牲 解题技巧与方法 ｔ ８７ １ 镪 ＿ 罄 龚 携瑷在高中数譬解题 书鲶庶 ◎刘立国 （山东省齐河县第一中学 ２５１１００） 数学家高斯说：“数学是锻炼思维能力的体操．”类比思 个侧面ＡＢＣ，ＡＣＤ，ＡＤＢ两两相互垂直，则 ．” 维是培养学生创造性思维能力的重要形式，具有较强的探 分析关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住 索和预测作用．教学中恰当地运用类比方法，不仅能突｝｝｛问 几何要素的如下对应关系：点——线、线——面、面——体 题的本质，提高教学质量，而且有助于培养学生的创造能力 （圆——球、三角形——四面体、平行四边形——平行六面 等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力． 体、二面角——平面角）、平面向量——空间向量等． 下面结合实例对几种常见的类比形式做一分析、比较， （二）解析几何中的类比 以便更好地把握类比思想在数学解题中的麻川． 圆锥曲线包括圆在内都是平面截圆锥所得的曲线形 数列中的类比 式，从定义、方程推导、性质到题型、方法都存在共性，通过 教学中教师要很好地挖掘知识问的联系，允分地让学 类比降低教学难度，使类比思维方法潜移默化地渗透于教 生去类比、联想和想象，激发学生的创造热情和探索欲望． 学之中． 如，和——积、差——商、算数平均数——几何平均数的类 例３ 在以原点为圆心，半径为ｒ的圆上有一点Ｐ（‰， 比等． Ｙ。），则过此点的圆的切线方程为Ｘ０ ＹｏＹ＝ｒ ，而在椭圆 例１ 在等差数列｛ａ ｝中，若ｎ。。＝０，则有等式。，＋ ａ２＋…＋ａ ＝ａｌ＋ａ２＋…＋ａｌ９（ ＜１９，ｎ∈Ｎ＋）成立，类比 ａ ＋告＝１（。＞ｂ＞０）中，当离心率ｅ趋近于０时，短半轴ｂ Ｏ 上述性质，相应地：在等比数列｛ｂ ｝中，若ｂ。＝１，则有等式 就趋近于长半轴ａ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公 成立． 式，在椭圆中，Ｓ椭＝类比过圆上一点Ｐ（ 。，Ｙ。）的 解析 由ａｌｏ：０，可得ａ ＋ａ２０一 ＝０，因而当ｎ＜１９一ｎ时， ２ 有ａ１＋ａ２＋…＋ａｌ９一 ＝ａｌ＋ａ２＋…＋ａ ＋ａ ＋ｌ＋ａ ＋２＋…＋ 圆的切线方程，则过椭圆 ＋÷ ：１（。＞ｂ＞０）上一点Ｐ ａ ｂ （ 。，Ｙ。）的椭圆的切线方程为’而 。 … … ： ：０， 等式成立．同理可得ｎ＞１９一ｎ时的情形． 答案 ·０·ｂ； · ＋ ·Ｙ＝１． ａ ｏ 类似地，在等比数列｛６ ｝中，由ｂ ＋。·ｂ。 一 ＝ｂ；＝１，因 三、定义、运算中的类比 而得到答案：ｂｌ ｂ２…一ｂ ＝ｂｌ ｂ２·…·ｂｌ７一 （ｎ＜１７，ｎ∈ 数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似．”把两个数 Ｎ １． 学对象进行比较，找出它们相似的地方，加以应用，这在教 证明 ①当ｎ＜８时，６ｌ ｂ …一ｂ ＝ｂ，ｂ …一ｂ ｂ ＋。· 学中关于概念、性质的教学是最常用的方法． ｂｌ７ ． １ 例４ 设＿厂（ ）＝— ，利用课本中推导等差数列前ｎ ＥⅡ：ｂ ＋ｌ·ｂ ＋２‘…·ｂｌ７ ＝１． ２ ＋√２ ｂ９＝ｌ，． ．ｂ＾＋Ｉ·ｂｌ７ ＝ｂ；＝１． 项和公式的方法，可求得／（一５）＋－厂（一４）＋…＋，（０）＋ ｂ ６ ＋２…一ｂｌ７＿＝１． ＋ ５）＋ ６ 的值为６ ②当ｎ＝８时，显然成立． 解析本题是“方法类比”．因等比数列前ｎ项和公式 ⑧当８＜ｎ＜１７时， 的推导方法是倒序相加，那么经类比不难想到＿厂（一５）＋ ｂｌ ｂ２。…·ｂ１７ｂｌ８ｂ ＝ｂ１ ｂ２·。·。·ｂ Ｊ ７厂＿（一４）＋…十＿厂（０）＋…＋，（５）＋＿厂（６）＝［八一５）＋八６）］＋ Ｅ口：ｂｌ８一 ·ｂ１９一 ·…·ｂ ：１． ［－厂（一４）＋＿厂（５）］＋…＋［ｆ（０）＋－厂（１）］．而当 ＋ ：１时，有 ｂ９＝１，．。．ｂｌ８ｂ ＝ｂ；＝１． ／ ·）＋ （ ：） 而１＋ １ｂｌ９ｂ ： 一”＝１２ｑ＋√２ ２ ＋√２ ｂｌ８综上可知，当等比数列｛ｂ ｝满足６。＝１时，有ｂ ｂ · （２”＋２ 十２ ）±！ ： ± ２一 ： ，故所求答案为＝ ，故所求答案为６ ×，× Ｇ－：３４－＝√ ｂ ＝ｂｌ ｂ２…··ｂ１７（ｎ＜１７，ｎ∈Ｎ ）成立． 二、几何中的类比 教师的日常教学中要根据教材特点，在传授新知识时， （一）平面到空间的类比 有意识地引导学生，通过类比与归纳得出新的知识，逐步学 例２ 在平面几何中，由勾股定理：“设ＡＡＢＣ的两边 会类比推理的方法；在进行知识复习时，经常对相关的知识 ＡＢ，ＡＣ互相垂直，则ＡＢ ＋ＡＣ ＝ＢＣ ．”拓展到空间，类比平 进行类比，培养学生对相关知识进行类比的习惯；在解题 面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间 中，通过类比弓ｌ导学生探求解题途径，深化对知识的理解和 的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥Ａ—ＢＣＤ的三 对数学思维方法的掌握． 段学学习与研究２０１２．５