《二次根式》培优专题之难点指导与典型例题(含答案及解析)

——难点指导及典型例题

【难点指导】

1、如果a是二次根式，则一定有a≥0；当a≥0时，必有a≥0； 2、当a≥0时，a表示a的算术平方根，因此有非负数写成

3、

2aa；反过来，也可以将一个

2a的形式；

22

a表示a的算术平方根，因此有a4、区别aa和aa的不同：

22a，a可以是任意实数；

2a2中的可以取任意实数，

a中的a只能是一个非负数，否则

2a无意义．

5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：

：

（1）因式的内移：因式内移时，若m＜0，则将负号留在根号外．即： mxm2x(m＜0)．

（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：

6、二次根式的比较： （1）若

，则有

；（2）若

，则有

．

说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．

【典型例题】

1、概念与性质

2、二次根式的化简与计算

}

例1. 化简

1aa的结果是（ ）

A．a B．a C．-a D．-a 分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B形式最简单,

所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A或D;这些都是错误的.本题对概念的要求是较高的,题中隐含着a0这个条件,因此原式的结果应该是负值,并且被开方数必须为非负值. 解：C. 理由如下:

∵二次根式有意义的条件是∴原式=

10,即a0， a.故选C.

112(a)(a)()aaa1

－a－b 化成最简二次根式

例2. 把（a－b） 解：

}

例3、先化简，再求值：

11b5151，其中a=，b=． abba(ab)22

3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。（1）

$

； （2）

4、比较数值 （1）、根式变形法

当a0,b0时，①如果ab，则a例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法

当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。

2222b；②如果ab，则ab。

例2、比较32与23的大小。

】

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较1514与1413的大小。

（5）、倒数法

例5、比较76与65的大小。

~

21与的大小。 3121（6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较73与873的大小。

73＜6，873＞6，∴73＜873

（7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①ab0ab；②ab0ab 例7、比较

|

212与的大小。 313

（8）、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①

ab1ab； ②

ab1ab

例8、比较53与23的大小。

5、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

， 验证：；

验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想44的变形结果，并进行验15证； [

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.

例2. 已知

发展：已知

例3、化简下列各式：

（1）423 （2）526

例4、已知a>b>0，a+b=6ab，则 ，则a______。

，则a_________

2ab的值为（ ）A． B．2 C．2

2abD．

1 2