利用初等变换求逆矩阵思想的应用

汤琼I刘扬帆2郑玉军彳杨雪花I张海湘1(4.湖南工业大学理学院，湖南株洲412007； 2.湘潭大学材料科学与工程学院，湖南湘潭4X005；3.湖南科技学院理学院，湖南永州425199)摘 要：本文利用初等变换求逆矩阵的思想，分析在求解系数矩阵可逆的3种线性方程组过程中，向量空间基的坐标及 化二次型为标准型问题中此思想的应用，为相关问题的解决提供简单、实用、统一的方法，对线性代数的学习和提高学生分析相关问题能力有很好的借鉴作用.关键词：初等变换；逆矩阵；线性方程组；二次型

中图分类号：0151文献标识码：A1引言文章编号：1673-2219 (2019) 10-0004-03初等矩阵。线性代数是大学教育中一门难度较高的基础必修课程 引理1[3' 41初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵为同类型的 初等矩阵:E(和厂1 =

['-2),它的学习难度一方面来自于这门课程本身的高度抽象 性，另一方面课程要求学生在较短的时间内(课时都不多) 认识了解一个新的研究对象以及相关的一套新的运算规则，

(嵋)T = E(i(》)，E(0伙))T =其转置矩阵为同类型的初等矩阵而这些特有的思想与学生曾学习了十余年的初等数学和高

等数学的思想有比较大的差异，故大多学生对线性代数的掌

握程度不是很理想,这个从每年考研科目数学试卷中线性代

= E(i,j),E(i(k))T = E^k)),E(ij(k))T = E(ji(嘲.弓I理2°，勺设A是一个ms矩阵，对\"施行一次初等 行变换，相当于在\"的左边乘相应的皿阶初等矩阵；对％

数的得分情况可看出0这要求教师在教学的过程中更需要进 行对比教学，以此凸显线性代数自身的规则以及规则的特 点。矩阵的初等变换是代数学中分析问题、解决问题的非常

重要的方法之一。逆矩阵是教学过程中一个主要概念，对研 究其他线性结构有着非常重要的作用山21。有关初等矩阵的

施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的”阶初 等矩阵。相关理论分析学生觉得很抽象，为让学生在较短时间内掌握 引理3卩，1方阵a可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵

使 a = p1p2 - p1.初等变换的思想，本文归纳总结了线性代数教学中有关利用 初等变换求逆矩阵思想的应用，对提高学生分析相关问题能

力有很好的作用。根据上述引理1, 3,我们得到h_i = Q1Q2 \"Qi = Q1Q2 '■ ■ Q〔E, (1)2利用初等变换求逆矩阵思想定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为a~1a = q1q2-q1a = e,

(2)收稿日期：2018—11 — 15由引理2和式(2), A通过一系列初等行变换变成单位 阵E,由式(1)得单位阵E通过同样的初等行变换就得到所

基金项目：湖南省自然科学基金项目(项目编号

2018JJ4062)。作者简介：汤琼(1972—)，女，湖南浏阳人，湖南工 业大学教授，博士，研究方向为计算数学。求的可逆矩阵/7 ,即通过式(3)利用初等行变换求/7 :通讯作者：刘扬帆(1998-),男，湖南茶陵人，湘潭

(4E)~(E,/T). (3)大学材料科学与工程专业2016级学生，研究方向为计算材

料学。类似的若考虑=002…0 =£002…SAA~l = AQxQ2…Q[ =E ,即\"通过一系列初等列变换变 成单位阵E,则单位阵E通过同样的初等列变换就得到所求

的可逆矩阵八,即通过式⑷利用初等变换求(4)3求解系数矩阵可逆的线性方程组AX = B依据上述思想，考虑线性方程组AX = B,若系数矩 阵/可逆，则X = A~]B可利用式(3)思想求，根据引理3

\"T = …Q[E, = 002 ''- = E ,A^B=Q1Q2 - QlB = X ,由引理2,即X通过一系列初等行变换变成单位阵E,则B通过同样的初等行变换就得到所求的方程组的解AXB ,可通过式(5)利用初等变换求解X - (E,A~'b = X). (5)‘3 0 1、例1：设矩阵“ =1°1 11 04丿，且满足破 =/+!¥,求矩阵X.解：由 AX = A+ 2X ,则 “ -2E)X = A ,由 / - 2E 可

逆，贝IJX = (A-2E)~X A ,由式(5),利用矩阵初等行变换可得(A - 2E, A) ~ (E, (A - 2E)_1 A) = (E, X).<5-2 -2、故X =4-3-2<-224求解系数矩阵可逆的线性方程组XA = B考虑线性方程组XA = B ,若系数矩阵虫可逆，则X = B/T.考虑利用式(4)思想求解：f 1 = QxQ2-Qi= eq© …QyS =哪2 …Q】=e，

