全等三角形与旋转问题

七年级数学下--- 全等三角形

【1】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形． 请你证明：⑴ANBM；⑵DE∥AB；⑶CF平分AFB．

【2】如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：CDE是等边三角形．

【3】如以下图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE(ACE120°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，那么CPM是_____________。

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形

【4】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．

【5】如图，D是等边ABC的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是否一定，假设一定，求它的度数；假设不一定，说明理由．

【6】如图，等腰直角三角形ABC中，∠B90，ABa，O为AC中点，EOOF．求证：BEBF为定值．

【7】在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使MCN45，记AMm，MNx，BNn，那么以x、m、n为边长的三角形的形状是〔 〕。A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而变化

【9】如下图，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长。

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【8】请阅读以下材料：：如图1在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E分别为线 段BC上两动点，假设DAE45．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：⑴ 猜测BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜测给予证明； ⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜测并给予证明．

【12】平面上三个正三角形ACF，ABD，BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分．

【10】在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且MDN60，

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BDC120，BDCD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量

关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系。

⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时

Q=__________ L⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DMDN时，猜测(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明；

⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，假设AN=x，那么Q=_________(用x，L表示)

【13】：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，ADDK． 求证：HBD也是等边三角形．

【11】(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90，E、F分别是边BC、CD上的点， 且∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BEFD。

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ADFBCE

(2) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180，E、F分别是边BC、CD上的点， 且∠EAF=∠BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．

A12BEFCD

【14】 如下图，在五边形ABCDE中，BE90，ABCDAEBCDE1，求此五边形的面积。

CBDAE

【15】 在五边形ABCDE中，ABAE，BCDECD，ABCAED180，连接AD． 求证：AD平分CDE．

【16】如图，ABC和ADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相等的理由．

【17】在梯形ABCD中，AB∥CD，A90，AB2，BC3，CD1，E是AD中点，试判断EC与

EB的位置关系，并写出推理过程．

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【18】在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，

MQMP 交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化．

【19】等边ABD和等边CBD的边长均为1，E是BEAD上异于A、D的任意一点，F是CD上一点，满足AECF1，当E、F移动时，试判断BEF的形状．

答案：【1】⑴∵ACM、CBN是等边三角形，∴MCAC，CNCB，ACNMCB

∴ACN≌MCB，∴ANBM；⑵由ACN≌MCB易推得NDC≌BEC，所以CDCE，又

MCN60，进而可得DEC为等边三角形．易得DE∥AB．⑶过点C作CGAN于G，CHBM于

H，由ACN≌MCB；利用AAS进而再证BCH≌NCD，可得AFCBFC，故CF平分AFB．【2】∵ACN≌MCB，∴ANBM，ABMANC；又∵D、E分别是AN、BM的中点， ∴BCE≌NCD，∴CECD，BCENCD；

∴DCENCDNCEBCENCENCB60；∴CDE是等边三角形

【3】易得ACD≌BCE．所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60而得到的．又M为线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得．所以CPCM且，

PCM60°，故CPM是等边三角形，选C．

【4】∵ABC是等边三角形，∴ACB60，ACBC．

∴BCDDCA60，同理ACEDCA60，DCEC．∴BCDACE

在BCD与ACE中，

BCACBCDACE∴BCD≌ACE，∴BDAE． DCEC【5】连接CD，将条件BDAD，BPAB这两个条件，易得ACD≌BCD(SSS)，得

1BCDACDACB30，由BPABBC，DBPDBC，BDBD(公共边)，知

2BDP≌BDC(SAS)，∴BPDBCD30．故BPD的度数是定值．

【6】连结OB由上可知，∠1290，2∠390，13，而∠4C45，OBOC．

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∴OBE≌OCF，∴BEFC，∴BEBFCFBFBCa．

【7】如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得CAD，连结MD，那么ADBNn，CDCN，

∠ACD∠BCN，∴∠MCD∠ACM∠ACDACM∠BCN904545MCN．

∴MDC≌MNC，∴MDMNx又易得DAM454590，∴在RtAMD中， 有m2n2x2，故应选(B)

【8】⑴DE2BD2EC2 证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE；∴AEC≌ABE ∴BEEC，AEAE，CABE，EACEAB；在RtABC中；∵ABAC； ∴ABCACB45；∴ABCABE90；即EBD90；∴EB2BD2ED2；又∵DAE45；∴BADEAC45；∴EABBAD45；即EAD45；

