二次函数的图像-教学设计

二次函数的图像

一. 教学内容： 二次函数的图像

二. 教学要求：

. 掌握二次函数的对称性、单调性、最值公式及图象。理解并掌握二次函数、二次方程与二次不等式的内在联系，能利用“数形结合”，“判别式”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况及二次不等式的解集。

. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质。

. 掌握指数与对数函数的概念，图象和性质，会用定义法证明指数函数与对数函数的单调性，能应用其性质解（证）相关问题。

三. 知识串讲 （一）二次函数

. 形如()＝（≠）的函数叫做二次函数。 （）二次函数的解析式

一般式：f(x)axbxc(a0)

2顶点式：f(x)a(xm)n(a0)，其中(m，n)为顶点坐标。

2 两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是二次式的根。 （）图象和性质

bb4acb2直线x为抛物线的对称轴，顶点坐标为(，)2a2a4a

a0时，抛物线开口向上，x(，b]时，f(x)单调递减2a

x[b，)时，f(x)单调递增2a

b4acb2x时，ymin2a4a

a0时，抛物线开口向下，x(，b]时，f(x)单调递增2a

x[b，)时，f(x)单调递减2a

b4acb2x时，ymax2a4a

. 二次函数、二次方程与二次不等式

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2yaxbxc(a0)

b4ac

0axbxc0有两个不等实根x1，x2（设x1x2） 抛物线yaxbxc与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)

2则axbxc0的解集为xx1或xx2

222 axbxc0的解集为x1xx2

20ax2bxc0有两个相等实根x1x2抛物线yax2bxc与x轴有一个交点(则ax2bxc0的解集为xR且x2b2a

b，0)2a

b2a

axbxc0的解集为 0axbxc0无实数根

2抛物线yaxbxc与x轴没有交点

2 则axbxc0的解集为R axbxc0的解集为 如下图：

2yaxbxc(a0)

22b24ac

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. 二次函数在闭区间上必有最大、最小值，它们只能在区间端点或顶点处取得。 f(x)axbxc(a0)在区间[m，n]上

2（1）若bb[m，n]，则fminf()2a2a

fmax是f(m)，f(n)中的较大者

（2）若b[m，n]2a

则fmax，fmin分别是f(m)，f(n)中的较大者，较小者。

. 一元二次方程（≠）实根的分布

2设f(x)axbxc(a0)

①有两个大于的实根

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0有两个正根xx0f(k)0(12)bxx012k2a

②有两个小于的实根

有两个负根0xx20f(k)0(1)x1x20b0k2a

③有一根大于，一根小于

f(k)0(有两根异号f(0)0即c0) ④两根都在（，）内

0bmn2af(m)0，f(n)0

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⑤一根小于，一根大于

f(m)0f(n)0

⑥两根之一在（，）内 f(m)f(n)0

⑦一根在（，）内，另一根在（，）内

f(m)0f(n)0f(p)0

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注：若不限定的正负时，只要在()前乘以，即()，其余不变。

（二）指数与对数函数

. 次方根：若＝（∈，>），则称为的次方程。 n为奇数时，x 性质：

nn （1）(a)a

na，n为偶数时x＝na(a0)

（2）n为奇数时，aa

nna(a0)n为偶数时，a|a|a(a0)

nnmpmn （3）a0时，aa

np . 指数

a01(a0)，ap1(a0)ap

mnaa(a0)，a

运算法则： aaa (a)amnmnnm1nam(a0)

mnmn

mn

nnn(ab)ab(a0，b0)

. 对数

性质：

（）和负数没有对数，即> （2）loga10，logaa1 （3）alogaN

N(对数恒等式)

运算法则：（>，>）

logaMNlogaMlogaN；logaMlogaMlogaNN

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换底公式：

logaMnnlogaM；loganM1logaMn

logaNlogcNlogca

nlogNlognNaa

logab1logba

. 指数函数与对数函数

指数函数对数函数互为反函数y＝ax(a0，a1)ylogax(a0，a1)

图象过点（，），以轴

为渐近线 a1时，y

图象过点（，），以轴

为渐近线

a1时，y

x0时，0y1x0时，y1x0时，y1

0x1时，y0x1时，y0x1时，y00a1时，y

0a1时，y

x0时，y1x0时，y1x0时，0y1 

底数互为倒数时，图象关于 轴对称，>时，“底大图高”

【典型例题】

底数互为倒数时，图象关于轴 对称，>时“底大图低”

0x1时，y0x1时，y0x1时，y0个人整理资料， 仅供交流学习

例. 设二次函数＝()的最小值等于，且()＝()＝，求()的解析式。 解法一：设f(x)axbxc(a0)

