一、选择题：
1． 3的相反数是（ ） A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
第2题图 第7题图 第8题图 3．用科学记数法表示136 000，其结果是（ ）
6536
A．0.136×10 B．1.36×10 C．136×10 D．136×10
2
4．化简（2x）的结果是（ ）
422
A．x B．2x C．4x D．4x 5．（4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
6．不等式组： 的解集是（ ）
＞
A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣3
7．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
9．若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（ ） A．1区 B．2区 C．3区 D．4区
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
0
11．计算|﹣2|﹣3= ．
12．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE．若DE=3，则线段BC的长等于 ． 第12题图 第15题图
13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是 ．
14．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是 ．
15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 度．
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4
16．已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．先化简，再求值：（1﹣）•
，其中a= ﹣1．
18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．
19．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
的长； （Ⅰ）若AB=4，求
= ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线． （Ⅱ）若
22．小明在某次作业中得到如下结果：
22222222
sin7°+sin83°≈0.12+0.99=0.9945， sin22°+sin68°≈0.37+0.93=1.0018，
22222222
sin29°+sin61°≈0.48+0.87=0.9873， sin37°+sin53°≈0.60+0.80=1.0000，
sin45°+sin45°=（）+（）=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sinα+sin（90°﹣α）=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sinα+sin（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
23．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下： 使用次数 0 1 2 3 4 5（含5次以上） 累计车费 0 0.5 0.9 a b 1.5 同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据： 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 30 25 15 （Ⅰ）写出a，b的值； （Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
24．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形． （Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP= ，求CF的长．
2
25．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b． （Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．
（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣ ，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN面积的最小值．
2017年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
2
2
2
2
2
222
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4
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）（2017•长春）3的相反数是（ ） A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【解答】解：3的相反数是﹣3 故选A． 2．（4分）（2017•福建）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：图形的左视图为：，
故选B． 3．（4分）（2017•福建）用科学记数法表示136 000，其结果是（ ）
6536
A．0.136×10 B．1.36×10 C．136×10 D．136×10
5
【解答】解：用科学记数法表示136 000，其结果是1.36×10， 故选：B．
2
4．（4分）（2017•福建）化简（2x）的结果是（ ）
422
A．x B．2x C．4x D．4x
22
【解答】解：（2x）=4x， 故选：C． 5．（4分）（2017•福建）下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
【解答】解：A、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D符合题意； 故选：A．
6．（4分）（2017•福建）不等式组： 的解集是（ ）
＞ A．﹣3＜x≤2
B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣3 【解答】解：
＞
解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2， 故选A． 7．（4分）（2017•福建）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）
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4
A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15
【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20， 最中间的数是15，
则这组数据的中位数是15；
15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15． 故选：D． 8．（4分）（2017•福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD 【解答】解：连接BC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°， ∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°， 故选：D． 9．（4分）（2017•福建）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
， 【解答】解：依题意得：
∴k=n﹣4， ∵0＜k＜2， ∴0＜n﹣4＜2， ∴4＜n＜6， 故选C． 10．（4分）（2017•福建）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（ ） A．1区 B．2区 C．3区 D．4区
【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心， 由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°， ∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区， 故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
0
11．（4分）（2017•福建）计算|﹣2|﹣3= 1 ． 【解答】解：原式=2﹣1 =1．
故答案为：1． 12．（4分）（2017•福建）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE．若DE=3，则线段BC的长等于 6 ．
【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∵DE=3， ∴BC=2DE=6． 故答案为：6． 13．（4分）（2017•福建）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1
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4
个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是 红球 ．
【解答】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，
∴这三种颜色的球的个数相等， ∴添加的球是红球， 故答案为：红球． 14．（4分）（2017•福建）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是 7 ． 【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ∴AB=3﹣1=2， ∵BC=2AB=4，
∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7， ∴点C表示的数是7． 故答案为7． 15．（4分）（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 108 度．
【解答】解：如图， 由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°， ∠5=∠6=180°﹣108°=72°， ∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°， 故答案为：108．
16．（4分）（2017•福建）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y= 的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为
．
