人教版九年级上册数学旋转转变中的压轴题

拔高专题：旋转变化中的压轴题

一、基本模型构建

常见模型 思上图中，△AE′B旋转到AED的位置，考 可得△AE′E为 等腰 三角形。如果四边形ABCD是矩形或正方形，则三角形AE′E为等腰直角三角形。 上图中，△ABC旋转到△ADE的位置，可以得到∠EAC= ∠DAB ，如果∠B=60°，所以△ADB为 等边 三角形. 二、拔高精讲精练 探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换 例1：（2015•盘锦中考）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．

（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： BE=CD ；

（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），

①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当AC=

1ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、2D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，

∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD； （2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，

AB＝AC由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，BAE＝CAD，

AE＝AD∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；

11

②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=

1ED，∴AC=CD，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°2=225°，

∴角α的度数是45°或225°．

等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强 【变式训练】1. 如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED与AB、BC分别交于M、H． （1）求证：CF=CH； （2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．

（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，

A＝D在△ACF和△DCH中，AC＝CD，∴△ACF≌△DCH，∴CF=CH；

1＝2（2）四边形ACDM是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°，

∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，

∴四边形ACDM是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．

【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。 探究点二 以四边形为基础的图形的旋转变换 22

例2:根据图形回答问题：

（1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由）

（2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由．

（3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由． 解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．

MDE＝MHG（2）FM⊥ME，FM=ME，连接GN和DE， 在△DME和△GMN中，DME＝GMN，

DM＝MG∴△DME≌△GMN（AAS），∴DM=MN，DE=NG，∴FN=FG-NG=FG-DE=FC-EC=FE， ∴△NFE是等腰直角三角形，

∴FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）

（3）延长EM至N点，使EM=MN，连接NG、EF、FN．（EC与DM的交点标为P，FC33

与DM交点标为Q）

EM＝MN在△DME和△GMN中，DME＝GMN，∴△DME≌△GMN．∴DE=NG，∠EDM=

DM＝MG∠NGM，

∴EC=NG，∵∠ECF=180°-∠CPQ-∠CQP=180°-∠DPE-∠FQG=180°-（90°-∠MDE）-（90°-∠FGM）=∠EDM+∠FGM，∵∠NGM+∠FGM=∠NGF，∴∠ECF=∠NGF，∵EC=DE=NG，

FC＝FG在△ECF和△NGF中，ECF＝NGF，∴△ECF≌△NGF，∴EF=NF，∠EFC=∠NFG，

EC＝NG∴∠EMN=∠EFC+∠CFN=∠NFG+∠CFN=∠CFG=90°，∴△EFN是等腰直角三角形，∴FM⊥EM，并且FM=EM。

【变式训练】2. 两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．

（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）． （2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．

证明：（1）如图②，∵由题意知，AD=GD，ED=CD，∠ADC=∠GDE=90°，

∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE，即∠ADE=∠GDC，在△AED与△GCD中，

AD＝GDADE＝GDC， ED＝CD∴△AED≌△GCD（SAS）；

（2）如图③，∵α=45°，BC∥EH，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，∴∠CNE=90°， ∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．

【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决. .

44