沿任意直线方向逃逸的鱼雷击舰问题

析解.关键词鱼雷击舰；微分方程；坐标变换中图分类号 G420 文献标识码 A 文章编号 1008 - 1399(2019)05 - 0029 - 03Torpedo Tracing of Warship Escaping Along a Linear DirectionYU Shiwei1 and JIN Cheng2(Schoo of Mathematica Sciences1!Schoo ofOptoe ectronic Science and Engineering2!University of El ectronic Science and Techno logy of China, Chengdu 611731, China)Abstract Undertheconditionthatawarshipescapesa onga ineardirection!theana yticso utionofthe torpedotracingtrajectoryisobtainedbyso vingthecorrespondingdiferentia equationusingthecoordi-

natesrotationtransformation.Keywords torpedo tracing of warship, ordinary differential equation, coordinate transformations解一个复杂的微分方程，得到鱼雷的运动轨迹的解 析解.不仅为解决追击问题提供了新的思想和方法，

1引言鱼雷击舰问题，或者类似的导弹追击飞机问题、 潜艇追踪军舰问题和猎犬追击狐狸问题等，均属于

也丰富了微分方程的求解算法.问题描述:一敌舰在某海域内航行时，我方战舰 恰位于敌舰正西方a海里处，我舰向敌舰发射制导

追击问题,也是利用微分方程求解的典型应用问题. 其求解算法有助于理解微分方程在实际问题中的应 用思想.这类问题在微积分教材(1)或相关文

鱼雷.设敌舰以恒定速度◎海里/分钟沿直线方向

路径逃逸，而鱼雷以恒速追击敌舰，鱼雷的速度为敌 舰速度的-(->1)倍.在追击过程中，鱼雷的运动

献匚23,4〕中均进行了具体问题求解.在这些求解算 法中，往往假设逃逸路径为垂直于追击物和被追击

方向始终指向敌舰，求鱼雷的运动轨迹方程、追击时

程.物的连线方向.然而,在实际中，逃逸路径可以为任

意直线方向，此时利用微分方程求解追击运动轨迹

变得十分困难.蒋雪峰等曰对此问题进行了探索， 通过数值模拟计算绘制了追击轨迹，但并未得到追

2建立数学模型如图1所示，以鱼雷初始出发位置为坐标原点，

击轨迹的运动方程.本文研究了敌舰沿任意直线方 向逃逸时的鱼雷击舰问题.通过坐标系旋转变换求收稿日期：2019 - 01 - 25

两舰连线为\"轴，建立\"Oy直角坐标系.敌舰的初

始位置为％(0，a).设鱼雷的追击曲线为二阶连续可

导函数* = *(\"). 一般情况下，敌舰在逃逸时应远

修改日期2019 -03-05基金项目：电子科技大学特色教材项目和电子科技大学数学文化课

离我方战舰，不妨设敌舰逃逸方向为与\"轴成%角 方向，其中,0—%—\".设时刻t时，鱼雷的坐标位置

程建设项目资助.作者简介：余时伟(1974 —)，男，硕士，讲师，从事微积分、数学文化和

图像分析研究.Email： shiweiyu365@126. com.金诚(2000-)，男，光电科学与工程学院2018级本科学

为P(\"，*)，容易得到此时敌舰航行的位置坐标为 Q(>tco%+a，>isin%).利用导数的几何意义得到鱼雷追击路径曲线函生.Email： 2018051408004@std. uestc. edu. cn.

30高等数学研究2019年9月数满足的微分方程为d»_ vtsin%一* dx ；cos%十 a — x利用导数的几何意义得到鱼雷追击路径曲线函 数满足的微分方程为d*_ ；sin%—*dx >tcos3十 a — x1)由(1)式解出；得；=xf — *一af

cos%—>sin%(2)由已知鱼雷的速度为，即由于If 10'所以;槡十(*)=>

⑶将(2)式两端同时对x求导，利用(3)式，微分 方程(2)可化为X — a}y (f cos%— sin%) —7cos%X* — a* — *)

(f cos%— sin%)2二1 槡1 十f2 ,

(4)* 0 ) =0 ， *f 0 ) =0 .直接求解微分方程(4)显得十分困难.为了得

到鱼雷追击曲线方程的解析解，需对原坐标系进行 坐标轴旋转变换•如图1所示，将原坐标系沿顺时针方向旋转2 — %角，得到新坐标系XOY.新旧坐

标系之间的坐标变换公式为X= —xsin(% — 2 )十*cos (% — 2 ) =xcos%十*sin%.(5)

