圆锥曲线离心率的求法总结版

椭圆的离心率0e1，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e1．

一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ec来解决。 ax2y2例1：已知F1、F2是双曲线221（a0,b0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角

ab 形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 423 B. 31 C.

31 D. 31 2解1：

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F11,0、F23,0，则其离心率为（ ）

3211 B. C. D. 4324解：由F11,0、F23,0知 2c31，∴c1，又∵椭圆过原点，∴ac1，ac3，

c1∴a2，c1，所以离心率e.故选C.

a2A. 变式练习2：

P3,1x2y2点 在椭圆221（ab0）的左准线上，过点P且

aba2,5方向为 的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离

心率为（ ）

A

1132 B C D 3232解：由题意知，入射光线为y15x3，关于y2的反射光线（对称关系）为2a2c335x2y50，则c解得a3，c1，则e，故选A

a35c50x2y2变式练习3：[2016·全国卷Ⅲ] 已知O为坐标原点，F是椭圆C 221（ab0）的

ab左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )

1123A. 3 B. 2 C. 3 D. 4 12．A [解析] 设M(－c，y0)，则AM所在直线方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得E（0，

－c＋aay0y0－ay0－ay01

）.BM所在直线方程为y＝(x－a)，令x＝0，得y＝.由题意得＝×－c＋a－c－a－c－a－c－a2ay0c1

，解得a＝3c，即e＝＝. －c＋aa3

二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

y0

x2y2例2：设双曲线221（0ab）的半焦距为c，直线L过a,0，0,b两点.已知原

ab点到直线的距离为

3c，则双曲线的离心率为( ) 423 3A. 2 B. 3 C. 2 D.

解：由已知，直线L的方程为bxayab0，由点到直线的距离公式，得

aba2b23 c，4又cab, ∴4ab2223c2,两边平方，得16a2c2a23c4，整理得

3e416e2160，

c2a2b2b242212e4，得e4或e，又0ab ，∴e2，∴∴e2，22aaa322故选A

变式练习1：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（ ）

A 3 B

0663 C D

323解：如图所示，不妨设M0,b，F1c,0，F2c,0，则

MF1MF2c2b2，又F1F22c，

在F1MF2中， 由余弦定理，得

cosF1MF2MF1MF2F1F22MF1MF2222,

b2c211c2b2c2b24c2即，∴， 22222bc22cb2a2163222e∵bca，∴2，∴，∴，∴，故选B 3a2ce2222ca222

x2y2变式练习2：【2017课标3，文11】已知椭圆C：221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，

abA2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（ ）

A．6 3 B．3 3 C．2 3

D．

13【答案】A

变式练习3：[2016·全国卷文Ⅰ] 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的1

距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )

4

1123A. B. C. D. 3234

[解析] 不妨设直线l经过椭圆的焦点F(c，0)和顶点(0，b)，则直线l的方程为＋＝1，椭圆中心到直线l的距离为

|－bc|

1c1222

＝×2b.又a＝b＋c，所以离心率e＝＝. B

a2b2＋c24

xycb

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解：ec2c2c2ca2aPF1PF222c2c12121

变式练习1．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 . 1 2x2y2变式练习2．已知F1、F2是双曲线221(a0,b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三

ab角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 31

x2y2变式练习3．如图，F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个

ab焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 . 13

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

x2y2例4：设椭圆221（a0,b0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1ab且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是

.

解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵ADl1于D，∴AD为F1到

1ABAF112 准线l1的距离，根据椭圆的第二定义，eADAD2变式练习1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，

则该椭圆的离心率为（ ） A 2 B

122 C D

224解：eAF2AD222 12x2y2变式练习2：．已知双曲线C：221a0,b0的右焦点为F,过F且斜率为3的直线ab交C于A、B两点，若AF4FB,则C的离心率为 .

6 5x2y23变式练习3：已知椭圆C：221（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）

2abuuuruuur的直线于C相交于A、B两点，若AF3FB，则k = . 2

五、构建关于e的不等式，求e的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式． （一）基本问题

x2y2例．椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若

ab2 1MN≤F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是 ．，2x2y21的离心率e的取值范围是 ．(2，5) Ex1．设a1，则双曲线22a(a1)x2Ex2．【2017课标II，文5】若a1，则双曲线2y21的离心率的取值范围是

aA. (2,) B. (2,2) C. (1,2) D. (1,2) 【答案】C

1c2a211112，则1e2，故【解析】由题意e2，因为，所以a11222aaaa2选C.

【考点】双曲线离心率

【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方

程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

（二）数形结合

xy例．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，

ab

2

2

12uuuuruuuurEx1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心

则椭圆离心率的取值范围是 .[,1) 率的取值范围是 .(0,

2) 2