初中二次函数练习题

中考试题精选 初中二次函数练习题

第 19 课 二次函数的图象与性质

一、大纲要求：

（１）通过对二次函数的表达式的分析,体会二次函数的意义。

（２）会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

（３）会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导）。 二、中考考点：

二次函数定义及其图象的性质，以选择填空教多，或者与其他结合考查解答题． 三、知识点分析：

１．二次函数的定义：形如___________________________________叫做二次函数。配方成顶点式为：_______________________它的图象是以直线_______________对称轴，以____________为顶点的一条抛物线．

２．二次函数图象的画法即______________________________，常用五点法。 3．二次函数的图象与性质：y=ax+bx+c的图象与性质

a值 2函 数 的 图 象 与 性 质 １、开口___ ，并且___________________； ２、对称轴是______；顶点坐标（___,______）； ３、当x＝_____时，函数取得最小值________； ４、函数增减性：_________________________ _________________________________________ a>0 a<0 １、开口___ ，并且___________________； ２、对称轴是______；顶点坐标（___,______）； ３、当x＝_____时，函数取得最大值________； ４、函数增减性： ４．y=ax+bx+c的a、b、c的符号如何通过函数图象来确定：

(1)先确定a， 开口向上时，a＞0；开口向下时，a＜0；

(2)再确定c，二次函数与y轴交点为(0,c) ，可通过观察函数图象与y轴的交点来确定； (3)最后确定b，根据对称轴x=－

2bb的位置来确定－的符号．然后在确定b． 2a2a

当－

bbbbb＞０时, ＜０，a、b异号；当－＜０时, ＞０，a、b同号；当－＝2a2a2a2a2a０时, b＝０． 四．典型例题：

1、下列函数中，哪些是二次函数？ （1）yx0 （3）yx22（2）y(x2)(x2)(x1)

21 （4）yx22x3 x22、二次函数y2(x3)5的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；

3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象．

3、函数yx(23x)，当x为 时，函数的最大值是 ； 4、二次函数y12x2x，当x 时， y0;且y随x的增大而减小； 2Y 5、如图，抛物线的顶点P的坐标是(1，－3)， 则此抛物线对应的二次函数有（ ）

(A)最大值1 (B)最小值－3

O (C)最大值－3 (D)最小值1 X P 2

6、已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图3所示，给出以下结论：① a+b+c＜0；② a-b+c＜0；③ b+2a＜0；④ abc＞0 . 其中所有正确结论的序号是（ ） A．③④ C．①④

B．②③ D．①②③

7．一次函数ykxb的图象过点（m，1）和点（1，m），其中

m＞ 1，则二次函数ya(xb)2k的顶点在第 象限；

8、对于二次函数为y=x－x－2，当自变量x＜0时，函数图像在 （ ）

(A) 第一、二象限 (B) 第二、三象限 (C) 第三、四象限 (D) 第一、四象限 9、已知点A（1,y1）、B（22,y2）、C（2,y3）在函数y2x121上，则y1、y2、2y3的大小关系是

A y1 ＞y2＞y3 B y1＞y3＞y2 C y3＞y1＞y2 D y2＞y1＞y3

10、直线yaxb(ab0)不经过第三象限，那么yaxbx的图象大致为 （ ）

y y y y O O O x x x O x

2

A

五、练习

1、函数ym2xA m

2m23m3B C D

为x的二次函数，其函数的开口向下，则m的取值为（ ）

555或m1 B m C m1 D m或m1 22222、二次函数yxaxb中,若ab0，则它的图象必经过点 （ ） A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1） 3、二次函数yaxbxc的图象开口向上，顶点在第四象限内，且与y轴的交点在x轴下方，则点p（a,2c）在 （ ） b22A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4、已知二次函数y3x、y3x、y121（ ） x、yx2它们图象的共同特点为

33A 都关于原点对称，开口方向向下 B 都关于x轴对称，y随x的增大而增大 C 都关于y轴对称，y随x的增大而减小 D 都关于y轴对称，顶点都是原点

25、二次函数yaxbxc(a0)图象如图所示，下面结论正确的是 y（ ） A a＜ 0, c＜ 0, b＞ 4ac B a＞ 0, c＜ 0, b ＞ 4ac 22

C a＞0 , c＞0 , b ＞4ac D a＞ 0 , c＜ 0 , b ＜ 4ac O x 2

2

6、在同一坐标系中，作出函数ykx和ykx2(k0)的图象，只可能是 （ ）

yyyy OO2xx

-2OxOx-2

-2 ADCB7、已知二次函数已知函数yaxbxc的图象如图所示，则下列

系式中成立的是 （ ）

y22bb1 B 02 2a2abb2 D 1 C 12a2aA 02O2x8、抛物线y=x－２x－３的对称轴和顶点坐标分别是（ ）

Ａ x=1,(1,﹣4) Ｂ x=1,(1, 4) Ｃ x=﹣1,(﹣1, 4) Ｄ x=﹣1,(﹣1,﹣4)

9、若二次函数yxmx2的最大值为

29，则常数m_____； 4

10、若二次函数yaxbxc的图象如图所示，则直线yabxc 不经过 象限；

11、（1）二次函数yx2x的对称轴是 ．

22 Oyx（2）二次函数y2x2x1的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小．

（3）抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a= ． 12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？

2213、若a、b、c为△ABC的三边，且二次函数yx2(ab)xc2ab的顶点在x轴

22213上，则△ABC为 三角形； 14、画出抛物线y=-x2＋x－ -

2的图象,指出其对称轴和顶点坐标；并说明这个函数具有5那些性质.