在XOY坐标系中，设鱼雷的追击运动轨迹为二阶连续可导函数Y = Y(X).在时刻；时，设鱼雷

位置为A(X,Y),敌舰的位置为Q 设QA的延长线交X轴于点B，由几何关系可得11OB =asin%，A? =acos%，所以Q点坐标为(asin%,acos%十；).由此可得ddY _ acos% 十；一 Y X = asin%—X (6 )将(6)式改写为(aJin%—X)dY

dX=acos% 十；一Y.(7 )将(7)式两边同时对X求导得(aJin%—X)d2Y =vGX'(8)，且等>0可得；=11+Y2 dX 屁槡丄(dX)-(9)将(9)式代入(8)式可得微分方程(aJin%—X)d2Y dX21J1十10)由于在X = 0时鱼雷的轨迹曲线与OA直线相 切，所以(10)式的初始条件为Y(0) — 0，Y，(0) = an(2 — %) — cot%.3数学模型求解式(10)为可降阶的二阶常微分方程•令A —

dX，则dX2 = dX = A'，A(0) =丫'(0) = cot%,则微分

方程(10)式可化为可分离变量方程(asin%— X)A' —1 槡1 + A2，-解arshA = Ai(A十槡1十尸2 )=—1 In ((11)

a sin%— X)十 C].-利用初始条件可得Gnlna1 (1 十cos%) (sin%)1一(12)

利用公式(槡十^十卩)(yr+A2—a) = 1将(11) 式A_1e-C) [e2C1 (asin%—X)— 1 一(asin%—X)1 ).13)

对(13)式直接积分可得其通解为Y_2e-C)(-十1(asin%-X)-^ --—1 e2C1 ( asin%一X)—)十C2. (14)第22卷第5期余时伟，金 诚：沿任意直线方向逃逸的鱼雷击舰问题31利用初始条件可得a-

代入数值容易得到，当敌舰航行至坐标点M(0. 7071,

2(- —1)(1 + cos%)[(1 + cos%)2 (si%) -(-T)—(15)\"\"———+11. 6095)附近时被鱼雷击中，此时，敌舰逃逸航程为 s —壬+

|—j(sir%)宀)

36：0, 9024海里•鱼雷的追击时间为t —将(12)式中G和(15)式中G代入(14)式可得微分 方程(10)式的特解为(\"+李)X 60:128. 9098秒•鱼雷的追击航

0 42 3 6程为S —* + 22 ：1・8047海里.(sin%)-——1丫 ——1S%—X&—&a2 *36将坐标变换(5)式代入(16)式可得微分方程(4)

式满足初值条件的特解，即在\"Oy坐标系下鱼雷的

(1 + cos%)2 (sin%)21^-2 (asind—X)-——[+a—2(- —1)(1 + cos%)-—1(sin%)^L-))$6)-+1当X —asin%时，鱼雷击中敌舰.将其代入(16)式得

中的程5a-

](1 + cos%)2 (sin%)2\"\"——2-+1-(-—1) -----

方程\"sin%—*cos%——Cn)—丄(- (asin%——2(1 + cos%)a- -+1%-\"cos%+*sin%)—一-—1，2 (1 + cos%)2 (sin%)(--+sm%)—+2(-—1)-+ 込%)](1 + cos%)2 (sin%)2? -—+12(- —1)(1 + cos%)-(-—1)—-+(sin%)^—acos%.故鱼雷的追击时间为a-

[-(-—1)—、c / 、\"\"\"——\"-+l “ —1$+cos%)2 sin%) -(--1) 一 - 1(sin%)^\"-) ) (17)/I

在(17)式中，令％—2，此时敌舰沿两舰连线的

\"认-—1)(1 + cos%)](1 + cos%)2 (sin%)垂直方向逃逸，得到鱼雷的运动方程「丄3)——丄(sm%)八]——a cos%.容易得到鱼雷的追击航程为2\"\"——2-+1c_ a-[(1 + cos%)2 (sin%)-(-—1) -----F—2(- —1)(1 + cos%)*-

2(- + 1)(a —^)-2J——1 (-\")-1\" +- --------a -2(- —1 )-

2(- +1 )a--+1

图2(a)显示了当取%—4( — 1 > — 0. 42海里/分

-—1(sin%)^^-)-+1—a-cos%.钟，分别取- — 2 3,4,5时，鱼雷和敌舰在XOY坐

标系下的运动轨迹曲线，而图2 (b)则显示了相应的 轨迹曲线在\"Oy坐标系下的图像.特另Ij地，分另Ij取％—\"a —1,- —2,>—0. 42海里/分钟,(a) XOY坐标系下图2鱼雷和敌舰的运动轨迹曲线(下转第43页)第22卷第5期陶星沂：确界不等式的证明方法43证明设C = % + B,式.对于这三种思路，可能解题时会有交叉运用的情 况，不仅仅只用到其中一种思路(比如第V组，在证 明时不仅仅运用了思路2,也运用了思路1,但把其 归为运用思路2 ,是由于其解题最关键的一步运用

T 对于 6 o(C,都 8 \"(%!( B^使得 z=\"+y.又T 对于 6\"(%,y(B,都有\"—sup%,y —

supB!'• o = \" + y—sup% + supB,

了思路2),所以，希望读者在解题时能够综合运用 这三种思路，使解题过程更完整,更富有逻辑性•即sup% + supB是C的一个上界.

