一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 设集合
2，3，
，m、
，则方程
表示焦点位于x轴上的椭圆有
A. 6个
2. 设x，
，则
B. 8个
是
C. 12个
成立的
D. 16个
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
3. 下列函数中是偶函数，且在
B. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
上单调递增的是
A.
B. C.
D.
由
到
时，不等式
4. 用数学归纳法证明
左边应添加的项是
A. C.
B. D.
5. 现某路口对一周内过往人员进行健康码检查，安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每
天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有 A. 1440种 B. 1400种 C. 1320种 D. 1200种 6. 已知函数
，则函数
的大致图象为
A.
B.
C.
D.
7. 设，随机变量的分布列如下：
P 则当x在
内增大时
减小
减小
0 1 2 x A. C.
减小，增大，
B. D.
增大，减小，增大 增大
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8. 已知定义在上的函数，
在公共点处的切线相同，则m值等于
A. B. 1 C. 3 9. 已知双曲线
，设两曲线
与
D. 5
，
，过点
且垂直于x轴的直线
的周长为
的左右焦点分别为
与该双曲线的左支交于A、B两点，，分别交y轴于P、Q两点，若12，则取得最大值时，该双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D. D.
10. 下列函数使方程
的实根个数最多的为
B. A. C.
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 若全集，，
______． 12. 已知随机变量X，Y满足
，
，
______；
，则______，______．
13. 用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数，
可以组成______个不同的偶数；
若要求相邻两个数字奇偶性不同，则可以组成______个用数字作答． 14. 记
______．
15. 已知定义在R上的奇函数满足
成立的x的取值范围是______． 16. 已知椭圆C：
，
，当
时，
，则使得
，则
______，
为y轴上一动点，若存在以点P为圆心的圆P，与椭圆C
有四个不同的公共点，则m的取值范围是______． 17. 若函数不存在零点．则a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18. 一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，白球3个．这些球除颜色外全相同．
若一次从袋中取出3个球，取出的球颜色不完全相同的概率；
若一次从袋中取出3个球，其中若取到红球得0分，取到白球得1分，记随机变量为取出的三个小球得分之和，求的分布列，并求其数学期望．
19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，
，，E为PB的中点．
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证明：平面平面PBC；
求直线PD与平面AEC所成角的正弦值．
20. 已知函数
求实数a的取值范围；
若方程
21. 如图，过点
的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．
恰好有两个不同的根，求的解析式．
作直线l交抛物线C：
，
于A，B两点点A，过点A作x轴
在P，B之间，设点A，B的纵坐标分别为的垂线交直线OB于点D． Ⅰ求证：Ⅱ求
；
的面积S的最大值．
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22. 已知函数
若函数若
，
．
在单调递增，求实数a的取值范围； 恒成立，求的最小值的最大值．
第4页，共14页
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：焦点位于x轴上的椭圆则， 当时，；当时，，2；当共6个 故选：A． 根据，对A中元素进行分析可得到答案． 本题主要考查椭圆的标准形式．属基础题． 2.答案：B
解析：解析：
可得
又由
是
故选：B．
利用指对数函数单调性分别求出x，y满足的不等关系，可得
与
的关系．
可得
．
， ．
成立必要不充分条件．
，
时，，2，3；
本题主要考查了充分必要条件和指数对数函数，考查了学生的函数思想和逻辑推理能力，属于中档题．
3.答案：A
解析：解：函数为奇函数，不满足条件． B.函数的定义域为，函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件． C.为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件． D.，函数为偶函数，当时，为增函数，满足条件， 故选：A．
根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．比较基础． 4.答案：C
解析：解：当当
时，有不等式
，
，
时，不等式为
将上面两式的左边相减可得， 由
到
时，不等式左边应添加的项是
，
