高中数学基本不等式精选讲解及归纳

典题精讲 例1（1）已知0＜x＜（2）求函数y=x+1，求函数y=x(1-3x)的最大值; 31的值域. x思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论. 1,∴1-3x＞0. 3113x(13x)2111∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，33212661函数取得最大值. 1211解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0. 331xx11113∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立. 33126211∴x=时，函数取得最大值. 612（1）解法一：∵0＜x＜（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+11≥2x•=2，当且仅当x=1时，等号成立. xx当x＜0时，y=x+11=-［(-x)+］. (x)x∵-x＞0,∴(-x)+11≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立. (x)x∴y=x+1≤-2. x1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). x综上,可知函数y=x+绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 1的最小值. x11思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数. x1变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+解：∵x＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+111=x+1+-1≥2(x1)•-1=1. x1x1(x1)当且仅当x+1=∴f(x)min=1. 1,即x=0时,取得等号. x1x43x23变式训练2求函数y=的最小值. 2x1思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1. 1x43x23(t1)23(t1)3t2t1t1. ∴y==2tttx1∵t≥1,∴t+≥2t•1t11=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立. tt∴当x=0时，函数取得最小值3. 例2已知x＞0,y＞0，且19+=1，求x+y的最小值. xy思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会. 解法一：利用“1的代换”, ∵19+=1, xyy9x19+)=10+. xyxyy9x≥2xy∴x+y=(x+y)·(∵x＞0,y＞0,∴y9x=6. •xy当且仅当y9x，即y=3x时，取等号. xy又19+=1,∴x=4,y=12. xy∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 解法二：由y19+=1，得x=. y9yx∵x＞0,y＞0,∴y＞9. x+y=yy9999+y=y+=y++1=(y-9)++10. y9y9y9y9∵y＞9,∴y-9＞0. ∴y999≥2(y9)•=6. y9y9当且仅当y-9=9，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由y919+=1，得y+9x=xy, xy∴(x-1)(y-9)=9. ∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2(x1)(y9)=16, 当且仅当x-1=y-9时取得等号.又19+=1, xy∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响. 黑色陷阱：本题容易犯这样的错误： 1996+≥2①,即≤1,∴xy≥6. xyxyxy∴x+y≥2xy≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是19=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目xy中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论. 变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,思路分析：本题属于“1”的代换问题. 解：x+y=(x+y)(ab=1，x+y的最小值为18，求a,b的值. xyabbxaybxay)=a++b=10+. xyyxyx∵x,y＞0,a,b＞0， ∴x+y≥10+2ab=18，即ab=4. 又a+b=10， a2,a8,∴或 b2.b8例3求f(x)=3+lgx+4的最小值（0＜x＜1）. lgx思路分析：∵0＜x＜1, ∴lgx＜0,4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负lgx号变正数. 解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,44＜0.∴-＞0. lgxlgx∴(-lgx)+(-44)≥2(lgx)()=4. lgxlgx∴lgx+44≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1. lgxlgx41,即x=时取得等号. lgx1004 (0＜x＜1)的最小值为-1. lgx当且仅当lgx=则有f(x)=3+lgx+黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件. 15，求函数y=4x-2+的最大值. 4x545思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜，则4x-5＜0. 45解：∵x＜,∴4x-5＜0. 411y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+3 4x554x变式训练1已知x＜≤-2(54x)•1+3=-2+3=1. 54x当且仅当5-4x=1,即x=1时等号成立. 54x所以当x=1时，函数的最大值是1. 83时，求函数y=x+的最大值. 2x328思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一2x3832x8133些技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）++=-（）+,再求最值. 2x32232x22832x8133解：y=（2x-3）++=-（）+， 2x32232x22变式训练2当x＜∵当x＜3时，3-2x＞0， 2∴32x832x832x81•≥2=4，当且仅当，即x=-时取等号. 232x232x232x2于是y≤-4+355=，故函数有最大值. 222例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. 图3-4-1 （1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 思路分析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值. 解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18. 设每间虎笼的面积为S，则S=xy. 方法一：由于2x+3y≥22x3y=26xy, ∴26xy≤18,得xy≤2727，即S≤. 22当且仅当2x=3y时等号成立. 由2x2y,x4.5,解得 2x3y18,y3.3y. 2故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18，得x=9-∵x＞0,∴0＜y＜6. S=xy=(9-33y)y= (6-y)y. 22∵0＜y＜6,∴6-y＞0. ∴S≤3(6y)y227［］=. 222当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时，可使面积最大. (2)由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥22x•3y=26xy=24, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立. x6,2x3y,由解得 y4.xy24,故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小. 方法二:由xy=24，得x=24. y∴l=4x+6y=16169616+6y=6(+y)≥6×2y=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6. yyyy故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小. 绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意： （1）x,y都是正数； （2）积xy（或x+y）为定值； （3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论. 变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价. 图3-4-2 思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解. 200200米(0＜x≤16,0＜≤16),∴12.5≤x≤16. xx200200于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200. xx解：设污水处理池的长为x米,则宽为=800(x+324324)+16 000≥800×2x•+16 000=44 800, xx当且仅当x=324 (x＞0),即x=18时等号成立,而18［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. x下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性. 对任意12.5≤x1＜x2≤16,则x2-x1＞0,x1x2＜162＜324. Q(x2)-Q(x1)=800［(x2-x1)+324(11)］ x2x1=800×(x2x1)(x1x2324)＜0, x1x2∴Q(x2)＞Q(x1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数. ∴Q(x)≥Q(16)=45 000. 答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元. 问题探究 问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度. n导思：本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可. 探究：设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y. 由题意知y=n+8. n∵n+88≥2n42, nn当且仅当n=8,即n=22时取等号. n但考虑到n∈N*, ∴n≈2×1.414=2.828≈3, 即此人应选3楼,不满意度最低.