椭圆知识点总结

.

椭圆知识点

知识要点小结：知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若(PF1 若(PF1PF22aF1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定

PF2F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2； PF2F1F2)，则动点P的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程

x2y22221．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：221(ab0)，其中cab

aby2x22222．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：221(ab0)，其中cab；注意：1．只有当椭圆的中心为

ab坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有(a 3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(c,0)； 当焦点在

b0)和c2a2b2；

y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,c)

知识点三：椭圆的简单几何性质

x2y2椭圆：221(ab0)的简单几何性质

abx2y2（1）对称性：对于椭圆标准方程221(ab0)：说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、

abx2y2y、原方程都不变，所以椭圆221是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，

ab这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：

椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足xa，yb。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

x2y2②椭圆221(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1(a,0)，A2(a,0)，

ab

jz*

B1(0,b)，B2(0,b)

.

.

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，轴长。

（4）离心率：

A1A22a,B1B22b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e2cc。 2aa越小，因此椭圆

②因为(ac0)，所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1，则c就越接近a，从而ba2c2越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当a点重合，图形变为圆，方程为x2b时，c0，这时两个焦

ya。注意：

2

x2y2椭圆221的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）

ab(PF1PF22a)；

PF1PM1PF2PM2e；

(PM1PM2（2）(BF1 （3）

2a2)；

c；

BF2a)；(OF1OF2c)；A1BA2Ba2b2A1F1A2F2ac；A1F2A2F1ac；acPF1ac；

x2y2y2x2知识点四：椭圆221 与 221(ab0)的区别和联系

abab

标准方程 x2y221 (ab0) 2aby2x221 (ab0) 2ab图形 性质 焦点 F1(c,0)，F2(c,0) F1(0,c)，F2(0,c) jz*

.

. 焦距 F1F22c F1F22c 范围 对称性 顶点 轴长 xa，yb 关于x轴、xb，ya y轴和原点对称 (a,0)，(0,b) 长轴长=2a，短轴长=2b (0,a)，(b,0) 离心率 ec(0e1) aa2yc准线方程 a2xc 焦半径 PF1aex0，PF2aex0 PF1aey0，PF2aey0 x2y2y2x2注意：椭圆221，221(ab0)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有(ab0)abab和ec(0e1)，a2b2c2；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法： 1．如a何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义

椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：(ab0)，

(ac0)，且(a2b2c2)。

可借助右图理解记忆：

显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角

边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：

2看x，y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程AxByC(A,B,C均不为零）是表

222示椭圆的条件

jz*

.

.

Ax2By2x2By21，即1，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程方程AxByC可化为

CCCCAB22表示椭圆。当

CCCC时，椭圆的焦点在x轴上；当时，椭圆的焦点在y轴上。 ABAB的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

5．求椭圆标准方程的常用方法： ①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

x2y2x2y221(mb2)，共焦点，则c相同。与椭圆221(ab0)共焦点的椭圆方程可设为2abambm此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称； ② 若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；

③ 若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SPF1F21PF1PF2sinF1PF2相结合的方法进行计算解题。 2将有关线段PF有关角F1PF2 (F1PF2F1BF2)结合起来，建立PFPF2、F1F2，1、1PF2、PF1PF2之间的关系.

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率ec(0e1)，因为c2a2b2，ac0，用a、ba表示为e1()(0e1)。

2ba显然：当（一）bb越小时，e(0e1)越大，椭圆形状越扁；当越大，e(0e1)越小，椭圆形状越趋近于圆。 aa椭圆及其性质1、椭圆的定义

（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，

两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其

中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率 2、椭圆的标准方程

jz*

.

.

3、椭圆的参数方程

4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比exacos(为参数)

ybsincbe1()2 0e1 aa椭圆的准线方程

a2a2左准线l1:x 右准线l2:x

cc （二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：

（左焦半径）r1aex0 （右焦半径）r2aex0 其中e是离心率 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：

MF1aey0（ 其中F1,F2分别是椭圆的下上焦点） MFaey20 （三）、

直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：

若直线l:ykxb与圆锥曲线相交与A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2)则 弦长AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(kx1kx2)2 1k2x1x2

2 1k

(x1x2)24x1x2

例1. 已知椭圆及直线y＝x＋m。（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。

x2y2

2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(x0，y0)，

abb2x0

则AB的斜率为－2.运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，

ay0



B(x，y)．A、B都在椭圆上，∴

x y a＋b＝1，

2

2

22

2

22

2

22x1 y1

＋＝1，a2b2

两式相减得

2222x1 －x2 y1 －y2 x1－x2x1＋x2y1－y2y1＋y2

＋＝0，∴＋＝0， 2222

ababjz*

.

.

即

y1－y2bx1＋x2bx0bx0

＝－2＝－2.故kAB＝－2. x1－x2ay1＋y2ay0ay0

2

2

2

x2y21内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。 例、过椭圆

164

（四）、四种题型与三种方法四种题型1：已知椭圆

x2y2C：1内

2516有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求｜PA｜+5｜

3PF｜的最小值。

x2y21内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求｜PA｜+｜PF|的最大值与2： 已知椭圆

2516最小值。

x2y231外一点A（5，6），l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，求|PA|+d3：已知椭圆

25165的最小值。

2b2x2y24：定长为d(d)的线段AB的两个端点分别在椭圆221(ab0)上移动，求AB的中点M到椭圆

aab右准线的最短距离。

x2y2三种方法1：椭圆221的切线与两坐标轴分别交于A,B两点， 求三角形OAB的最小面积 。

ab

x2y21和直线 l:x-y+9=0 ，在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦 2：已知椭圆

123 点F1,F2为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。 3：过椭圆2xy2的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求AOB面积的最大值 。

22 课后同步练习

jz*

.

.

1.椭圆

xy1的焦点坐标是 , 离心率是________，准线方程是_________. 2516922x2y21的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为( )A．8 2.已知F1、F2是椭圆169B．16 C．25 D．32

x2y21上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） 3.椭圆

259A.5 B.6 C.4 D.10

x2y21,那么它的焦距是 （ ） 4.已知椭圆方程为

2011A.6 B.3 C.331 D.31

225.如果方程xky2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是

A.（0，+∞） B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)

6．设F1,F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1||MF2|6，则动点M的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段

x2y27.已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 .

m12m8.已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（

53,），则椭圆标准方程是__ ___ 22x2y21的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ __ 9.过点A（-1，-2）且与椭圆6910.过点P（3，-2），Q（-23，1）两点的椭圆标准方程是_ __ ___ y2x211的离心率是，则k的值等于 . 11.若椭圆k892x22

12.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则

3△ABC的周长是 .

x2y22

13.F1、F2分别为椭圆2+2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b的值是

ab22yx1上一点，F1、F2为焦点，F1MF2，则SMFF 14.设M是椭圆122516615.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

221(A)2 (B)2 (C) 2 (D)4

x2y291A(x1,y1),B(4,),C(x2,y2)AF,BF,CF2595F16.设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差

数列”是“

x1x28”的（ ）

（A）充要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要

jz*

.

.

x2y2117.如图，把椭圆2516的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

PFP12FP3FP4FP5FP6FP7F

。 ;

x2y218、已知定点A（a，0），其中0a3，它到椭圆1上的点的距离的最小值为1，求a的值。

94

x2y21的两个焦点,P是椭圆上任一点. 19、已知F1､F2是椭圆

10064(1)若∠F1PF2=

,求△F1PF2的面积。 3(2)求|PF1|·|PF2|的最大值。

jz*