≌AED；∴DEDE；∴DE2BD2EC2； ∴AED

⑵ 关系式DE2BD2EC2仍然成立；证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE ∴AFD≌ABD；∴AFAB，FDDB；FADBAD，AFDABD； 又∵ABAC，∴AFAC；∵FAEFADDAEFAD45；

EACBACBAE90DAEDAB45DAB；∴FAEEAC；

又∵AEAE；∴AFE≌ACE；∴FEEC，AFEACE45；

AFDABD180ABC135；∴DFEAFDAFE1354590 ；

∴在RtDFE中；DF2FE2DE2即DE2BD2EC2；

【9】如下图，延长AC到E使CEBM．在BDM与CDE中，

因为BDCD，MBDECD90，BMCE，所以BDM≌CDE，故MDED． 因为BDC120，MDN60，所以BDMNDC60．又因为BDMCDE，

所以MDNEDN60． 在MND与END中，DNDN，MDNEDN60，DMDE， 所以MND≌END，那么NEMN，所以AMN的周长为2．

【10】BM+NC=MN;

Q2 L3

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(2)猜测：仍然成立；证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE；BDCD,且BDC120，

DBCDCB30；由ABC是等边三角形，MBDNCD90，MBD≌ECD(SAS)；

DMDE,BDMCDE，EDNBDCMDN60；在MDN与EDN中；

DMDEMDNEDNMDN≌EDN(SAS)；MNNENCBM； DNDNAMN的周长QAMANMN=(AMBM)(ANNC)=ABAC2AB；

而等边ABC的周长L3AB；；(3)2xL；

【11】证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG． ∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90， AB＝AD， QL2323∴ABG≌ADF．∴AG＝AF， 12．∴1323EAFBAD． ∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴AEG≌AEF．∴EG＝EF． ∵EG=BE+BG．∴EF= BE＋FD (2) (1)中的结论EFBEFD仍然成立． 12 【12】连接DE与DF；∵DBAEBC，BADCAF∴DBEABC，BACDAF；

DBAB∴在DBE与ABC中；DBEABC； ∴DBE≌ABC(SAS)；∴DECAFC

BEBCDABA在DFA与BCA中DAFBAC；∴DFA≌BCA(SAS)；∴DFBCEC；

AFAC∴DECF为平行四边形，∴EF，CD互相平分．

【13】连结EB，∵CECD，CEEA，BEAD，所以BEAD，并且BE与AD的夹角为60， 延长EB交AK于M，那么EBH360BHDHDEBED300HDMMDEMED

180HDM18060MDEMED180HDMHDK．

又因为HKADBE，所以BEH≌DKH．所以HKHE， BHHD．EHDEHDDHKBHE．【14】连接AF，那么发现ABC≌AEF，且FD1，AFAC，AEAB，ADF是底、高各为1的三角形，其面积为，而ACD与AFD全等，从而可知此五边形的面积为1．

【15】连接AC．由于ABAE，ABCAED180．我们以A为中心，将ABC逆时针旋转到AEF的位置．因ABAE，所以B点与E点重合，而AEFAEDABCAED180， 所以D、E、F在一条直线上，C点旋转后落在点F的位置，且AFAC，EFBC． 所以DFDEEFDEBCCD．在ACD与AFD中，因为ACAF，CDFD，ADAD，

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故ACD≌AFD，因此ADCADF，即AD平分CDE．

CBDAEF

【16】答案：∵ACAB，CAEBAD，AEAD；∴AEC≌ADB ∴CEBD；又∵BDBCCDACCD；∴CEACCD；

【17】答案：延长BE交CD延长线于点F．∵E是AD中点，∴DEAE，

∵AB∥CD，A90，∴EDFEAB90，ABEDFE在AEB和FED中，

ABEDFE∵EABEDF；∴AEB≌FED，∴FEBE；又∵AB2,BC3,CD1，∴CFBC AEDEFCBC在FCE和BCE中，∵CECE； ∴FCE≌BCE，∴CEEB

FEBE【18】答案：连接CM．因为ACBC且ACB90，所以B45．

因为M是AB的中点，所以AMCBMC90，ACM45且CMBM，那么ACMB． 因为MQMP，所以QMC90CMPPMB，所以QCM≌PBM， 所以QMPM．因此MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变．

MPQ的面积与边MP的大小有关．当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小；

当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大．

【19】答案：由条件AECF1，且DFCF1，得AEDF．

因为ABDB，ABDF60，所以ABE≌DBF，因此BEBF，ABEDBF． 因为EBFEBDDBFEBDABEABD60，所以BEF为等边三角形．

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