn==
∵an＞0，∴an+1﹣an=2，则{an}是等差数列，
=
，
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=
．
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