BA~X =BQ}Q2-Qj=X.即A通过一系列初等列变换为单位阵E,则B通过同样

的初等列变换就得到方程组的解X = B/fT可通过式(6)利用初等列变换求X = BA~X：'1 0 0、1 -4 3例2:解下列矩阵方程X10。 01 °>1=12】 -20-1 0,'1 0 0''1 -4 3、'1 0 0'解：•••/ =0 0 1可逆，故X =2 0-10 0 1<0 1 0丿<1 -2 0,、0 1 0,5求解系数矩阵可逆的线性方程组AXB=C考虑线性方程组AXB=C,若系数矩阵/, B可逆，则X = /Tcb7,利用式(3)和(4)思想考虑分两步求，先求Y = /-C ,再求X = FB-1 .即A通过一系列初等行变换变

成单位阵E,则C通过同样的初等行变换得到『，然后B通 过一系列初等列变换变成单位阵E,则Y通过同样的初等列

变换得到X,即(A,C)~(E,A~lC) = (E,Y).初等行变换 (7)初等列变换(8)例3:解下列矩陣方程‘01 0)(1 0 0)(1 -4 3、1°100X001=2 0 -1 .0 1丿(0 1 0丿-2 0 丿‘0 10)

(10 0)

(1-43'解：/=100 ,B= 0 0 1 ,C= 20-1、0 0 1丿 (0 1 0丿 -2 0,A,B 可逆，故 X=A-'CB \\根据式(7),则利用初等行变换，‘2 0 -1、(4C) 〜(£■『(?) = (E,y), 7= 1 -4 3(1 -2 0丿再根据式(8)利用初等列变换,5(2 0、则方程组的解1

3 -4U 0 一2丿6求向量空间基的坐标若向量勺，々，…,勺为n维向量空间的一组基，向量0 由这组基的线性表示为0=^21+^2^2+••• + %◎，则坐

xpx2,…,®可利用上述初等变换思想求。若基为列向量组组成，其对应矩阵

力=(吟。2,…，勺)，则列向量(、X10 =(4],勺，…，勺)X2 = AX, A 可逆，故X = A '0.

UJ根据式(5)通过初等行变换可利用式(9)求岀向量在对

应基下坐标。X: \" 0) ~ (E \"%) = (£ X).

(9)(a\\\\若基为行向量组组成，其对应矩阵/= a.2

,则行向量\\an)(a\\、〃 = (X],X2，...,x”)? =XA,A 可逆，则 X = [3AX.\\an)故根据式(6)通过初等列变换可求出向量在对应基下坐标X ：(10)向量组中向量由最大无关组线性表示也可利用初等变

换求逆矩阵的思想式(3)和式(4),由于最大无关组不一定构 成方阵，故考虑将最大无关组化为行(列)最简型，根据式(5)

和式(6),其余向量进行相应行(列)变换后得到对应的分量即 为最大无关组线性表示的系数。7利用初等变换方法化二次型为标准型任一个对称矩阵A都合同于一个对角阵A,即存在可 逆矩阵C使CTAC = A,由引理3,可逆阵C可写成一系 列初等矩阵的乘积：c = ei\\p2...ps 9则CT AC =P^T ...P^T APX...PS = A,

(11)6结合式⑶和(4)的思想和引理1,根据式(11),则久通过 系列成对初等列、行变换化为对角阵A ,单位阵E进行对 应的初等列变换化为可逆阵C,可得如下结论：2(12)例 4 化二次型 / = xf + 2x| + 2xj — 2xj%2 + -为标准形，并求所作的可逆线性变换。解：根据公式(12)< 1-12、'100、-12-301()2-3200-310011-1()10011<00<00(\\-1\\故C= 0 1

11 ,相应的可逆线性变换为x=Cy,标准形b 0 丿/ = y； + yl _3送.8结束语矩阵是代数学一个主要研究对象，具有极为广泛的应

用。本文通过对利用初等变换求逆矩阵的思想分析，根据初

等变换与初等矩阵的关系，利用单位矩阵将所作的初等行变 换与初等列变换记录下来，分析了求解系数矩阵可逆的3

种线性方程组AX=B, XA=B, AXB=C求解，向量空间基的

坐标及初等变换方法化二次型为标准型中此思想的应用，这

些都是学习者在学习过程中需要掌握的重要内容。本文旨在 协助教师在开展教学时，能够举一反三，为此类问题的解决

提供简单、实用，统一的方法，以点带面来引导学生将所学

知识融合，注重知识点之间的相关性学习。同时，也帮助学

习者能够更加全面的认识矩阵初等变换这一重要概念，对线

性代数的学习有很好的借鉴作用。参考文献：[1] 肖湮.逆矩阵的判定及计算方法[J].高等数学研究,2016, 19(4):72-76.[2] 陈现平.初等变换求矩阵逆思想的应用[J].枣庄学院学报,

2007,24(2):30-31.[3] 同济大学数学系.工程数学-线性代数(第六版)[M].北京：

高等教育出版社,2014.[4] 周勇，朱砾.线性代数[M].上海:复旦大学出版社,2009.(责任编校：宫彦军)