由上确界定义的第(l)条得： 对于 6e〉0 , 8f (% ! y (B! 使得 f〉sup%—！ ! y'〉supB —！ ! '•对于 6 !〉0 , 8 o = \" + y !

3结语通过上文2. 1、2. 2、2. 3节运用三种思路来证明 七组确界不等式,相信读者已经能够灵活运用这些

使得 f〉sup% + supB —— 2!, 思路去解决更多的确界不等式问题.证明题虽然不 像有些代数题那样有着固定的解题方法，但其中蕴

由于！的任意性得sup% + supB为C的最小上界， '・ sup(% + B) = sup% + supB.藏的思维逻辑却更值得归纳与总结.通过大量的归 纳、总结与应用,相信大家证明问题的水平一定会有 一个质的飞跃.最后,留三个思考题作为练习，检测 大家是否掌握了以上三种思路.练习题\"( D同理可证:inf(% + B) = l nf% + l nfB.—:sup f(\"1)—f(\"\") =supf (\") — lnff (\")\"!\"( D

1 2 \"( D

证明 T对于6 \"1 , \"2 ( D,都有 lnff (\")—f(\"1) —supf (\"),nff(\") —f(\"2 ) —supf(\")!\"(D

\"(D \"(D\"(D'・ f (\"1)—f (\"2 ) —supf (\")—l nff (\"),\"(D

1. 设 f (\") , g\")有界,且满足 f(\") — g(\"), \"(D,证明：supf (\") —supg(\") ; inff (\")— infg(\").\"(D

\"(D

\"(D即supf (\")——lnff (\")是 f (\"1)—f (如) 的一

\"(D

\"(D\"(D \"(D(提示：运用思路1)个上 .2. 设有两个数集％和B ,满足%U (, b) , BU

[b,c](aVbVc)，证明:sup%— infB.(提示：运用思T 对于 6 !〉0 , 8 f 1 , f 2 ( D,使得 f (f 1 )〉

supf (\")—！，f (f 2 ) V l nff (\") +e,\"(D

\"(D2)3. 设数集%有界，且数集B = {\"+c|\"(%}'•对于 6 !〉0, 8 f 1 ,\"'\" (D,使得 f (f 1)—f (f 2 ) I〉supf (\")—l nff (\") —2e.\"(D

\"(D(c 为常数)，证明:supB = sup% + c ； infB = lnf% + c. ( 示：

由于！的任意性得3)参考文献supf (\") — lnff (\")是 f(\"1)—f(\"\") 的最小上界.

\"(D

\"(D\"!\"( D

1 2 sup |f(\"1)—f(\"2) = supf (\")—l nff (\").\"( D

\"( D()华东师范大学数学系•数学分析[M) 4版.北京：高等教育出版社，2010：6.以上即为运用三种思路证明的七组确界不等(上接第31页)参考文献4结论论文研究了敌舰沿任意直线方向逃逸时的鱼雷 击舰问题.通过数学建模得到微分方程(4),然而，求

()电子科技大学数学科学学院.微积分上册[M).版.： 高等教 ,2018.()向隆万，乐经良.导弹跟踪问题().高等数学研究,

1999, 12(04)：35 - 43.()夏必腊，沈浮，程燕，等.鱼雷追击海上目标为题的

数学模型研究().数学的实践与认识，2012, 42(7)：

解该微分方程显得十分困难.本文利用类比思想, 通过坐标旋转变换，将问题归结为敌舰沿垂直于两 舰连线方向逃逸情况，从而得到了敌舰沿任意直线 方向逃逸时鱼雷追击的运动轨迹方程的解析解.本 文不仅为解决追击问题提供了新的思想方法，也为

123 - 126.()王光宇.“等速率追击”问题研究().物理通报,

2012, 11：58 - 60.()蒋雪峰，蔡佳利，周洋靖，等.潜艇追踪问题研究().

科技广场，2011, 3:17-19.求解微分方程提供了坐标旋转变换的计算方法.