2c6由已知得4a2bc64acb244a

a2解得b4c6

2f(x)2x4x6

解法二：f(0)f(2) ∴抛物线有对称轴＝ 又二次函数有最小值

可将f(x)a(x1)4(a0) 代入点（，）坐标，得＝

f(x)2(x1)42x4x6

例. 若方程－＋（＋）＝的两根不等且均大于，求实数的取值范围。 解：（法一）：设f(x)x11x(30a)

22221124(30a)0111由题意有50a4212f(5)511530a0

（法二）：令xt5，方程(t5)11(t5)30a0

2即tta0，只要有两个不相等正根即可

201因此有x1x200a4xx012

例. 设集合＝{(，)＝＋＋}，＝{(，)｜＝＋，≤≤}，∩≠φ，求实数的取值范围。 解：（分析：集合的元素是曲线上的点（，），∩≠φ，即曲线与线段有交点）

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yx1(0x2)2由xax2x12 yxax2

即x(a1)x10(0x2)

即x(a1)x10在[0，2]上有实根

2令f(x)x(a1)x1

2201a2f(0)00则由（有两个根）或(仅有1个根)2f(2)0f(0)10f(2)2a30 33a1或a22

a1  点评：对于方程＋（－）＋＝在［，］上有实根的问题，可考虑分离参数的方法，得到

a1x11(x)xx

0x2，又x0时，AB

x2时，x112，(x)2xx

1a1(x)2x

1a1当且仅当x，即x1时“”成立x

a1时，AB

例. 函数()＝－＋＋－在区间［，］上有最大值，求实数的值。 解：f(x)(xa)aa1

22

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抛物线的对称轴为＝

（区间定，轴动的问题，根据对称轴的位置讨论） （）当＝<时，在［，］上为减函数 ymaxf(0)1a2 a1（符合a0） （）当≤≤时

2yf(a)，令f(a)aa12 max

即a2a10，a15[0，1]，无解2

（）当＝>时，在［，］上为增函数 ymaxf(1)

令f(1)12a11a2 a2（符合a1）

综上，＝－或＝

考虑：()＝＋－在区间［，］上的最小值是()。

（）则()＝？并求()的最值，是区间动，轴定的问题。

21y()x|a的图象是（ ） 例. 已知函数＝（>且≠）的图象如图，则函数

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分析：由图象可知>

11a 1y()|x|的图象是Da 0

1已知g(x)()x(x0)，而f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)g(x),2 例.

则()的表达式为 解：设<，则－>

1f(x)()x2x2

又()为奇函数

f(x)2，f(x)2，及f(0)0

xx1x(2)(x0)f(x)0(x0)2x(x0)

注：若f(x)为奇函数，且xD，则f(0)0。

例. 已知f(x)loga(a1)(a0且a1) （）求()的定义域；

（）讨论()的单调性；

（）当取何值时图象在轴左侧； 解：（1）由a10a1 当a1时，定义域为(0，) 当0a1时，定义域为(，0)

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x（2）设ua1，则f(u)logau

a1时，x(0，)，u，logau，y 0a1时，x(，0)，u，logau，y f(x)在(－，0)和(0，)上，均为增函数 （3）当x0时，a10a10a1 当a[0，1)时，f(x)的图象在y轴左侧

例. 若f(x)xxb，且f(log2a)b，log2[f(a)]2(a1) （1）求f(log2x)的最小值及对应的x值；

（2）x取何值时，f(log2x)f(1)且log2[f(x)]f(1) 解：（1）f(x)xxb f(log2a)log2alog2abb log2alog2a0

又a1，log2a1，a2

2又log[f(a)]log(aab)2 22

22xx22 aab2，b4aa4222 f(x)xx2

22222172则f(log2x)log2xlog2x2(log2x)224

17当log2x即x2时，f(log2x)有最小值24

（）由于()＝，由已知，得

2log2xlog2x222log2(xx2)2 log2x0或log2x10x1或x221x20xx24

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0x1

例. 对于函数()，若存在∈，使()＝成立，则称为()的不动点，已知函数()＝＋（＋）＋（－）（≠）

（）当＝，＝－时，求函数()的不动点；

（）若对任意实数，函数()恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（）在（）的条件下，若＝()图象上、两点的横坐标是函数()的不动

点，且A、B两点关于直线ykx12a12对称，求b的最小值。

2（1）当a1，b2时，f(x)xx3 解：

由题意得xx3x，得x11，x23 当a1，b2时，f(x)的两个不动点为－1，3

（2）f(x)ax(b1)x(b1)(a0)恒有两个不动点 xax(b1)x(b1)(a0)恒有两个相异的实根 得b4ab4a0(bR)恒成立

2于是'(4a)16a0

2222 解得<<

故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0a1。 （）由题意，、两点应在直线＝上 设（，），（，）

k1

点A、B关于直线ykx12a12对称

y y=x B A O x

设的中点，为（’，’）

2x，x是方程axbx(b1)0的两个根 12

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x1x2b22a

bb1于是M(－，)在直线yx2上2a2a2a1 bb1得22a2a2a1

a1即b212a12aa

1a0，a22a x'y'

当且仅当2a12，即a(0，1)时取等号a2

故b

12224

24

b的最小值为 点评：本题主要考查二次函数及其图象，一元二次方程以及不等式的综合应用，同时借助于不变量思想，以不动点为载体，蕴含着“及时定义→及时解答”的试题结构特征，对思维能力有较高要求。

【模拟试题】 一. 选择题

. 已知函数y(m1)xmxm的图象，如图，则的取值范围是（ ）

2

.

m45

2

.