15、如图，在等边△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P.Q分别从B.C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA.AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。 ⑴ 求x为何值时，PQ⊥AC；

2

⑵ 设△PQD的面积为y(cm)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式； ⑶ 当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积； ⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程) A QO

BPDC

第 20 课 二次函数的解析式的求法和平移

一、大纲要求：

（１） 通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。 （２） 能够根据题目要求求出二次函数的解析式． （３） 能够根据题目要求确定平移后的解析式．

二、中考考点：

求二次函数的解析式常常在解答题中出现，而平移常常在选择填空中出现．

三、知识点分析：

１、二次函数三种表达方式；

（１） 一般式:y=ax2+bx+c （a≠0） （２） 顶点式:y=a(x-h)2+k（a≠0） （３） 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）

２、二次函数的解析式求法：

用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独

立的条件，根据不同的条件选用不同的设法：

（１） 设一般式:y=ax2+bx+c （a≠0）

若已知条件是图象上一般的三个点，则设所求的二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），

将已知条件代入组成三元一次方程组，求出a、b、c的值．

（２） 设顶点式:y=a(x-h)+k（a≠0）

若已知二次函数的顶点坐标(h,k)，设所求二次函数为y=a(x+h)+k（a≠0），将第

二个点的坐标代入，求出待定系数a，最后化为一般式．

（３） 设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）

已知二次函数的图象与Ｘ轴的两个交点的坐标为(x1,0),( x2,0)，设所求的二次

函数为y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），将第三点坐标代入，求出待定系数a，最后化为一般式．

３、二次函数的平移规律

2yaxk2axhy=ax y=+k 2ya(xh)222抛物线y=ax+bx+c（a≠0）可由抛物线y=ax平移得到，由于平移时，抛物线上所有点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点的移动情况，因此有关抛物线的平移问题需要利用二次函数的顶点式:y=a(x-h)+k（a≠0）来讨论，所以应先把二次函数化为顶点式然

222

后再来平移；加减常数k(k＞0)，上下移动，即加上k则向上移动,减去k则向下移动；加减常数h(h＞0)，左右移动，即加上h则向左移动,减去h则向右移动；

四．典型例题： 1.二次函数在x

31时，有最小值，且函数的图象经过点（0,2），则此函数的解析式242为________________________.

2．已知抛物线yaxbxc的对称轴为x2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为 ；

3．已知抛物线经过(2，0)、(3， 0)两，且经过（５，２），求抛物线的解析式．

4．已知正方形的面积为y(cm)，周长为x（cm）． (1)请写出y与x的函数关系式；

(2)判断y是否为x的二次函数．

5．把函数y2x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 ；

6．若二次函数ym1xm2m3的图象经过原点，则m的值必为 （ ）

2222A 1或3 B 1 C、 3 D、 无法确定

7．将二次函数yx3的图象向左平移2个单位后，再向下平移2个单位，得到（ ）

A y= x + 5 B y(x2)1 C y(x2)1 D yx1

2

22228．已知（2，5）（4，5）是抛物线yaxbxc上的两点，则这个抛物线的对称轴为（ ）

A x2a B x2 C x4 D x3 b29.已知二次函数y=-x+bx+c,当x=1时,y=0； 当x=4时,y=-21；求抛物线的解析式.

2

10.二次函数y=x的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是( )

2A、yx2; B、y(x2) C、yx2; D、y(x2)

22211．抛物线yaxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于正半轴C点，且AC = 20，BC = 15，∠ACB = 90°，则此抛物线的解析式为 ；

12．若二次函数y=2x+ax+b的图象经过(2，３)点，并且起顶点在直线y=3x－2上，求a、b．

22

13．已知二次函数yaxbxc的图象与x轴分别交于A（-3，0），B两点，与y轴交于（0，3）点，对称轴是x1，顶点是P．求：（1）函数的解析式；（2）△APB的面积．

2五、练习

1．抛物线过(1,10)、(1，4)、(2，7)三点，求抛物线的解析式；

2．平移抛物线yx2x8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式____________________

3把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2－3x+5，则有( )

A b=3，c=7 B b=-9，c=-15 C b=3，c=3 D b=-9，c=21

4．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图，该抛物线的解析式是____________． 5.已知抛物线y=x2－6x＋5的,则抛物线的对称轴为__________,将抛物

线y=x2－6x＋5向____________平移_________个单位则得到抛物线y=x2－6x＋9. 6.已知二次函数y=2x－8x－3,求它关于X轴对称的抛物线的关系式.