【解答】解：如图所示，根据点A在反比例函数y= 的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2， ）， 根据矩形和双曲线的对称性可得，B（ ，2），D（﹣ ，﹣2），
由两点间距离公式可得，AB= = ，AD= = ，
∴矩形ABCD的面积=AB×AD= × = ， 故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）（2017•福建）先化简，再求值：（1﹣ ）• ，其中a= ﹣1．
第5页（共页）
4
【解答】解：当a= ﹣1时 原式==
•
= 18．（8分）（2017•福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D． 【解答】证明：如图，∵BE=CF， ∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（SSS）． ∴∠A=∠D． 19．（8分）（2017•福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点． 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，
∴∠BPD+∠PBD=90°． ∵∠BAC=90°，
∴∠AQP+∠ABQ=90°． ∵∠ABQ=∠PBD， ∴∠BPD=∠AQP． ∵∠BPD=∠APQ， ∴∠APQ=∠AQP， ∴AP=AQ． 20．（8分）（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解． 【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚， 结合上有三十五头，下有九十四足可得： ，
解得： ．
答：鸡有23只，兔有12只． 21．（8分）（2017•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
的长； （Ⅰ）若AB=4，求
= ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线． （Ⅱ）若
【解答】解：（Ⅰ）连接OC，OD， ∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°， ∴∠COD=90°，
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4
∵AB=4， ∴OC= AB=2， 的长=∴
×π×2=π；
= ， （Ⅱ）∵
∴∠BOC=∠AOD， ∵∠COD=90°， ∴∠AOD=45°， ∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°， ∴∠ODA=67.5°， ∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°， ∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°， ∴PD是⊙O的切线． 22．（10分）（2017•福建）小明在某次作业中得到如下结果：
2222
sin7°+sin83°≈0.12+0.99=0.9945，
2222
sin22°+sin68°≈0.37+0.93=1.0018，
2222
sin29°+sin61°≈0.48+0.87=0.9873，
2222
sin37°+sin53°≈0.60+0.80=1.0000， sin45°+sin45°≈（）+（）=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sinα+sin（90°﹣α）=1．
22
（Ⅰ）当α=30°时，验证sinα+sin（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例． 【解答】解1：（1）当α=30°时，
22
sinα+sin（90°﹣α）
22
=sin30°+sin60° =（）+（）
2
2
2
2
2
2
2
2
= + =1；
（2）小明的猜想成立，证明如下： 如图，在△ABC中，∠C=90°， 设∠A=α，则∠B=90°﹣α，
22
∴sinα+sin（90°﹣α） =（ ）+（ ）
2
2
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4
=
= =1． 23．（10分）（2017•福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下： 使用次数 0 1 2 3 4 5（含5次以上） 累计车费 0 0.5 0.9 a b 1.5 同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据： 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 5 15 10 30 25 15 （Ⅰ）写出a，b的值； （Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；
（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：
×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元），
所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元）， 因为5500＜5800，
故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利． 24．（12分）（2017•福建）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP= ，求CF的长． 【解答】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°， ∴DC=AB=6，
∴AC= =10， 要使△PCD是等腰三角形，
①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4， ②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°， ∴∠PAD=∠PDA， ∴PD=PA， ∴PA=PC， ∴AP= AC=5，
③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ， ∵S△ADC= AD•DC= AC•DQ， ∴DQ=
= ，
第8页（共页）
4
∴CQ= =，
∴PC=2CQ=，
∴AP=AC﹣PC=10﹣=；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或 ；
（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形， ∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF， ∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD， ∴OC=
ED，
在矩形PEFD中，PF=DE， ∴OC= PF，
∵OP=OF=
PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC， ∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°， ∴2∠OCP+2∠OCF=180°， ∴∠PCF=90°，
∴∠PCD+∠FCD=90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°， ∴∠PAD=∠FCD， ∴△ADP∽△CDF， ∴
， ∵AP= ， ∴CF=
． 方法2、如图，
∵四边形ABCD和DPEF是矩形， ∴∠ADC=∠PDF=90°， ∴∠ADP=∠CDF，
∵∠DGF+∠CDF=90°， ∴∠EGC+∠CDF=90°， ∵∠CEF+∠CGE=90°， ∴∠CDF=∠FEC，
∴点E，C，F，D四点共圆，
第9页（共4
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∵四边形DPEF是矩形， ∴点P也在此圆上，
， ∵PE=DF，∴
∴∠ACB=∠DCF， ∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAP， ∴∠DAP=∠DCF， ∵∠ADP=∠CDF， ∴△ADP∽△CDF， ∴
，
∵AP= ， ∴CF=
．
2
25．（14分）（2017•福建）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b． （Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．
（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣ ，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN面积的最小值． 【解答】解：
2
（Ⅰ）∵抛物线y=ax+ax+b过点M（1，0）， ∴a+a+b=0，即b=﹣2a，
∴y=ax+ax+b=ax+ax﹣2a=a（x+）﹣，
2
2
2
∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣ ，﹣ ）；
（Ⅱ）∵直线y=2x+m经过点M（1，0）， ∴0=2×1+m，解得m=﹣2，
2
联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）
22
∴△=（a﹣2）﹣4a（﹣2a+2）=9a﹣12a+4， 由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b， ∴a＜0，b＞0， ∴△＞0，
∴方程（*）有两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x+（1﹣ ）x﹣2+ =0， ∴（x﹣1）[x﹣（﹣2）]=0，解得x=1或x=﹣2，
2
2
∴N点坐标为（ ﹣2， ﹣6），
第10页（共页）
4
（i）由勾股定理可得MN2
=[（
﹣2）﹣1]2
+（
﹣6）2
=
2
﹣
+45=20（
﹣
），
∵﹣1≤a≤﹣
，
∴﹣2≤
≤﹣1，
∴MN2
随
的增大而减小，
∴当
=﹣2时，MN2
有最大值245，则MN有最大值7 ，
当
2
=﹣1时，MN有最小值125，则MN有最小值5 ， ∴线段MN长度的取值范围为5 ≤MN≤7 ； （ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E， ∵抛物线对称轴为x=﹣
， ∴E（﹣
，﹣3），
∵M（1，0），N（
﹣2， ﹣6），且a＜0，设△QMN的面积为S， ∴S=S △QEN+S△QEM= |（ ﹣2）﹣1|•|﹣ ﹣（﹣3）|= ﹣ ﹣
，
∴27a2
+（8S﹣54）a+24=0（*）， ∵关于a的方程（*）有实数根，
∴△=（8S﹣54）2
﹣4×27×24≥0，即（8S﹣54）2
≥（36 ）2
， ∵a＜0， ∴S=
﹣ ﹣
＞
，
∴8S﹣54＞0，
∴8S﹣54≥36 ，即S≥ +
， 当S= +
时，由方程（*）可得a=﹣
满足题意， ∴当a=﹣ ，b=
时，△QMN面积的最小值为
+
．
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