二级结论在解析几何中的作用

一 椭圆、双曲线的“垂径定理”

22xy1.（14浙江理）设直线x3ym0(m0)与双曲线221（）两条渐近线分别交于ab点A,B，若点P(m,0)满足PAPB,则该双曲线的离心率是__________.

x2y22. 已知点是椭圆221(ab0)的右焦点，过原点的直线交椭圆于点

ab于轴，直线交椭圆于点，PBPA，则该椭圆的离心率__________.

3. 设动直线

交于不同的两点

4.已知某椭圆的焦点是点为，且

成等差数列.

（1）求该椭圆方程； （2）求弦中点的横坐标； （3）设弦的垂直平分线的方程为

，求的取值范围.

且

与椭圆

交于不同的两点

，垂直

与双曲线

则符合条件的直线共有______条. 过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交

.椭圆上不同的两点满足条件：

x2y25.（16四川）已知椭圆：221(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形

ab的三个顶点，点(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点与椭圆交于

，证明：

，线段的中点为，直线

在椭圆上.

二 圆锥曲线的共圆问题

y21在y轴正半轴上的焦点，过F6. （11全国）已知O为坐标原点，F为椭圆C:x22uuuruuuruuur且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点P满足OAOBOP0.

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

7. 已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为，直线与轴的交点为，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

二 抛物线的性质

8. （14四川）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ） A、 B、 C、 D、 9.（15新课标）在直角坐标系点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN说明理由。

9. （14山东）已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA||FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形. （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E. （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 10. 点到点

及直线

的距离都相等，且这样的点只有一个，求值.

22x2中，曲线C：y=与直线ykxa(a＞0)交与M,N两

4三 椭圆、双曲线的性质

11. 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，.求四边形面积的最大值.

12.已知双曲线

的左焦点为，左准线与轴交于

l M y N F1 O F2 x

点，过点的直线与双曲线交于则的值为

13.双曲线

的倾斜角分为

两点，且满足，，

的左右顶点分别为

,且点是第一象限内双曲线上的点，若直线，，那么

14. （10北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

四 中线长定理

15. 设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为

x2y216. 双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜4b25,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b=_________.

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