7.二次函数yaxbxc有最小值为8，且a：b：c=1：2：(3)，求此函数的解析式 ；

8.抛物线的对称轴是x2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式；

9.二次函数yaxbxc，x2时y6；x2时y10；x3时，y24；求此函数的解析式；

10. （10分）一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C连线成45角，水流最高点C比喷头高2米，求水流落点D到A点的距离。

2222

y

C B

A D x

11．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如 图（4），求抛物线的解析式 y 16 O

12． 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长与宽的比是2：1。已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元。设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米。 （1） 求y与x之间的关系式。

（2） 如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。

13.在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数yxbxc的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图5），点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.

240x

y8642-6-4-2AO-22B46xC-4-6

第 21课 二次函数的应用

一、 大纲要求：

(1) 会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解： (2) 二次函数与一元二次方程的综合应用：

(3) 二次函数与一次函数和反比例函数的综合应用： (4) 利用二次函数求最大最小值： (5) 二次函数与几何图形的应用． 二、中考考点：

二次函数的应用常常在解答题中出现：

三、知识点分析：

１、用二次函数的图象求一元二次方程的近似解： ２、二次函数与一元二次方程的综合应用：

３、二次函数与一次函数和反比例函数的综合应用： ４、利用二次函数求最大最小值： ５、二次函数几何图形的应用：

四．典型例题：

1． 画出适当的函数图象，求方程x2－4x＋3=0的解．

2．函数yx2x3的图象在x轴上截得的两个交点距离为 ；

2（m3）３．二次函数yx(m2)x与x轴的两交点在x轴正半轴上，则m的取值范

围是 ；

４．直线yax6与抛物线yx4x3只有一个交点，则a_____；

2５．已知抛物线yaxbxc的图象与x轴有两个交点，那么一元二次方程

22ax2bxc0的根的情况是 ；

６．已知二次函数yaxbxc若ac0，则其图象与x轴的位置关系是 （ ） A 只有一个交点 B 有两个交点 C 没有交点 D 交点数不确定

2７．已知函数yaxbxca0的图象如图所示，则下列

y 判断不正确的是 （ ）

A abc0 B b4ac0 C 2ab0 D4a2bc0 ８．已知二次函数yx(m1)xm1．

（1）求证：不论m为何实数值，这个函数的图象与x轴总有交点． 222-1 O 1 x （2）m为何实数值时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？

９．在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数的图象交X轴于点A(x1,0)、B(x2,0)，且(x1+1) (x2+1)=﹣8

(1) 求二次函数的关系式；

(2) 将上述二次函数图象沿Ｘ轴向右平移２个单位，设平移后的图象与Ｙ轴的交点为Ｃ，顶

点为Ｐ，求的△POC面积

五、练习

１抛物线y=x－(m－2)x＋3(m－1)与x轴 （ ）

Ａ一定有两个交点 Ｂ只有一个交点 Ｃ有两个或一个交点 Ｄ没有交点 ２．已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图3所示，给出以下结论：① a+b+c<0；②

2

2a-b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0 . 其中所有正确结论的序号是（ ）

A．③④ C．①④

2

B．②③ D．①②③

３.若二次函数y＝x－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝___ (答案不惟一)______.(只要求写出一个) ４：已知二次函数yaxbxc，且a﹤0,a-b+c﹥0则一定有( )

A b－４ac﹥0 B b－４ac≥0 C b－４ac﹤0 D b－４ac≤0

５．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分钟）之间满足函数关系：y=-0.1x+2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大表示接受能力越强.

（１） x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步

降低？

（２） 第十分钟时，学生的接受能力是多少？ （３） 第几分钟时，学生的接受能力最强？

222222

６．已知二次函数y=x-mx+2m-4.如果该抛物线与x轴的两个交点及抛物线的顶点组成一个等边三角形,求其关系式.

y

A D B O x 125７．已知抛物线y=﹣x－３x－ C 22（１） 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（２） 求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； （３） 画出草图

（４） 观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.

22 2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2，８．已知关于x的方程(a+2)x－并且抛物线y=x

－(2a+1)x+2a－5与X轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。

（1）求实数a的取值范围

（2）当时︱x1︱ +︱x2︱=22

９．小明代表班级参加校运会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30、45、60方向推了三次。铅球推出后沿抛物线形运动。如图，小明推铅球时的出手点距地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表： 推铅球的方向与水平线的30 45 60 夹角 铅球运行所得到的抛物线y1＝－0.06(xy2＝______(x－y3＝－222解析式 －3)＋2.5 4)＋3.6 0.22(x－3)＋4 估测铅球在最高点的坐标 P1(3，2.5) P2 (4，3.6) P3(3，4) ，求a的值

铅球落点到小明站立处的9.5m ___________m 7.3m 水平距离 ⑴请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上； ⑵请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议。

１０．已知：抛物线y=x2－mx+m－2

（１）求证次抛物线与轴有两个不同的交点；

（２）若是整数，抛物线y=x2－mx+m－2与X轴交于整数点，求m的值；

（４） 在（２）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若

M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．