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故选：C．
分别写出不等式在，时的式子，两式相减，即可得到所求结论． 本题考查数学归纳法的运用，考查由到时，不等式的左边的变化，考查运算能力，属于基础题． 5.答案：D
解析：解：根据题意，分2步进行分析：
要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，则甲乙的安排方法有种； 将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有种情况， 则有种安排方法； 故选：D． 根据题意，分2步进行分析：将甲、乙按要求安排，将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 6.答案：B
解析：解：，
当令由当所以
时，
，
，得
时，
有极大值为
的极大值小于0． 上为减函数．
．
，
在
上为增函数，而
．
，
，当
， 时，
．
．
．
又，所以所以函数在当令所以
时，
．
又，所以函数在上有一个零点，则原函数有一个极值点． 综上函数的图象为B中的形状． 故选：B．
写出分段函数，分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数的图象的形状．
本题考查了对数函数的图象和性质，考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
第6页，共14页
7.答案：B
解析：解：设
，由随机变量的分布列，得：
，
，
当x在故选：B． 推导出
内增大时，
增大，
增大．
，
，由此求出当x在
内增大时，
增大，增大．
本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8.答案：D
解析：【分析】
本题考查利用导数分析函数的切线方程，注意求出公共点即切点的坐标，属于中档题． 根据题意，设与的公共点为，，分析可得，求出两个函数的导数，分析可得
，解可得a的值，代入
的解析式可得公共点的坐标，进而代入
的
解析式可得m的值，即可得答案． 【解答】
解：根据题意，设与的公共点为， 若两曲线与在公共点处的切线相同， 则两个函数在公共点处的切线斜率相同，则有， 对于，有，则， 对于则有
，有，解可得：
或
，则舍，
，
则有； 即公共点为， 对于，可得故选：D． 9.答案：B
解析：解：由题意可知，把
代入双曲线
，解可得；
，得，
，
， ，不妨取
，
，
，
由双曲线的定义可知，
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的周长为12，
化简整理得，令当当离心率故选：B． 把
代入双曲线
的周长为24，，
， ， ，则，
时，有，单调递增；当时，有时，取得最大值，即取得最大值，此时
．
，单调递减，
，
中可先求出点A的坐标和，结合双曲线的定义求得，
由于的周长为12，所以的周长为24，故，代入化简可得，于是；令，通过求导可知函数在时取得最大值，再根据求得c的值，进而求得离心率．
本题考查双曲线的定义、离心率等，还涉及利用导数求具体函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 10.答案：D
解析：解：对于A，由两解； 对于B，由对于C，
，解得
或
，有
，无解；
，作出函数与函数
的图象如下图所示，
由图象可知，方程只有一个解；
对于D，，则或，易知，该方程共有四个解； 故选：D． 逐项判断方程的实根个数，再综合比较即可得出答案．
本题考查函数零点个数判断，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
，或 11.答案：
解析：解：全集，，，
，
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，或．
故答案为：，，或． 利用交集、补集定义直接求解．
本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.答案：
解析：解：因为随机变量X，Y满足所以
，
，
又所以故答案为：
；
． ，
，
，， ．
利用期望公式以及方差直接计算即可． 本题考查了二项分布及期望、方差的运算，属基础题． 13.答案：312 60
解析：解：用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数，
末位为0时有：个； 末位为2或4时有：个； 故共有：． 故可以组成312个不同的偶数；
若首位为偶数，则首位不为0，有：
；
若首位为奇数，则有：个； 故共有：个； 故答案为：312，60．
根据尾数为0或尾数2或4分别求解即可． 分首位为偶数和奇数分别求解即可．
本题考查排列组合的应用，分类讨论的思想，简化计算． 14.答案： 5
解析：解：再令故故答案为：
；5． ，可得
，
，
，则b即的系数，故为
．
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由题意根据b即的系数，可得它的值．在所给的等式中．令，可得要求式子的值．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
， 15.答案：
解析：解：设函数当当函数又
时，时，在
，
上单调递减，
，
，
，
为定义在R上的奇函数，为奇函数，
可得在上单调递减．
再由，得． 作出函数图象的大致形状如图， 由图可知，当，时，又为定义在R上的奇函数，． 综上，使得成立的x的取值范围是故答案为：，． 构造函数设函数
，利用导数得到
，则
，
． ．
在是减函数，再根据为奇函数，
，画出奇函数图象的大致形状，数形结合即可解得的解集．