0m45

. m1 . 0m1

. 已知函数yaxbxc，如果>>且abc0，则它的图象可能是（ ）

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. 如果二次函数f(x)xbxc对任意实数都有f(1x)f(x)，那么（ ） . f(2)f(0)f(2) . f(0)f(2)f(2)

. f(0)f(2)f(2) . f(2)f(0)f(2)

22yx2x3在区间［，］上有最大值，最小值，则的取值范围是（ ） . 函数

. [1，＋) . (，2]

2

2

. ［，］

. ［，］

22 . 设，是方程x2kx1k0（kR）的两个实根，则x1x2的最小值是（ ）

. －

2 .

2 . .

. 若方程x2xlg(2aa)0两根异号，则（ ）

11a(，0)(，1)22 .

1a(，1)2 . 1a(，0)2 .

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1a(，1)2 .

xxxxyaybycyd . 如图是指数函数①；②；③；④的图象，则，，，的大小

关系是（ ）

. ab1cd

. 1abcd

. ba1dc . ab1dc

526362a()，b()，c()355，则，，的大小关系是（ ） . 若

. <<

. <<

x111. << . <<

与ylogax的图象是（ ）

. 当>时，在同一坐标系中，函数ya

. 已知函数yf(2)的定义域是［，］，则函数f[log2x]的定义域是（ ） . ［，］

. ［，］

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. ［，］ . ［，］

1f(x)()x22，且()的图象与()的图象关于直线yx对称，则g(x)是（ ） . 已知函数

. 奇函数，且在（，）上递减

. 偶函数，且在（，）上递增 . 奇函数，且在（，）上递减 . 偶函数，且在（，）上递增

二. 填空题

13f(x)x22mxm2m22，当x(0，)时，恒有f(x)0，则的取 . 已知

值范围是

f(0)02m0 （提示：①0；②21）

. 求值

（）log273

log4 （） （）5932 

63|log12|5 （）已知loga272，则log2xa

. 函数y(a1)是减函数，则的取值范围是

. 若

loga213，则的取值范围是

2xya . 函数

3x2(a1)的单调递增区间是；单调递减区间是；值域是

三. 解答题

2f(x)log|x2|在区间（2，）上是减函数，求()的增区间。 a . 已知

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2 解：设u|x2|,xR且x2

在（2，）上y，又u f(u)logau，a1 在x(，2)上，u又logau，y

在x[0，2)上， 在x(2，)上， 递增区间为：

. 已知常数>，变量，有关系：3logxalogaxlogxy3

txa(t0)，试以，表示； （）若

（）若在［，）内变化时，有最小值，求此时和的值各为多少？

. 对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称点（，）为函数f(x)的不动点

2f(x)axbxb(a0)有不动点（，）和（－，－），求，的值。 （）已知函数

2f(x)axbxb总有两个相异的不动点，求实数的取值 （）若对于任意实数，函数

范围。

（）若定义在实数集上的奇函数g(x)存（有限的）个不动点，求证必为奇数。

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【试题答案】 . . . .

.

. .

. .

.

.

. m3或

m32

111 . （）3；（）2；（）；（）2

. (2，1)(1，2)

.

0a2或a13

331[，)(，)42，[a，) . 2，

. u，又logau，y；u又logau，y； (，2)，[0，2)

2tt . 解：（）将xa(t0)代入原式，整理得ya3t3(t0)

ya33(t)224

33u(t)224 （）a1，

取最小值时，取最小值

t[1，)

t33umin2时，4

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34 ymina 由题意a348，得a16，xa1664

t322f(x)x0，ax(b1)xb0 . 解：（）由不动点定义有

把＝代入得＝，把＝，＝－代入得＝

（）与例（）相同，<<

（）证明：g(x)是上的奇函数，g(0)g(0) g(0)0，(0，0)是g(x)的一个不动点 若有异于（，）点的不动点（，），则g(x0)x0

又g(x0)g(x0)x0，(x0，x0)也是g(x)的不动点

g(x)的有限个不动点除原点处，都是成对出现的，有个(kz)，加上原点，共有＝＋个，∴为奇数