本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是关键，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
16.答案：
解析：解：由圆P的方程
，
由即为
由圆P经过点则
结合图形可知： 当故答案为：
，联立椭圆C：可得
，
， ，可得
，解得
， ，
时，以P为圆心的圆与椭圆C有四个不同的公共点，
，
求得圆P的方程，联立椭圆方程，可得y的二次方程，运用判别式为0，以及圆P经过点
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可得，结合题意和图形可得m的范围．
本题考查椭圆与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.答案：
解析：解：函数的定义域为，则，依题意，无实数解， 而
或
故答案为：分析可知
，且
，解得
．
或
，故．
，
无实数解，而易知，则
或，解出即可得到答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数值域的求法，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
， 18.答案：解：一次从袋中取出3个球的基本事件总数为
设“取出的球颜色不完全相同”为事件A，共有两大类：两红一白和两白一红， 事件A包含的基本事件总数， 取出的球颜色不完全相同的概率为的可能取值为0，1，2，3， 3个红球得0分：2红1白得1分：1红2白得2分：3个白球得3分：
的分布列为： P 0 1 2 3 ， ， ， ，
．
．
解析：一次从袋中取出3个球的基本事件总数为，设“取出的球颜色不完全相同”为事件A，共有两大类：两红一白和两白一红，事件A包含的基本事件总数，由此能求出取出的球颜色不完全相同的概率．
的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
平面ABCD，， 19.答案：解：证明：
，，，，
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，
，平面PBC，
平面ACE，平面平面PBC． 解：平面ABCD，， 又，，以C为原点，在平面ABCD中过C作CD的垂线为x轴， CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，
0，
，1，
1，，
，
0，1，
，，y，
，
1，
，，
，
，
，
设平面ACE的一个法向量
则，取，得1，，
设直线PD与平面AEC所成角为，
则直线PD与平面AEC所成角的正弦值为：
．
解析：推导出，，从而平面PBC，由此能证明平面平面PBC．
推导出，以C为原点，在平面ABCD中过C作CD的垂线为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PD与平面AEC所成角的正弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
函数的图象经过坐标原点，，， 20.答案：解：
对函数求导，有，，，
， 令当
，则时，
或取得极大值，
，
，解得
，
故实数a的取值范围是．
、随x的变换情况如下表， x 1 0 极大值 0 极小值 极小值方程
．
单调递增 单调递减 ．
单调递增 恰好有两个不同的根，，解得，
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故的解析式为先通过
，则
求出或
． ，再对函数求导，令
，由于
在
，可得
取得最大值，所以
，将其代入
，解
解析：中，令之即可得解；
通过列表
、随x的变化情况可知，函数的单调区间和极值，若方程
，求出a的值即可得解．
恰好有两个不同的根，则使其极小值等于
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
21.答案：解：Ⅰ证明：可设直线l的方程为
可得即有Ⅱ由所以
，
所以
的面积为
，
可得得
，即
时，
时，
，函数S递增；
的面积S的最大值为
，由
，则
； ，即
，由，，
，
，联立抛物线，
在P，B之间， ，可设
，D在直线OB：
上可得
，可得，
时，．
，函数S递减，可
解析：Ⅰ可设直线l的方程为
，联立抛物线方程，运用韦达定理，化简可得证明；
Ⅱ由，可得k的范围，点A在P，B之间，可得，求得D的坐标，运用三角形的面积公式和导数，判断单调性和极值、最值，可得所求最大值． 本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
22.答案：解
，
函数
在
单调递增，
对任意
，
，因为
在
，
恒成立，
单调递减，
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当时，
， ．
，
恒成立，
，
即
故所求实数a的取值范围为
，
令
，则
若由当当
，则当得
时时
时，
，，
，与恒成立矛盾，，
单调递增； 单调递减；
，
，
．
，
又当当
时，时，
．
，，
，的最小值
， 单调递增； 单调递减，
解析：
由题设有
，
等价于
分
和
后可得
，参变分离后可得a的取值范围．
，令
，其中
，故
即
，
，从而，令，利用导数可求其最大值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数求函数的最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
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